0713020全国数学建模大赛A题.docx
《0713020全国数学建模大赛A题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《0713020全国数学建模大赛A题.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
0713020全国数学建模大赛A题
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
0713020
所属学校（请填写完整的全名）：
内蒙古工业大学
参赛队员（打印并签名）：
1.冯锦
2.夏丹青
3.常应文
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
侯睿
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）
日期：
2013年9月15日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
车道被占用对城市道路通行能力影响模型
摘要本文针对车道被占用对城市道路通行能力的影响，以概率论、排队论、车辆波和蒙特卡洛随机模拟为基础，根据具体实际情况，分析了车道被占对城市道路横断面实际通行能力，建立了车道排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间和路段上游车流量之间的关系并预测了车辆排队长度到达上游路口所用时间。
针对问题
（1），将视频1中出现的车辆包括大车、轿车、电瓶车转换为车辆标准当量数，转换系数分别为1.5、1、0.2，以信号周期60秒为时间单位统计了视频中出现的各种车辆，转换为车辆标准车当量数，以单位时间内通过的标准车当量值化了道路的通行能力。
针对问题
（2），采用相同的方法，先对对视频2中出现的各种车辆进行了统计，转换为车辆标准当量数，并把视频1和视频2中单位时间内的标准车当量数做了折线对比图，并考虑到右转、直行、左转车辆占道路车流量的0.21、0.44、0.35，忽略掉次要因素，分析得到同一横断面交通事故占用车道不同，对该横断面实际通行能力影响的主要因素为车道1上的车转移到车道3上与车道3上的车转移到车道1上的车辆标准当量数不同。
针对问题（3），以交通波速度理论为突破点，引用已有理论分别找出交通波速度与排队长度及交通波速度和各路段车流量密度之间的关系，再寻找各个路段车流量密度与上游车流量及现实通行能力之间的关系，联立方程得出要求因素对车辆排队长度的影响关系式。
针对问题（4），由于事发点距离上游路口的距离给定，则在这一段的车容量也是一定的。
根据上游车流量为满足均值为1500pcu/h的泊松分布，事发点通行能力为定值可以利用蒙特卡洛法模拟出车容量达到最大值所需的时间，此时间便是排队到达上游路口所需的时间。
关键词：
排队长度；实际通行能力；标准当量数；交通波速度；蒙特卡洛随机模拟
1、问题重述
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。
由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。
如处理不当，甚至出现区域性拥堵。
车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。
请研究以下问题：
1.根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
2.根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
3.构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
4.假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。
请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。
