六年级上学期数学第8章数学广角数与形.docx
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六年级上学期数学第8章数学广角数与形
2020-2021学年六年级上学期《第8章数学广角-数与形》
一．选择题（共7小题）
1．观察下面的点阵图，按规律，第（9）个点阵图中有（ ）个点．
A．27B．30C．33D．54
【分析】图
（1）有6个点，图
（2）有9个点，图③有12个点、6、9、12……是一公差为3的等差递增数列．6＝3×1+3、6＝3×2+3、12＝3×3+3……第n（n为大于0的自然数）项是3n+3．
【解答】解：
由分析可知，第n项是（3n+3）个点
3×9+3
＝27+3
＝30
答：
第（9）个点阵图中有30个点．
故选：
B．
【点评】解答此题的关键是根据点子数目与图的序数找出规律，根据图的序数与点子数目之间的关系，可求第n个图点子的数目．
2．把正方形桌子拼在一起，一张正方形桌子能坐8个人，两张正方形桌子能坐12个人，如图．如果10张桌子拼在一起能围坐（ ）人．
A．36B．40C．44D．48
【分析】根据题意，1张桌子可以坐8人可以写成1×4+4人，2张桌子可以坐12人可以写成2×4+4人，3张桌子16人，可以写成3×4+4＝16人，…，y张桌子就可以坐4y+4人，由此即可解决问题．
【解答】解：
1张桌子可以坐8人可以写成1×4+4人，2张桌子可以坐12人可以写成2×4+4人，3张桌子16人，可以写成3×4+4＝16人，…，
则y张桌子就可以坐4y+4人，
当y＝10时，
学生总数为：
4×10+4＝44（人），
答：
如果10张桌子拼在一起能围坐44人．
故选：
C．
【点评】此类规律题一定要注意结合图形进行分析，发现规律：
每多一张桌子，多坐4人．从而得出y张桌子可以坐4y+4人．
3．如图：
照这样画，第12幅图有（ ）个三角形．
A．18B．20C．22D．24
【分析】根据题意，第一幅图有2个三角形，第二幅图有4个三角形，第3幅图有6个三角形，可推出第n幅图有2n个三角形，据此即可解答问题．
【解答】解：
根据题干分析可得，第一幅图有2个三角形，
第二幅图有4个三角形，
第3幅图有6个三角形，
可推出第n幅图有2n个三角形，
当n＝12时，2×12＝24（个）
答：
第12幅图有24个三角形．
故选：
D．
【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
4．观察下面的点阵图形，根据圆点的变化，探究其规律，则第8个图形中圆点的个数为（ ）
A．25B．26C．27D．29
【分析】第1个图由1个点，第2个图形由5个点，第3个图形由9个点，第4个图形有13个点……1、5、9、13……很明显，是首项为1，公差为4的等差递增数列，即每项加4就是它后面和它相邻的项．1＝4×1﹣3、4＝4×2﹣3、9＝4×3﹣3、13＝4×4﹣3……第n个图的点数是（4n﹣3）个．
【解答】解：
由分析可图可知，第n个图的点数是（4n﹣3）个
第8个图形中圆点的个数为：
4×8﹣3
＝32﹣3
＝29
答：
第8个图形中圆点的个数为29．
故选：
D．
【点评】解答此题的关键是根据图的序数与点个数找出规律，然后再根据规律即可求出第n个图点的个数．
5．巍巍宝塔共七层，红光点点倍加增．塔尖若有n盏灯，七层共需灯几盏？
这首古诗的意思是：
一座七层的宝塔，从上到下每层灯的数量都是上面一层的2倍．如果最上面塔尖这一层有n盏灯，那么这座宝塔一共有（ ）盏灯．
A．2nB．7nC．49nD．127n
【分析】根据已知条件分析可知：
每层比上一层多n盏灯，一共7层，将每层灯的数量加到一起即可．
【解答】解：
假设最上边的一层是n盏灯，
则：
n+2n+4n+8n+16n+32n+64n＝127n（盏）
答：
这座宝塔一共有127n盏灯．
故选：
D．
【点评】本题考点数字的排列规律；题型为常见多变、易考、难度较大．
6．下面算式中，与1+3+5+7+9+7+5+3+1的得数相等的是（ ）
A．52+32B．42+52C．52﹣32
【分析】1+3+5+7+9+7+5+3+1＝（1+3+5+7+9）+（1+3+5+7）＝52+42，进而判断即可．
【解答】解：
1+3+5+7+9+7+5+3+1
＝（1+3+5+7+9）+（1+3+5+7）
＝52+42；
故选：
B．
【点评】解答此题的关键是根据各算式的特征（从1开始的相邻奇数相加）找算式中加数的个数与算式的序数之间关系，然后根据这一关系解答．
