205 《等腰梯形的判定》教学设计华东师大版八年级下doc.docx

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205《等腰梯形的判定》教学设计华东师大版八年级下doc

20.5等腰梯形的判定教学设计

一、知识与技能

1.能说出和证明等腰梯形的判定定理.

2.能运用等腰梯形的判定定理进行有关的判定、论证和计算.

3.会画出符合条件的等腰梯形.

二、过程与方法

1.经历探究梯形的判定条件的过程,在简单的操作活动中发展学生的说理意识.

2.初步学会通过添加辅助线,把梯形问题转化成平行四边形、矩形、三角形来解决.

三、情感态度与价值观

1.通过探究活动,发展学生的说理意识,培养主动探究的习惯.

2.在解决梯形问题的过程中渗透转化思想.

教学重点梯形的判定及应用.

教学难点解决梯形问题的基本方法.

教具准备多媒体课件.

教学过程

一、创设问题情境,引入新课

师:

上节课,我们研究了梯形,并且研究了特殊的梯形──等腰梯形的概念及其性质,请同学们说出什么样的梯形是等腰梯形?

生:

两腰相等的梯形是等腰梯形.

师:

等腰梯形有什么性质?

生:

等腰梯形是特殊的梯形,所以它具有梯形的性质,它还具有下列一般梯形所不具备的性质.

同一底上的两个内角相等;对角线相等;是轴对称图形.

师:

下面请同学们来做一做(老师播放课件,学生进行画图、讨论、总结)在下图中的每个三角形中画一条线段.

(1)怎样画才能得到一个梯形?

(2)在哪些三角形中,能够得到一个等腰梯形呢?

生:

(1)因为梯形的上、下两底平行且不相等,所以只要在三角形的两边上各找一点,使这两点的连线平行于第三边即可得到梯形.

(2)第

(2)(3)个三角形中能够得到一个等腰梯形.在等腰三角形的两腰上分别找一点,使这两点的连线平行于等腰三角形的底边即可得到一个等腰梯形.

师:

说得太好了,这节课,我们就来探讨等腰梯形的判定.

二、讲授新课

师:

受刚才做图的启发:

只有等腰三角形才能得到等腰梯形.请同学们考虑下面的问题.

议一议:

“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”这个命题成立吗?

能否加以证明.

学生活动:

(通过想一想,试一试,议一议,做一做的小组活动,初步懂得添加辅助线的一般方法,学会将梯形问题转化为平行四边形、矩形、等腰三角形、直角三角形来处理)

证法一:

如下图延长BA、CD相交于点E.

∵∠B=∠C,(三角形中等角对等边)

∴BE=CE.

∵四边形ABCD是梯形,

∴AD∥BC.

∴∠EAD=∠B,∠EDA=∠C.

∴∠EAD=∠EDA.(三角形中等角对等边)

∴AE=DE.

∴BE-AE=CE-DE.

即AB=CD,

∴梯形ABCD是等腰梯形.

证法二:

如下图将CD平移到AE位置,此时四边形AECD是平行四边形.

则AE∥CD且AE=CD,

∴∠AEB=∠C.

又∵∠B=∠C,

∴∠B=∠AEB.

∴AB=AE.(三角形等角对等边)

∴AB=CD,

因此梯形ABCD是等腰梯形.

证法三:

如下图

作梯形ABCD的高AE、DF分别交BC于E、F.

∵梯形上、下底平行,即AD∥BC,

∴AE=DF.(夹在平行线间的垂线段相等)

又∵∠AEB=∠DFC=90°,∠B=∠C,

∴△ABE≌△DCF.

∴AB=DC.

∴梯形ABCD是等腰梯形.

师:

通过活动,同学们的说理能力已有了很大提高.由此我们也得到等腰梯形的两种判定方法.

(1)两腰相等的梯形是等腰梯形.

(2)同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形.

应用举例:

【例2】如下图,梯形ABCD中,BC∥AD,DE∥AB.DE=DC,∠A=100°,求梯形其他三个内角的度数.

师生共析:

(1)梯形上、下底平行,可以由同旁内角互补求得∠B=80°.

(2)可想办法证明梯形ABCD是等腰梯形,从而解决∠C和∠ADC的问题.

解:

∵BC∥AD,DE∥AB,

∴四边形ABCD是平行四边形.

∴AB=DE.

又DE=DC,

∴AB=DC.

梯形ABCD是等腰梯形,

∴∠C=∠B=180°-∠A=80°,

∠D=∠A=100°.

补充题:

画一个等腰梯形,使它的上、下底分别为4cm和10cm,高为3cm.

分析:

假设等腰梯形ABCD已画出,如下图,作出高AE和DF,可证得Rt△ABE≌Rt△DCF,所以EF=AD=4cm,BE=CF=

(BC-EF)=3cm,AE=3cm.于是可先画出Rt△ABE,进而确定点C,过A作AD∥BC,使AD=4cm,可确定D,连结DC,即可确定等腰梯形ABCD.

画法:

(1)画Rt△ABE使∠AEB=90°,AE=3cm,BE=3cm.

(2)延长BE到C使BC=10cm.

(3)过A作AM∥BC,且使BC、AM在AB的同旁,在AM上截取AD=10cm.

(4)连结DC,则梯形ABCD就是所要画的等腰梯形.(如下图)

(还可以启发学生思考、讨论,得多种画法)

如左下图,平行移动一腰AB到DE,可在Rt△CDF中算出腰CD的长,CD=

=5(cm),因此可先画出等腰△DCE,从而画出等腰梯形ABCD;又如右下图利用等腰梯形轴对称图形,且对称轴是连结上、下两底中点的线段所在的直线.因此可以先画直角梯形ABEF,使EF=3cm,EF⊥BE,BE=6cm,AF=2cm,AF∥BE.然后利用轴对称性画出等腰梯形ABCD.