2、问题分析
影响道路通行能力的主要因素有交通事故、路边停车、占道施工、道路状况、车辆性能、交通条件、交通管理、驾驶技术和气候等条件等诸多因素。
交通条件是指交通流中车辆组成、车道分布、交通量的变化、超车及转移车道等运行情况的改变。
车辆性能是指车辆行驶的动力性能，如减速、加速、制动、爬坡能力等。
气候因素是指气温的高低、风力大小、雨雪状况。
本文通过论述交通事故占用车道对城市通行能力的影响。
本文论述过程中把视频中的所有车辆分为大车、轿车、电瓶车都转换为标准车当量数进行分析。
问题1中，视频1中事故发生至撤离期间，通过统计每个红绿灯周期即一分钟时间段内，通过事故所处横断面的标准车当量数，对数据进行分析。
问题2中，由于车道1、车道2、车道3通行车辆分别为车流量的21%、44%、35%，视频1和视频2中事故所处同一横断面，视频1中占用车道2和车道3，车道1通行；视频2中占用车道为车道1、车道2，车道3通行。
导致事故发生期间，视频1和视频2中车道通行能力不同的主要因素为两种情况下通过标准车当量所占用时间不同，视频1中通过标准车当量所占用时间稍长于视频2中通过标准车当量所占用时间。
问题3中，交通事故对道路行车造成的影响，不仅与事故本身的严重程度有关，而且与事故发生地点与时间的因素有关，为简单起见将事故严重程度视为相同，根据美国《道路通行能力手册》中的规定，将道路路段服务水平分为A、B、C、D、E、F六个等级，不同服务等级对车流的影响不同，A、B、C服务水平条件下车流比较稳定，密度较小，对交通的影响不大，但是在D、E服务水平下，交通流处于不稳定阶段，车流密度较大，任何交通流的干扰和事故都会引起严重的道路堵塞，形成较长的车辆排队，结合视频1本文只考虑D、E服务水平条件下的车辆排队问题。
构建交通波以及交通波波速的概念对堵塞排队模型进行分析，得出交通波波速和上游车辆密度及事故发生面车辆密度之间的关系，以此为桥梁再利用交通波速度和堵塞排队长度之间的关系得出排队长度和车流密度之间的关系即可得出其与上游车流量，实际通行能力，事故持续时间之间的关系。
问题4中，求排队长度到达至上游路口的时间即为求在事故发生开始到该路段达到最大车容量所需时间，由此利用随机模拟的方法对其进行多次模拟，对其进行多次模拟，取其平均值，即可得到达上游路口所需时间。
三、模型的假设与符号的说明
3.1符号的说明：
距事故发生段的车辆排队长度
实际道路通行能力
上游车流量
上游平均车流量
车辆设计速度，为常量
小区出口处车流量密度
上游段车辆密度
事故段至下游段车辆密度
堵塞段车辆密度
车辆最大堵塞密度
事故段至下游路口段平均速度，为常量
事故段车辆平均速度
上游段车辆平均速度
车流量从事故发生至恢复正常所用时间
事故持续时间
3.2模型的假设：
1、我们从视频1、视频2中统计到的车型数据是准确的；
2、1pcu从车道1转移到车道3和从车道3转移到车道1所用时间相同；
3、视频1、视频2中上游路口车流量密度起伏不大，基本稳定；
4、事故段的实际通行能力基本稳定；
四、模型的建立与求解
4.1问题
（1）求解
由于交通控制灯变换周期为1分钟，故每隔一分钟对视频1中通过事发点车辆进行统计，由于车型不同，将车辆分为大车、轿车、电瓶车，再统一转换为标准当量数，以轿车为一个标准车型，大车转换为1.5个标准车，电瓶车转换为0.2个单位标准车，标准车当量pcu，用相关统计均值的方法对事故时间段内通过事发点的车流量统计估算为17.5pcu/min。
表1—视频1中车辆数量统计
视频1中车辆数量统计
时间段序号
大车
轿车
电瓶车
标准当量数
1
2
15
6
19.2
2
0
12
7
13.4
3
4
15
5
22
4
2
17
4
20.8
5
0
17
3
17.6
6
1
15
4
17.3
7
0
17
7
18.4
8
1
20
3
22.1
9
2
17
5
21
10
1
9
3
11.1
11
4
17
3
23.6
12
2
16
5
20
13
2
16
2
19.4
14
3
13
0
17.5
15
1
17
5
19.5
16
1
10
2
11.9
17
1
8
2
9.9
18
