江苏省高考数学一轮复习 突破140必备 专题03 函数的零点问题学案.docx

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江苏省高考数学一轮复习突破140必备专题03函数的零点问题学案

专题03函数的零点问题

函数的零点是江苏高考中的热门考点，在填空题和大题中都有涉及，在填空题中考察学生主要以函数的性质、函数与方程的思想有关，难度不大，而在大题中经常要结合导数、不等式、零点定理来判断零点个数或者由零点个数求取值或取值范围等。

本专题的侧重点放在后者。

江苏近七年的高考中有四年都考到了函数零点的大题，分别是2020年、2020年、2020年、2020年，2020年从题目上看不是零点，但本质最后就是寻找零点的问题。

由此可见其重要性。

而在函数零点的解题过程中用的最多的就是利用函数与方程的思想将其看成是两个函数图像的交点的横坐标，运用数形结合画图去判断零点。

这样的解题方法在填空题中也许还说的过去，但是在大题中解题过程值得商榷，导数判断函数的单调性只能得到函数图像的走势，并不能准确的画出函数图像，再结合一些函数的渐近线更加无法说明，要解决这类试题需要借助零点定理；即在区间上是连续不间断的，且，则在上存在零点，如果再确定具体是几个，还要结合单调性。

例1、（2020江苏省高考20）设函数，，其中为实数.

（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围；

（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.

（2）在上是单调增函数，在上恒成立，则，即

①当时，由以及，得存在唯一的零点；

②当时，由于，，且函数在上的图象连续不间断，所以在上存在零点．当时，，故在上是单调增函数，所以只有一个零点；

③当时，令，解得．当时，，当时，，所以，是的最大值点，且最大值为．

当，即时，有一个零点；

当，即时，最多有两个零点；

，，且函数在上的图象不间断，在上存在零点．当时，，故在上是单调增函数，所以在上只有一个零点．

（先证明在是成立的，这里留给同学们自己证明）

，又，且函数在上的图象连续不间断，所以在上存在零点．又在上是单调减函数，所以在上有且只有一个零点．

综上所述：

当或时，的零点个数为，当时，的零点个数为．

注：

零点问题可以用转化的思想转化成两个图形的交点问题，此题第二问可以利用参变分离转化成，则有的零点个数即为与图像交点的个数令，运用导数求单调性画出图形，利用数形结合得到答案。

虽然的图像平时都会涉及，但渐近线的问题不用极限是说不清楚的，我们学过的基本初等函数中的对数和指数函数都有渐近线，因为与其相关的函数也会有渐近线，但渐近线是什么高中并没有相关知识点去具体阐述，在大题的解题过程中缺乏说理性，可能会引起失分，而我们高一在函数与方程中学的零点定理就可以说明为什么有零点，因为零点问题的讨论需要用零点定理说明才够准确。

例2、（2020无锡高三期末20）设函数在点处的切线方程为.

（1）求实数及的值；

（2）求证：

对任意实数，函数有且仅有两个零点.

分析：

（1）由导数几何意义得：

，

又，，解得

（2）先根据导数确定函数单调性：

在上单调减，在上单调递增，有最小值，因为，所以在上一定有一解，在上有且仅有一解；难点在证明存在使，这时需构造一个函数易得，从而，取，从而得证.

下面证明存在使（其实就是证明）

令，，

所以当时，，在上单调递减

当时，，在上单调递增

所以，即

当时，

取，又在上连续不间断

所以在上有且只有一解

综上所述，函数在上有且仅有两个零点.