7．一列数1，
，
，
，
，
，
，
，
，
……中的第27个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】从这组数的分母可以得出规律，当分母数为n时，则共有n个
，所以第27个数为
，则1+2+3+…+n﹣1＜27＜1+2+3+…+n，可以求出n，进而得解．
【解答】解：
根据规律，设第27个数为
，则1+2+3+…+n﹣1＜27＜1+2+3+…+n，
所以
＜27＜
；
所以n＝7，则第27个数是
．
故选：
B．
【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
二．填空题（共10小题）
8．用四根小棒可以搭一个正方形．
数一数，用 7 根小棒可以搭2个正方形；如果继续搭下去，搭到第五个正方形时共用了 16 根小棒．
【分析】根据图示可知，搭1个正方形需要小棒：
4根；搭2个正方形需要小棒：
4+3＝7（根）；搭3个正方形需要小棒：
4+3+3＝10（根）；……搭n个正方形需要小棒：
4+（n﹣1）×3＝（3n+1）根，据此解答即可．
【解答】解：
搭1个正方形需要小棒：
4根
搭2个正方形需要小棒：
4+3＝7（根）
搭3个正方形需要小棒：
4+3+3＝10（根）
……
搭n个正方形需要小棒：
4+（n﹣1）×3＝（3n+1）根
所以搭2个正方形需要小棒：
3×2+1
＝6+1
＝7（根）
搭5个正方形需要小棒：
3×5+1
＝15+1
＝16（根）
答：
用7根小棒可以搭2个正方形；搭到第五个正方形时共用了16根小棒．
故答案为：
7；16．
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图形发现规律，并运用规律做题．
9．“转化”是解决问题的常用策略之一，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，例如借助如图，可以将算式
转化成：
1 ﹣
＝
；也可以将算式3+6+12+24+48+96+192转化成：
192×2 ﹣ 3 ＝ 381 ．
【分析】
（1）根据图形观察发现把这个正方形看作单位“1”，算式可以转化为1﹣
；
（2）3+6+12+24+48+96+192可以写成1+2+3+6+12+24+48+96+192﹣3，可以发现从第三项开始，每项为前面所有项的和，得3+6+12+24+48+96+192＝192×2﹣3．
【解答】解：
＝1﹣
＝
3+6+12+24+48+96+192
＝192×2﹣3
＝384﹣3
＝381
故答案为：
1，
，
，192×2，3，381．
【点评】此题重点考查了数据分析能力，以及数据的推理能力．
10．用长4厘米、宽3厘米的长方形学具排成如图，最上层是一个学具，以下每层多一块．排5层，得到的图形的周长是 70 厘米；如果排300层，得到图形的周长是 4200 厘米．
【分析】
（1）根据图示可知，摆5层求图形的周长，可以用转化的方法，把图形转化为长5个4厘米，宽5个3厘米的长方形，利用长方形周长公式求其周长即可．
（2）根据所给图示发现规律：
排几层求周长，就可以转化为长和宽都是层数个长4厘米，宽3厘米的长方形周长的和．据此解答．
【解答】解：
（1）（4×5+3×5）×2
＝（20+15）×2
＝35×2
＝70（厘米）
答：
这个图形的周长为70厘米．
（2）（4+3）×2×300
＝7×2×300
＝14×300
＝4200（厘米）
答：
排300层，得到图形的周长是4200厘米．
故答案为：
70；4200．
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现规律，丙运用规律做题．
11．摆一个多边形需要用n根小棒．摆3个这样的多边形需要多少根小棒 3n ．
摆5个呢 5n
8个呢 8n
12个呢 12n
a个呢 an
多边形的个数
4
5
8
12
a
需要小棒根数
【分析】根据摆1个多边形需要n根小棒，则摆3个多边形需要3n根小棒；摆5个多边形需要5n根小棒；摆8个多边形需要8n根小棒；摆12个多边形需要12n根小棒；摆a个多边形需要an根小棒．
【解答】解：
摆1个多边形需要n根小棒；
则摆3个多边形需要3n根小棒；
摆5个多边形需要5n根小棒；
摆8个多边形需要8n根小棒；
摆12个多边形需要12n根小棒；
摆a个多边形需要an根小棒．
填表如下：
多边形的个数
4
5
8
12
a
需要小棒根数
4n
5n