1
6
2
7.9
19
2
8
1
11.2
20
0
7
1
7.2
注：
时间段除序号17、20时长不到1分钟外，其它时间段时长均为1分钟；转换标准当量数时大车按1.5pcu,轿车按1pcu,电瓶车按0.2pcu；车辆排队长度达到120米时刻点标注在该时刻点所在的时间段序号为3、8、11、12、13；1、2、19、20时间段为非事故时间段。
图1
由表1统计数据和根据相关数据所绘图1观察得知，事故发生至事故撤离的时间段内，通过事发地点的车流量以周期性上下波动，有视频观察得知，当上游十字路口为绿灯时，通过事发点的车流量开始增加，由绿灯变为绿闪，再由绿闪变为黄灯，通过事发点的车流量越来越大直至最大，此后，当上游交叉路口信号灯变为红灯时，通过事发点的车流量开始下降，直到红灯结束，通过事发点的车流量降至最低，当上游交叉路口信号灯再由红灯转为绿灯，通过事发点的车流量如前所述，依次呈周期性规律变化，对所统计的视频1中的相关数据，运用统计均值等知识得出，事故发生段时间段内，通过事发点的平均车流量为17.13pcu/min,由图1可看出，车流量随17.5周期性上下波动。
4.2问题
（2）求解
同样，我们对视频2进行了相似的统计，相关数据如表中所示，并绘制出视频2中车辆标准当量数的折线图，如图2，并根据视频1和视频2中的标准当量数绘制了对比图，如图3，计算出视频1中平均标准车当量数为17.13，视频2中标准车当量数为21.47，可知，车道1和车道2占用比车道2和车道3占用车流量大4.34pcu，在道路通行顺畅的情况下，车道1、车道2和车道3的车流量比例系数分别为0.21、0.44、0.35，如题目附件3所示，由于单车道宽度都为3.25m，故道路宽度并非成为造成视频1和视频2中事故所处截面车流量的主要因素；考虑到3个车道的车流分配系数不同，造成上述原因的主要因素应为车辆转移到一条车道所费时间。
视频1总占用了车道2和车道3，车道1通行，故车道1除了通过道路车流量当中21%右转的车辆，还有道路车流量当中44%直行的车辆和道路车流量当中35%左转的车辆要转移到车道1并通过事故所处横截面。
由于视频1和视频2当中都有车流量当中44%直行的车辆要转移到相邻车道，故这一部分车的转移对车流量的影响不大，现在仅考虑视频1中车道3上的车转移到车道1上与视频2中车道1上的车转移到车道2上的区别。
由车流量的分配系数可知，视频1中车道3转移到车道1的车占车流量的35%，而视频2中车道1转移到车道3的车占车流量的21%，也就是说视频1中车道3转移到车道1上的车辆当量数要大于视频2中车道1转移到车道3上的车辆当量数。
假如一辆车从车道1转移到车道3并通过事故所在横截面和一辆车从车道3转移到车道1并通过事故所在横截面所用时间相同，但由于视频1中车道3上转移到车道1上车的标准当量数大于视频2中车道1上转移到车道3上车的标准当量数，故相同时间条件下视频1中通过事故所在横截面的车辆标准当量数小于视频2中通过事故所在界面的车辆标准当量数。
这与视频1与视频2中显示的结果相一致。
因此，视频1中车道3向车道1转移的车辆标准当量数大于视频2中车道1向车道2转移车辆标准当量数是视频1中通过事故所处横截面车流量小于视频2中通过事故所处横截面车流量的主要原因。
在此基础上可以预测，若车道1、车道3被占用，则需转移的车辆（即车道1和车道3上的车转移到车道2上）标准当量数最小，此时的车流量和视频1、视频2相比为最大。
表2—视频2中车辆统计
视频2中车辆统计
时间段序号
大车
轿车
电瓶车
车辆标准当量数
1
3
17
3
22.1
2
2
21
5
25
3
1
18
6
20.7
4
3
19
4
24.3
5
1
20
7
22.9
6
3
15
3
20.1
7
2
18
9
22.8
8
1
21
2
22.9
9
2
23
11
28.2
10
1
14
5
16.5
11
1
18
5
20.5
12
1
20
7
22.9
13
1
12
6
14.7
14
4
17
9
24.8
15
1
18
5
20.5
16
1
23
5
25.5
17
1
19
4
21.3
18
1
17
12
20.9