例3、（2020江苏省高考19）已知函数。

（1）试讨论的单调性；

（2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值。

分析：

（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出的单调性；

（2）由

（1）知，函数的两个极值为，则函数有三个不同的零点等价于，进一步转化为时，或时，．利用条件即可求c的值．

解：

（1）

令，可得或．

时，，在上单调递增；

时，时，，时，，

函数在，上单调递增，在上单调递减；

时，时，，时，，

函数在，上单调递增，在上单调递减；

（2）由

（1）知，函数的两个极值为，则函数有三个不同的零点等价于

，时，或时，．

令

有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是

在上，且在上均恒成立，

，且，

此时，

函数有三个零点，

有两个异于的不等实根，

且

解得

综上所述：

例4、（2020江苏省高考19）已知函数．

（2）若，函数有且只有个零点，求的值．

分析：

对求导令解得，判断单调性在上单调递减，在上单调递增，因此最小值为，讨论与的大小。

解：

，，由，可得，

令，则单调递增，的解

当时，，，则；

当时，，，则

在上单调递减，在上单调递增，因此最小值为

例5、（2020南通高三一模19）10已知函数

（1）求的单调区间；

（2）试求函数的零点个数，并证明你的结论。

解：

（1）的定义域

令解得

当时，，所以在单调递减

当时，，所以在单调递增

综上所述：

的单调增减区间为，单调增区间为

（2）由

（1）可知

①当，即时，，故无零点；

②当，即时，有一个零点；

③当，即时，最多有两个零点零点；

当时，，易知恒成立，故在上无零点。

，，，又在

上单调且连续不间断，故在有且只有一个零点，所有在有且只有一个零点；

当，，，，又在

上单调且连续不间断，故在有且只有一个零点；

，，（证明）

，所以，又在上单调且连续不间断，故在有且只有一个零点，所以在有且只有两个个零点；

综上所述：

当或时，有一个零点；

当时，无零点；

当时，有两个零点；

（注：

的证明过程，同学不妨自己证明书写）

例6、（2020南通泰州高三一模19）已知函数

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若，证明：

函数有且只有一个零点；

（3）若函数又两个零点，求实数的取值范围。

（2）由，得：

所以当时，，函数在上单调递减，

所以当时，函数在上最多有一个零点

又当时，，

所以当时，函数在上有零点，

综上，当时，函数有且只有一个零点；

（3）由

（2）知：

当时，函数在上最多有一个零点，

因为函数有两个零点，所以，

由，得：

令，因为，

所以函数在上有且只有一个零点，设为，

当时，<0，<0，当时，>0，>0，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

要使得函数在上有两个零点，只需要函数的最小值，

即，又因为，

消去得：

，

（注：

的证明过程，同学不妨自己证明书写）

总结：

通过以上几个高考真题和模考题，我们不难发现函数零点个数的讨论步骤：

①原函数进行求导，讨论函数在区间上的单调性（以先减后增为例）

②计算函数的最小值，若最小值大于，则函数无零点；若最小值等于，函数有且只有一个零点；若最小值小于，函数最多有两个零点；

③说明具体的零点个数。

难点在于要在区间中找到一点使得，

在区间上找到一点使得，再结合零点定理才能说明有且只有两个。

在找、时经常试点等等，可能是一个具体的数，可能是含有参数的数，再结合几个常见的不等关系：

、、、

巩固练习：

1、（2020扬州高三四模）已知函数，

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，判断函数有几个零点，并证明你的结论；

2、（2020无锡高三期中19）设函数，其中N，≥2，且R．

（3）当时，试求函数的零点个数，并证明你的结论．

3、（2020扬州高三上期末20）已知函数，其中函数，．

（1）求函数在处的切线方程；

（2）当时，求函数在上的最大值；

（3）当时，对于给定的正整数，问函数是否有零点？

请说明理由．（参考数据）

4、（2020南通高三三模）设函数（，其中是自然对数的底数）.

（1）当时，求的极值；

（2）若对于任意的，恒成立，求的取值范围；

（3）是否存在实数，使得函数在区间上有两个零点？

若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

5、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2020届高三上学期期中）设函数，为正实数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求证：

；

（3）若函数有且只有个零点，求的值．

6、（2020镇江高三上期末19）已知且，函数，其中为自然对数的底数

（3）如果关于的方程有且只有一个解，求实数的取值范围.

7、（2020江苏高考19）记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．

（1）证明：

函数与不存在“点”；

（2）若函数与存在“点”，求实数的值；

（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．

答案解析：

1、解：

（1）

0

2

-

0

极小值

极大值

所以单调增区间，单调减区间为、

（2）函数有个零点。

证明如下：

因为时，所以，

由，，且在上单调递增且连续

得在上有且仅有一个零点

2、解：

，

，令解得

，时，，在上单调递减

时，，在上单调递增

令，则，是单调递减

，即

，，在上连续不间断且单调，

在有一个零点

，，在上连续不间断且单调，在有一个零点

综上所述：

在有两个零点

3、解：

（1），故，

所以切线方程为，即

（3）结论：

当时，函数无零点；当时，函数有零点

理由如下：

①当时，实际上可以证明：

．

方法一：

直接证明的最小值大于0，可以借助虚零点处理．

，显然可证在上递增，

因为，，

所以存在，使得，

所以当时，递减；当时，递增，

所以，其中，

而递减，所以，

所以，所以命题得证。

方法二：

转化为证明，下面分别研究左右两个函数．

令，则可求得，

令，则可求得，所以命题得证。

方法三：

先放缩，再证明．

可先证明不等式（参考第1小题），所以只要证，

令，则可求得，

所以命题得证．

②当时，，

此时，，

下面证明，可借助结论处理，首先证明结论：

令，则，故，

所以在上递增，所以，

所以在上递增，所以，得证。

借助结论得，

所以，又因为函数连续，所以在上有零点。

4、解：

（1）当时，

令，得

列表如下：

-1

+

0

-

极小值

所以函数的极小值为，无极大值；

（3）不存在实数，使得函数在区间上有两个零点，由

（2）知，当时，在上是增函数，且，故函数在区间上无零点

当时，

令，

当时，恒有，所以在上是增函数

由

故在上存在唯一的零点，即方程在上存在唯一解

且当时，，当，

即函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，，即在无零点；

当时，

所以在上有唯一零点，

所以，当时，在上有一个零点

综上所述，不存在实数，使得函数在区间上有两个零点.

5、解：

（1）当时，，则，

所以，又，

所以曲线在点处的切线方程为．

（2）因为，设函数，

则，

令，得，列表如下：

极大值

所以的极大值为．

所以．

（3），，

令，得，因为，

所以在上单调增，在上单调减．

所以

设，因为函数只有1个零点，而，

所以是函数的唯一零点．

当时，，有且只有个零点，

此时，解得．

下证，当时，的零点不唯一．

若，则，此时，即，则．

由

（2）知，，又函数在以上的图象连续不间断，

所以在之间存在零点，则共有2个零点，不符合题意；

若，则，此时，即，则．

同理可得，在之间存在零点，则共有2个零点，不符合题意．

因此，所以的值为．

注：

此题在说明零点的唯一性时与2020年江苏高考19题很类似，同学们可以对比一下

注：

此题在说明零点的唯一性时与2020年江苏高考19题很类似，同学们可以对比一下

7、解：

（1）证明：

，

令，此方程组无解

与不存在“点”

（2），

因为与存在“点”

所以解得，