平行四边形典型例题.docx
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平行四边形典型例题
平行四边形典型例题
1.已知如图12-1-19,所示□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE上AD于E,OF⊥BC于F.
求证:
四边形AECF是平行四边形
错证:
在△AOE和△COF中
∵OE⊥AD,OF⊥BC ∴∠AEO=∠CFO=90°
∵四边形ABCD为平行四边形
∴OA=OC,AD∥BC ∴∠EAC=∠ACF
∴△AOE≌△COF(AAS) ∴OF=OE
∴四边形AECF是平行四边形
错误分析:
上面证明由OF=OE,OA=OC不能说明EF与AC互相平分,因为原题设中没有说明E、O、F三点共线,因此先证E、O、F三点共线.
正确证明:
在△AOE和△COF中
∵OE⊥AD OF⊥BC ∴∠AEO=∠CFO=90°
∵四边形ABCD为平行四边形
∴OA=OC,AD∥BC ∴∠EAC=∠ACF
∴△AOE≌△COF(AAS) ∴OF=OE
又∵AD∥BC,OE⊥AD,OF⊥BC
∴E、O、F三点共线
∴四边形AECF是平行四边形
2.如图12-1-22所示,现有一块等腰直角三角形的铁板,通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形,请你设计一种最简单的方案,并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形.
分析:
运用三角形全等,平行四边形的识别方法来解答,在证明时不要忽略证明F,E,D共线.
解:
取AC、BC的中点E、D连结ED,则沿ED切割下来,如图使点E不变,点C与点A重合,再焊接上去最简单.
证明:
在Rt△ABC中 ∵AC=BC ∴∠B=45°
又∵E、D分别为AC、BC的中点
∴EC=DC ∴∠CED=∠CDE=45°
∴∠AEF=∠CED=45° ∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED=180°
∴F、E、D在一条直线上 ∵∠EAF=∠C=90° ∴AF∥CD
又∵AF=CD=DB ∴四边形AFDB是平行四边形,且∠B=45°
3.如图12-1-23,在□ABCD的对角线上取两点E、F,且BF=DE,请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形,并指出哪种方法最简便.
分析:
可证两组对边分别相等,也可证对角线互相平分.
证明方法
(一)
在△ABF和△CDE中,AB=CD,BF=DE,∠ABF=∠CDE.
∴△ABF≌△CDE ∴AF=CE
同理可证AE=CF,故四边形AECF是平行四边形
方法
(二)
连AC交BD于O
在□ABCD中,OA=OC,OB=OD
∵BF=DE ∴OE=OF ∴四边形AECF为平行四边形
4.如果一块木板两边是线段,把两把曲尺的一边紧靠木板边缘,再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等,就可以判断木板的两个边缘是否平行,这是为什么?
分析:
这是一道生活实践题,运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题,此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行.
解:
如果曲尺的刻度相等,则木板的两个边缘就平行,因为,两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形,当曲尺的刻度相等,则四边形中就有一组对边平行且相等,所以四边形为平行四边形,则木板的两边缘平行.
如果曲尺的刻度不相等,则木板的两个边缘就不平行,因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形.
5.已知如图12-1-4所示,□ABCD中,AB的延长线上取一点E,使BE=AB,在CE上取一点M使CM=CD,连结DM并延长交AE的延长线于点F
求证:
BD=BF
分析:
由于BD,BF是△BDF的两边,所以要证BD=BF,可由证△BDF中∠BDF=∠F入手,易知∠F=∠CDM=∠CMD=∠EMF,故只要证BD∥CE,由此由证法一又注意到BF=BE+EF,易知BE=AB=CD=CM,EF=EM,故BF=CE,从而只要证BD=CE,由此有证法二.