19
2
17
9
21.8
20
2
19
6
23.2
21
2
18
7
22.4
22
3
18
11
24.7
23
1
20
4
22.3
24
3
14
2
18.9
25
4
9
5
16
26
3
19
4
24.3
27
1
17
6
19.7
28
2
19
0
22
29
2
16
2
19.4
30
1
15
2
16.9
31
2
20
2
23.4
注：
时间段时长均为1分钟；转换标准当量数时大车按1.5pcu,轿车按1pcu,电瓶车按0.2pcu；车辆排队长度达到120米时刻点标注在该时刻点所在的时间段序号为1、8、16、17、18、21、22、23、30、31。
图2
图3
4.3问题（3）的模型建立与求解
1、交通波动理论：
列队行驶的车辆在瓶颈路段入口处减缓车速陆续排队而集结成密度高的队列，它所体现的车流波称为集结波；通过瓶颈路段后，排队的车辆又陆续启动而疏散成一列具有适当密度的车队，它所体现的车流波称为疏散波。
交通流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队后部传动的现象称为交通流的波动。
2、交通波速度求解模型【1】：
将车辆堵塞交通化简为下图4
其中：
V1为A区车辆的区间平均速度；
V2为B区车辆的区间平均速度；
K1为上游车流密度；
K2为堵塞段车流密度；
V1W
K1S
ABV2K2
图4
则在t时间内横跨过S交界线的车数N为:
N=（V1-W）.K1.t=（V2-W）.K2.t；
既得：
W=（V1*K1-V2*K2）/（K1-K2）----
（1）；
令A,B两部分车流量分别为q1,q2,则由定义知道：
：
q1=K1*V1
:
q2=K2*V2
于是
（1）式变为：
W=（q1-q2）/（K2-K1）-----
（2）；
当q1>q2,K1又由Greenshilds根据观察数据统计分析得出的车速——密度的线性模型：
Vi=Vf*（1-ki/kj）
得V1=Vf*（1-K1/kj）——（3）;V2=V*（1-K2/kj）——（4）；
将（3）和（4）带入
（1）中并化简得：
——（5）
若A,B两区车流量与交通密度大致相同，则：
因此可得传播小紊流的速度：
在流量-密度关系相关曲线上，集散波的波速就是割线的斜率，微弱波的波速就是切线的斜率。
如图5所示，当车流从低密度低流量的A状态转化到高密度高流量的B状态时，W>0即波与交通流的运动方向相同；当车流从低流量高密度
的C状态转变到高流量低密度的B状态时，W<0即波与交通流的运动方向相反。
从A到B是集结波，从B到A是消散波，这两者都是前进波；从B到C是集结波从C到B是消散波，这两者都是后退波。
3、用车流波动理论分析车流排队及消散的过程【2】
3.1用车流波动理论分析交通事故过程
假设上游交通需求量大于事发路段现有通行能力，到达车流在事故地点陆续减慢速度甚至停车而集结成密度较高的队列，事故解除后，由于路段通行能力的恢复，排队车辆又陆续加速而疏散成一列具有适当密度的车队，车流中两种不同密度部分的分界面一辆辆车向车队后部传播的称为车流波动。
QB
A
C
K
图5Q—K关系曲线图
x/m
B
O
t/min
A
图6
图6为时间-空间坐标系下的一队n辆车的运行状态变化图。
图中每条曲线表示一辆车运行的时间-空间轨迹，车队密度不同的两部分之间有一个分界面，虚线OA是低密度状态向高密度状态转变的分界面，它所体现的车流波为集结波；而BA是高密度状态向低密度状态转变的分界面，它所体现的车流波为消散波。
密度分界面沿道路移动的速度为波速，在图中表现为虚线的斜率，其正负号表示波传播的方向。
从事故发生至事故解除期间，上游车流由高速低密的畅通状态转变为低速高密的拥挤状态，从而形成集结波，波面以一定的速度向车队的后方传播；事故解除后，除了集结波继续向车队后方传播外，在车队的前方又形成了消散波，波面同样向车队后方传播。
当消散波的速度大于集结波的速度时排队消散终能完成。
3.2交通事故发生后排队长的计算：
图7为事故发生后累计车辆-时间图，实线表示交通需求流量，点划线表示通过能力。
为叙述简便，对所用符号说明如下：
