中值定理与导数习题.docx

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中值定理与导数习题

习题3

一、填空题

1．设，则有_________个根，它们分别位于________

区间；

2．函数在上满足拉格朗日定理条件的；

３．函数与在区间上满足柯西定理条件的；

4．函数在上满足拉格朗日中值定理条件的；

５．；

6．；

7．;

8．函数的单调减区间是；

9．设在可导，则是在点处取得极值的条件；

10．函数在及取得极值，则；

11.函数的极小值是;

12．函数的单调增区间为；

13.函数的极小值点是；

14.函数在上的最大值为，最小值为；

14.函数在的最小值为;

15.设点是曲线的拐点,则;

16.曲线的下凹区间为,曲线的拐点为;

17.曲线的上凹区间为;

18.曲线的拐点为;

19.若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点处的切线平行于轴,那么函数的表达式是;

20.曲线的拐点为;

21.曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是;

22.的垂直渐近线为;水平渐近线为;

23.曲线在的曲率;

24.曲线的曲率计算公式为;

25.抛物线在顶点处的曲率为;

二.单项选择题

1.罗尔定理中的三个条件;在上连续,在可导,且是在至少存在一点,使得成立的（）.

必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要

2.函数，则（）.

在任意闭区间上罗尔定理一定成立；在上罗尔定理不成立；

在上罗尔定理成立；在任意闭区间上，罗尔定理都不成立；

3.设函数在区间上连续,在开区间上可导,且,,则必有（）.

;;

4.下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是（）.

;;;

5.函数,它在（）.

不满足拉格朗日中值定理的条件;

满足拉格朗日中值定理的条件,且;

满足中值定理的条件,但无法求出的表达式;

不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论.

6.若在开区间可导,且是任意两点,则至少存在一点使得下式成立（）.

;

7.设是的可导函数,是的任意两点,则（）.

在之间恰有一个,使得

在之间至少存在一点,使得

对于与之间的任一点,均有

8.若在开区间可导,且对任意两点恒有,则必有（）.

（常数）

9.已知函数,则方程有（）.

分别位于区间的三个根;

四个根,它们分别为;

四个根,分别位于

分别位于区间的三个根;

10.若为可导函数,为开区间一定点,而且有,则在闭区间上必总有（）.

11.若,则方程（）.

无实根有唯一实根有三个实根有重实根

12.若在区间上二次可微,且（）,则方程在上（）.

没有实根有重实根有无穷多实根有且仅有一个实根

13.求极限时,下列各种方确的是（）.

用洛必达法则后,求得极限为0;

因为不存在,所以上述极限不存在;

原式=

因为不能用洛必达法则,故极限不存在;

14.设为未定型,则存在是也存在的（）.

必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要条件

15.若与可导,,且,则（）.

必有存在,且必有存在,且

如果存在,且如果存在,不一定有

16.函数在（）.

单调增加单调减少

单调增加,其余区间单调减少单调减少,其余区间单调增加

17.已知在上连续,在可导,且当时,有,又,则（）.

在上单调增加,且;

在上单调增加,且;

在上单调减少,且;

在上单调增加,但正负符号无法确定.

18.当时,有不等式（）成立.

当时,当时

当时,当时

19.函数的图形,在（）.

处处是凸的;处处是凹的;

为凸的,在为凹的为凹的,在为凸的.

20.若在区间,函数的一阶导数,二阶导数,则函数在此区间是（）.

单调减少,曲线上凹;单调增加,曲线上凹;

单调减少,曲线下凹单调增加,曲线下凹.

21.曲线的凹凸区间是（）.

为其凹区间;为其凸区间;

当时,曲线是凸的,时是凹的;

当时,曲线是凹的,时是凸的;

22.曲线（）.

有一个拐点;有二个拐点;有三个拐点;无拐点;

23.若点为曲线的拐点,则（）.

必有存在且等于零;必有存在但不一定等于零;

如果存在,必等于零;如果存在,必不等于零.

24.设函数在处有,在处不存在,则（）.

及一定都是极值点;只有是极值点;

及都可能不是极值点;及至少有一个点是极值点.

25.曲线（）.

有极值点,但无拐点;有拐点,但无极值点;

是极值点,是拐点;既无极值点又无拐点.

26.若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值,则（）.

极大值一定是最大值,极小值一定是最小值;

极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值;

极大值不一定是最大值,极小值不一定是最小值;

极大值必大于极小值.

27.函数在区间上的最小值为（）.

;0;1;无最小值.

28.指出曲线的渐近线（）.

没有水平渐近线,也没有斜渐近线;

为垂直渐近线,无水平渐近线;

既有垂直渐近线,又有水平渐近线;

只有水平渐近线.

29.曲线的渐近线有（）.

1条;2条;3条;4条;

30.设在可导,且对于任意,当时有,则（）.

对于任意;对于任意;

函数单调增加;函数单调增加.

31.设函数在上则或的大小顺序是（）.

;

;.

32.设有二阶连续导数,且,则（）.

是的极大值;是的极小值;

是曲线的拐点;

不是的极值,不是曲线的拐点.

33.在区间,方程（）.

无实根;有且仅有一个实根;有且仅有两个实根;有无穷多个实根

34.设时,与是同阶无穷小,则为（）.

1;2;3;4.

35.函数不可导点的个数是（）.

3;2;1;0.

36.设函数在的某个邻域连续，且为其极大值，则存在当时，必有（）。

；；

37．函数在取得极值，则（）。

0；；1；2。

38．下列曲线集邮水平渐近线，又有垂直渐近线的是（）。

；；

；。

39．设为正整数，则（）。

；1；0；

40．=（）。

1；；；。

三.计算题

1.求下列极限:

;

2.求极限:

;

3.求极限:

;

4.求极限:

;

5.求极限:

;

6.求极限:

;

7.求极限:

;

8.求极限:

;

9.求极限:

;

10.求极限:

;

11.求极限:

;

12.求极限:

;

13.求极限:

;

14.求极限:

.