三、随堂练习

1.课本练习

(1)参看例1:

证法三.

(2)画法:

参看补充题.

腰长=

=5(cm).

周长=2×5+5+11=26(cm).

面积=

(5+11)×4=32(cm2).

2.补充练习.

(1)等腰梯形与等腰三角形有哪些联系?

答:

延长一个等腰梯形的两腰,可以得到一个等腰三角形;过一个等腰三角形腰上一点作底边的平行线,可以得到一个等腰梯形.

(2)有两个内角是70°的梯形一定是等腰梯形吗?

为什么?

答:

是等腰梯形,理由是:

这两个70°的内角的位置仅有三种可能:

①相邻:

顶点是同一条腰的两个端点.

②相邻:

顶点是同一底边的两个端点.

③相对.

当顶点是一条腰的两个端点时,两个角应该是互补的;两角相对时,可以推得此时的四边形是平行四边形.因此,这两个70°的内角只能是同一底上的两个内角,因此这个梯形是等腰梯形.

四、课时小结

(与学生共同梳理,总结梯形的判定方法及添加辅助线解决有关梯形问题常用方法.同时演示课件,让学生加深理解并记忆).

等腰梯形的判定方法:

(1)两腰相等(定义)

(2)同底上的两个角相等(判定定理)

梯形的画法:

画出符合条件的梯形,通常先要“分析”,借助辅助线找出可以画出的部分图形(等腰三角形,直角三角形等)

梯形中常用的四种辅助线的添法(如下图):

五、课后作业

习题

板书设计

20.5等腰梯形的判定

1.等腰梯形的判定方法

(1)两腰相等的梯形是等腰梯形.

(2)同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形.

2.应用举例

例2

补充题:

画法一、画法二、画法三.

3.随堂练习

4.小结

5.作业习题

活动与探究

如下图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A点开始沿AD边以1cm/s的速度向D运动,动点Q从C点开始沿CB边以3cm/s的速度向B运动,P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到端点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为ts,t分别为何值时,四边形PQCD是平行四边形,等腰梯形?

过程:

这是一个探索性的题,题中涉及了平行四边形的判定,等腰梯形的性质及判定,让学生在充分理解题的情况下,进行探讨.

结果:

解:

∵AD∥BC,

∴只要PD=CQ,四边形PQCD是平行四边形.

这时,根据题意有

24-t=3t,解得t=6(s).

同理可知:

只要PQ=CD,PD≠CQ四边形PQCD是等腰梯形.

过P、D分别作BC的垂线,交BC于点E、F,则四边形PEFD是矩形,△PQE≌△DCF.

∴PD=EF,CF=QE=2.

∴24-t=3t-2×2,解得t=7(s).

因此,t为6时,四边形PQCD是平行四边形,t为7时,四边形PQCD是等腰梯形.

习题详解

习题19.3

1.解:

FC=

(BC-AD)=

(4-2)=1,

DC=

四边形ADEB是平行四边形

AD=DE=6,AD=BE=5.

∵四边形ABCD是等腰梯形,

∴AB=CD=6.

EC=BC-BE=8-5=3.

∴△CDE的周长为6+6+3=15.

3.证明:

∵四边形ABCD是梯形.

∴AD∥BC,

∴∠A与∠B互补,

∵∠A与∠C互补,

∴∠B=∠C.

∴梯形ABCD是等腰梯形.

4.解:

S横截面=

×20×1.5+

(2.65+1.5)×(40-20)+2.65(60-40)+(2.65+1.9)(80-60)+

(100-80)×1.9=174(m).

∠C+∠AEC=180°

四边形AECD是平行四边形

AD=EC,AE=CD.

△ABE的周长=梯形ABCD的周长-2AD=29-2×5=19.

6.证明:

∵四边形ABCD是等腰梯形,

∴AD∥BC,∠B=∠DCB.

∴∠CDE=∠DCB.

∵CD=CE,

∴∠E=∠CDE.

∴∠B=∠E.

7.证明:

AD∥BC

△ABM≌△DCM

AB=CD

梯形ABCD是等腰梯形.

8.6个等腰梯形.

9.解:

EF=

(AD+BC),

平移CD到AM,交EF于点N,

则四边形ADCM是平行四边形,且N是MA的中点.

∴EN是△ABM的中位线.

∴EN=

BM,

EF=

BM+FN=

BM+

(AD+NC)

=

(AD+BC).

Rt△ODA≌Rt△OEC

∠DAO=∠ECO,DO=EO

∠ADE=∠CED,

同理可证∠DAC=∠ECA.

又∵四边形内角和为360°,

∠DAC+∠ADE=180°.

∴DE∥AC.

又∵AD

EC.

∴四边形ADEC是梯形.

又AD=EC,

∴四边形ACED是等腰梯形.

梯形的高h=

备课资料

一、求梯形的面积

1.在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=5,BC=9,∠B=60°,求AB的长和梯形ABCD的面积.

2.已知在梯形ABCD中AD∥BC,BC=BD,AD=AB=4cm,∠A=120°,求梯形ABCD的面积.

1.答案:

AB=4S梯形ABCD=14

BD=4

∴BC=BD=4

(cm).

∵四边形ABCD是梯形,且AD∥BC,

∴∠B=180°-∠A=60°,

又AB=4.

∴梯形的高h=2

∴S梯形ABCD=

(AD+BC)·h=

(4+4

)·2

=12+4

(cm)2.

二、梯形中常见的辅助线做法

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