8n
12n
an
故答案为：
3n；5n；8n；12n；an．
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图示发现图示排列的规律，并运用规律做题．
12．根据前面三道算式，直接填出括号里的数
9×8＝72
99×88＝8712
999×888＝887112
9999×8888＝ 88871112
99999×88888＝ 8888711112
【分析】根据观察，第一个因数中9个数与第二个因数中8的个数相同，积中8的个数比因数9或8的个数少1，然后写一个数字7，接下来写数字1，1的个数比因数9或8的个数少1，最后写一个数字2即可．
【解答】解：
9×8＝72
99×88＝8712
999×888＝887112
9999×8888＝88871112
99999×88888＝8888711112
故答案为：
88871112，8888711112．
【点评】解答本题的关键是仔细观察前三个算式的特征，找出特点或规律．
13．①13+23＝9，（1+2）2＝9；
②13+23+33＝36，（1+2+3）2＝36；
③13+23+33+43＝100，（1+2+3+4）2＝100；
……
通过观察发现：
13+23+33+43+53+63＝ 441 ．（填得数）
【分析】①13+23＝9，（1+2）2＝9；
②13+23+33＝36，（1+2+3）2＝36；
③13+23+33+43＝100，（1+2+3+4）2＝100；
……
纵观各式不难发现：
左边底数由上而小分别是1、2之和；1、2、3之和；1、2、3、4之和……；每个加数的指数都是3；右边是所有加数去掉指数的和的平方．据此即可求出13+23+33+43+53+63的和．
【解答】解：
13+23+33+43+53+63
＝（1+2+3+4+5+6）2
＝212
＝441
即通过观察发现：
13+23+33+43+53+63＝441．
故答案为：
441．
【点评】解答此题的关键是根据前三个算式找出规律，然后再根据规律解答．
14．欢欢用计算器计算了12×101＝1212，123×1001＝123123，1234×10001＝12341234，请你根据这三个算式的规律，推算出12345×100001＝ 1234512345 ．
【分析】认真观察，积是第一个因数数字的重复，重复次数是2次，第二个因数个位和最高位数字都是1，中间的0的个数是第一个因数的个数少1，据此解答．
【解答】解：
因为12×101＝1212，
123×1001＝123123，
1234×10001＝12341234，
所以：
12345×100001＝1234512345．
故答案为：
1234512345．
【点评】首先认真观察，找到规律，是解决此题的关键．
15．现有一堆建筑需要清运，它第一次运走总量的
．第二次运走余下的
，第三次运走余下的
，第四次运走余下的
，第五次运走余下的
，依次规律继续运下去，当运走49次后，余下废料是总量的
．
【分析】由题意，可得规律：
分子代表运走的次数n，分母是2008﹣（n﹣1），因此，第49次时，分子为49，分母为2008﹣（n﹣1）＝2008﹣（49﹣1）＝2008﹣48．据此解答．
【解答】解：
它第一次运走总量的
．
第二次运走余下的
第三次运走余下的
第四次运走余下的
第五次运走余下的
……
当运走49次后，余下废料是总量的
．
答：
当运走49次后，余下废料是总量的
．
【点评】本题主要考查算术中的规律，关键运用分数的意义做题．
16．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2014次输出的结果为 3 ．
【分析】由图示知，当输入的数x为偶数时，输
x，当输入的数x是奇数时，输出x+3．按此规律计算即可求解．
【解答】解：
当输入x＝48时，第一次输出48×
＝24；当输入x＝24时，第二次输出24×
＝12；
当输入x＝12时，第三次输出12×
＝6；
当输入x＝6时，第四次输出6×
＝3；
当输入x＝3时，第五次输出3+3＝6；
当输入x＝6时，第六次输出6×
＝3；
…
故第2014次输出的结果为3，
故答案为：
3
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，注意输入的数x分为偶数和奇数两种情况．
17．小丽1月份在储蓄罐存放2元、2月份存放3元，3月份存放5元，4月份存放8元，5月份存放13元…，按照这样规律，到12月份小丽将在储蓄罐存放了 377 元．