事故发生时堵塞了部分车道，该路段通行能力下降S1；相应密度上升Ks1；交通事故处理所需时间为T0；事故解除后车队消散前通行能力回升为S2；车流密度相应地下降为Ks2。
其中路段的通行能力由图3中点划线的斜率来表示。
路段上游交通需求流量为Q1、Q2、由图4中实线斜率表示；持续时间为T1、T2、……；相应车流密度为K1、K2……。
辆
T0T1T*T/min
图7
在图7中可以看出，当两条折线相交时表示车队消散，所需时间为T*。
但无法计算出排队长，可用车流波动理论进行求解。
图8中每条曲线表示一辆车运行的时间-空间轨迹。
横轴表示时间，纵轴表示与事故点的相对位置，原点O表示事故发生点，纵轴的负半轴表示事故点的上游，正半轴表示事故点的下游，虚线OA、AB表示集结波，CB表示消散波，其斜率的绝对值表示波速，斜率的正负号表示波传播的方向。
两波相遇的时间为T，当集结波与消散波在T>0的范围内有交点时，表示车队可以在有限时间内消散，否则不能消散。
首先假设两波相遇之前该路段需求流量始终为，OA与CB相交处表示排队向上游延伸达到的最远处，设两波相遇时的时间为T，集结波波速为，消散波波速为，则根据两波相遇时波传播的距离相等这一关系
——（6）
其中
——（7）
若T>T1，则说明在车队消散之前该路段上游需求流量发生了变化，需求流量变为Q2，相应的密度变为K2，所以式子变为
——（8）
其中
得
——（9）
由下面公式10可求得排队长度
——（10）
x/m
S2
C
S1
t/s
Q1AB
Q2
图8
4、模型求解：
结合问题三的要求和视频一，在此考虑事故发生后排队长度的变化与上游车流量，实际通行能力和事故持续时间之间的关系：
由于红绿灯的作用，车流累计及消散和时间的关系并不为图三中的关系，而应大致的如下图9所示，为了简单起见，我们取其平均车流量
，所以车流量可以看成不变，可出于对人们的习惯的考虑我们此处仍以Q来表示。
辆
T0T
将：
图9
；
；
代入（7）和（10）得：
上式即为排队长度与与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量之间的关系。
4.4问题（4）的编程解答：
在此问题中事故发生点为距离上游140m处，则根据拥堵时两车头之间的距离为5m的估计，结合视频一中车道数为3，可得当拥堵到达上游路口时所堆积车辆总数S=（140/5）*3=84辆，又由于上游车流量为1500pcu/h,即25pcu/min,换算成小汽车数目即为25辆/min，且符合泊松分布，同时事故段的通行能力为17辆/min,利用蒙特卡洛方法模拟，得出排队长度达到路口所需的时间。
程序如下：
clear
>>pt=0;
>>fori=1:
10
t（i）=0;
s（i）=0;
whiles（i）<=84
s（i）=s（i）+poissrnd（25）-17;
t（i）=t（i）+1;
end
pt=pt+t（i）;
end
>>t=pt/10
t=
10.9000
MATLAB运行上述程序得到t=10.9分钟,此结果为循环模拟10次所得的结果，可以大致的用来表示排队长度到达上游路口所需的时间，即时间约为11分钟。
五、模型检测
将问题（4）中的条件及模拟所得结果，即Q=1500pcu/.h，l=140m，T01=11min，带入问题（3）中所得模型，进行检测，结果相差不大，可以认为该模型可靠性较好。
六、模型的优缺点评价及改进
6.1模型的优点
1、本模型车辆统计部分，将时间量化，以信号周期为单位；视频资料中出现了大车（公交车）、轿车、电瓶车，为了有一个统一的标准，将这些车型转换为车辆标准当量数，即转换系数分别为1.5、1、0.2这样就化抽象为具体，使问题分析更加简明，使问题便于理解和分析。
2、通过事故所处横截面的车流量是一个相当复杂的问题，本模型忽略了一些次要因素，如假定上游车流量在研究问题时间段内起伏不大，基本处于稳定状态，以及单车道不能同时通过两辆车等因素，不考虑次要因素，使模型简化，便于理解。
3，通过交通波理论，有效联立了看似很难联系的四个变量的，将定性问题有效转化成了具体的数学关系式，为以后进一步
升级会员 