15.按（x-4）的幂展开多项式x4-5x3+x2-3x+4.

16.应用麦克劳林公式,按x幂展开函数f（x）=（x2-3x+1）3.

17.求函数按（x-4）的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式.

18..求函数按（x+1）的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式.

19..求函数f（x）=tanx的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式.

20.判定函数f（x）=arctanx-x单调性.

21.判定函数f（x）=x+cosx（0≤x≤2π）的单调性.

22.确定下列函数的单调区间:

y=2x3-6x2-18x-7;

23.确定下列函数的单调区间:

（x>0）;

24.确定下列函数的单调区间:

;

25.确定下列函数的单调区间:

y=（x-1）（x+1）3;

26.确定下列函数的单调区间:

27.确定下列函数的单调区间:

y=xne-x（n>0,x≥0）;

28.确定下列函数的单调区间:

y=x+|sin2x|.

29.判定下列曲线的凹凸性:

y=4x-x2;

30.判定下列曲线的凹凸性:

（x>0）;

31.判定下列曲线的凹凸性:

y=xarctanx;

32..求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:

.y=x3-5x2+3x+5;

33.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:

y=xe-x;

34.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:

y=（x+1）4+ex;

35.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:

y=ln（x2+1）;

36.试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d中的a、b、c、d,使得x=-2处曲线有水平切线,（1,-10）为拐点,且点（-2,44）在曲线上.

37.试决定y=k（x2-3）2中k的值,使曲线的拐点处的法线通过原点.

38.求函数的极值:

y=2x3-6x2-18x+7;

39.求函数的极值:

y=x-ln（1+x）;

40.求函数的极值:

;

41.求函数的极值:

;

42.求函数的极值:

y=excosx;

43.求函数的极值:

;

44.求函数的极值:

y=x+tanx.

45.试问a为何值时,函数在处取得极值？

它是极大值还是极小值？

并求此极值.

46.求下列函数的最大值、最小值:

y=2x3-3x2,-1≤x≤4;

47.问函数y=2x3-6x2-18x-7（1≤x≤4）在何处取得最大值？

并求出它的最大值.

48.问函数（x<0）在何处取得最小值？

49.问函数（x≥0）在何处取得最大值？

50.求椭圆4x2+y2=4在点（0,2）处的曲率.

51.求曲线y=lnsecx在点（x,y）处的曲率及曲率半径.

52.求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率及曲率半径.

53.求曲线x=acos3t,y=asin3t在t=t0处的曲率.

四.证明题

1.验证罗尔定理对函数y=lnsinx在区间上的正确性.

2.验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间[0,1]上的正确性.

3.对函数f（x）=sinx及F（x）=x+cosx在区间上验证柯西中值定理的正确性.

4.不用求出函数f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）的导数，说明方程f'（x）=0有几个实根,并指出它们所在的区间.

5．证明恒等式:

（-1≤x≤1）.

6．若方程a0xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x=0有一个正根x0,证明方程

a0nxn-1+a1（n-1）xn-2+⋅⋅⋅+an-1=0

必有一个小于x0的正根.

7．设a>b>0,n>1,证明:

nbn-1（a-b）

8．设a>b>0,证明:

9．证明下列不等式:

（1）|arctana-arctanb|≤|a-b|;

（2）当x>1时,ex>e⋅x.

10．证明方程x5+x-1=0只有一个正根.

11．证明下列不等式:

当x>0时,;

12.证明下列不等式:

当x>0时,;

13.证明下列不等式:

当时,sinx+tanx>2x;

14.证明下列不等式:

当时,;

15．设=0,证明多项式f（x）=a0+a1x+⋅⋅⋅+anxn在（0,1）至少有一个零点.

16．设f（x）在[0,a]上连续,在（0,a）可导,且f（a）=0,证明存在一点ξ∈（0,a）,使

f（ξ）+ξf'（ξ）=0.

17．设0

18．设f（x）、g（x）都是可导函数,且|f'（x）|

当x>a时,|f（x）-f（a）|

19．设函数在上连续，在具有二阶导数，且连接点和的直线与交于点，证明：

存在，使.

20.设在连续,在可导,,且为单调增函数,令,证明:

在为单调增函数.

21.设函数对一切,满足方程,

证明:

当在点处取得极值,则此极值必是极小值.

22.证明:

当时,.

五.应用题

1.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20cm长的墙壁,问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？

2.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆,截面的面积为5m2,问底宽x为多少时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省？

3..从一块半径为的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗（如图）,问留下的扇形的中心角ϕ取多大时,做成的漏斗的容积最大？

4.求接于椭圆且两边分别平行于坐标轴的面积最大的矩形.

5.欲作一个容积为3000的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积造价的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计才能使得总造价最省?

6.已知球的半径为,试在它的接圆柱体中,求出具有最大侧面积的圆柱体的底半径与高.

7.求点到曲线的最短距离.

8.一艘停泊在海之中的军舰,离海岸垂直距离9,离海岸上的兵营,今欲从舰上送信到兵营,已知送信人步行的速度为,划船速度是,问送信人应该在何处上岸,才能使信在最短的时间到达兵营.（假定海岸线是直的）

9.与码头位于一条东西向直线形河流的同一侧,河岸边的厂离码头10公里,厂在码头的正北方4公里,今要在两厂之间修一条公路,如果延河岸筑路费用为3千元/公里,不沿河岸筑路费用为5千元/公里,问此公路沿河岸修筑几公里,才使筑路总费用最省?