【分析】从3月份开始，每月存放的钱数是前2个月的和，据此解答．
【解答】解：
1～12月份每月存放的钱数分别是：
2元、3元、5元、8元、13元、21元、34元、55元、89元、144元、233元、377元；
故答案为：
377
【点评】本题是考查数列中的规律，关键从3月份开始看每个月存放的钱数与前2个月的关系．
三．解答题（共3小题）
18．找规律填空．
小正方体的个数
1
2
3
4
…
9
n
露在外面的面数
5
…
【分析】根据图示可知：
1个小正方体露在外面的面：
5个；2个小正方体露在外面的面：
5+3＝8（个）；3个小正方体露在外面的面：
5+3+3＝11（个）；……n个小正方体露在外面的面：
5+3（n﹣1）＝（3n+2）个．据此做题．
【解答】解：
1个小正方体露在外面的面：
5个
2个小正方体露在外面的面：
5+3＝8（个）
3个小正方体露在外面的面：
5+3+3＝11（个）
……
n个小正方体露在外面的面：
5+3（n﹣1）＝（3n+2）个
4个小正方体露在外面的面：
3×4+2
＝12+2
＝14（个）
9个小正方体露在外面的面：
3×9+2
＝27+2
＝29（个）
小正方体的个数
1
2
3
4
…
9
n
露在外面的面数
5
8
11
14
…
29
（3n+2）
故答案为：
8；11；14；29；（3n+2）．
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图形发现规律，并运用规律做题．
19．小明每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个．肥皂泡吹出以后，经过1分钟有一半破了，经过2分钟还有
没破，经过2.5分钟后全破了．小明吹完第100次时没有破的肥皂泡有多少？
【分析】由题意知，每次吹得2.5分钟都破了．所以，在第100分钟吹的第一百次，全都没有破，是100个；第99分钟吹的到第100分钟时破了
，还有50个没有破；第98分钟吹的到100分钟（也就是第100次）已经是过了2分钟，只有
没有破，也就是5个．第97分钟吹的以及以前的到第100次时都超过了2.5分钟，全都破了．所以没有破的是98次99次和100次．数量是5+50+100＝155个．
将第98次、99次、100次肥皂泡相加，由此即可得出答案．
【解答】解：
100×（1+
+
），
＝100×
，
＝155（个）；
答：
小明吹完第100次时没有破的肥皂泡共有155个．
【点评】题主要考查了用递次逆推的方法，找出第几次及以前吹出的肥皂泡全破了．
20．
（1）通过计算，探索规律：
152＝225可写成100×1×2+25；
252＝625可写成100×2×3+25；
352＝1225可写成100×3×4+25；
452＝2025可写成100×4×5+25；
752＝5625可写成 100×7×8+25 ；
852＝7225可写成 100×8×9+25 ；
（2）从第
（1）题的结果，归纳、猜想得：
（10n+5）2＝ 100×n×（n+1）+25 ．
（3）验证
（2）中结论左右是否相等．
（4）根据上面的归纳，请算出：
1052＝ 11025 ．
【分析】
（1）通过观察可以看出，个位是5的平方数，得数是100×去掉个位上的5剩下的数×（去掉个位上的5剩下的数+1）+25；
（2）根据第
（1）题的规律可得：
（10n+5）2＝100×n×（n+1）+25；
（3）验证
（2）中结论左右是否相等，只要把上面的结论的左边去掉括号化简看看是否等于右边即可判断；
（4）把1052即n＝10时，代入（10n+5）2＝100×n×（n+1）+25即可得出结果．
【解答】解：
（1）752＝5625可写成100×7×8+25，
852＝7225可写成100×8×9+25；
（2）100×n×（n+1）+25；
（3）左边＝100n2+2×10n×5+52＝100n2+100n+25，
右边＝100n2+100n+25，
所以，左边＝右边，因此结论正确；
（4）n＝10时，
1052＝100×102+100×10+25
＝10000+1000+25，
＝11025；
故答案为：
100×7×8+25，100×8×9+25，100×n×（n+1）+25，11025．
【点评】本题的关键是根据第一题得出规律：
（10n+5）2＝100×n×（n+1）+25．
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