证法
(一):
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB
CD
又∵E点在AB延长线上,且BE=AB ∴AB
CD
∴四边形BECD是平行四形 ∴BD∥CE ∴∠BDF=∠EMF
∵∠EMF=∠CMD ∴∠BDF=∠CMD
又∵CM=CD ∴∠CMD=∠CDM ∴∠BDF=∠CDM
∵AF∥CD ∴∠CDM=∠F ∴BDF=∠F
即BD=BF
证法
(二):
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB
CD
又∵E点在AB延长线上且BE=AB ∴BE
CD
∴四边形BECD是平行四边形 ∴BD=CE,BE=CD
又∵∠EMF=∠CMD,CD=CM ∴∠CMD=∠CDM
∴∠EMF=∠CDM ∵BE∥CD ∴∠F=∠EMF ∴EF=EM
∴BF=BE+EF=CD+EM=CM+EM=CE=BD
即BF=BD
习题精选
一、填空题
1.过□ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线,垂足为E、F,则四边形AECF是 .
2.延长△ABC的中线AD到E,使DE=AD 则四边形ABEC是 四边形.
3.在四边形ABCD中∠A=50°欲使四边形为平行四边形,则∠B= ,∠C= ,∠D= .
4.在四边形中,任意相邻两个内角互补,则这个四边形是 四边形.
5.如图12-1-29,在□ABCD中,E、F为AB、CD的中点,连结DE、EF、BF则图中共有
个平行四边形.
6.在□ABCD中连结BD作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,连结CE、AF,点P、Q在线段BD上,且BP=DQ,连结AP、CP、AQ、CQ,MN分别交AB、CD于M、N连结AM、CM、NA、NC,那么图中平行四边形(除□ABCD外)有 个,它们是 .
二、判断题
1.平行四边形的对边分别相等( )
2.平行四边形的对角线相等( )
3.平行四边形的邻角互补( )
4.平行四边形的对角相等( )
5.平行四边形的对角线互相平分一组对角( )
6.对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等( )
三、选择题
1.能判断四边形是平行四边形的条件是( )
A.一组对边平行,另一组对边相等
B.一组对边平行,一组对角相等
C.一组对边平行,一组邻角互补
D.一组对边相等,一组邻角相等
2.能确定平行四边形的大小和形状的条件是( )
A.已知平行四边形的两邻边
B.已知平行四边形的两邻角
C.已知平形四边形的两对角线
D.已知平行四边形的两边及夹角
3.平行四边形一边为32,则它的两条对角线长不可能为( )
A.20和18 B.40和50
C.60和30 D.32和50
4.如图12-1-30所示,已知□ABCD的对角线的交点是O,直线EF过O点且平行于BC,直线GH过O且平行AB,则图中有( )个平行四边形.
A.5个B.6个C.7个D.10个
5.能判定四边形为平行四边形的是( )
A.一组对角相等 B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线互相平分 D.一对邻角互补
6.以下结论正确的是( )
A.对角线相等,且一组对角也相等的四边形是平行四边形.
B.一边长为5,两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形.
C.一组对边平行,且一组对角相等的四边形是平行四边形.
D.对角线相等的四边形是平行四边形.
7.在□ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,如果点E,F分别由下列各种情况得到的,那么四边形AECF不一定是平行四边形的是( )
A.AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD
B.AE,CF使∠BEA=∠CFD
C.E、F分别是BC、AD的中点
D.BE=
BC,AF=
AD
8.□ABCD对角线交点为O,△OBC的周长为59cm,且AD=28cm,两对角线之差为14cm,则对角线长为( )
A.12cm和9cm B.24cm和38cm
C.8.5cm和22.5cm D.15.5cm和29.5cm
四、解答题
1.如图12-1-31所示,在□ABCD中,AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,四边形AECF是平行四边形吗?
2.如图12-1-32所示,四边形ABCD中∠B=∠D,∠1=∠2,则四边形ABCD是平行四边形吗?
为什么?
3.如图12-1-33所示,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F分别是OD、OB上一点,若∠ECD=∠FAB,EC=AF,则四边形AECF是平行四边形吗?
为什么?
4.如图12-1-34所示,四边形ABCD中AB=CD,∠DBC=90°,FD⊥AD于D,求证四边形ABCD是平行四边形.
5.如图12-1-35所示,△ABC中DE在BC边上,N、M在AB、AC上,且EN与DM互相平分,MD∥AB,NE∥AC求证:
BD=DE=CE
五、证明题
1.已知:
如图12-1-18,在□ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,且BE=DF.
求证:
(1)AE=CF
(2)AE∥CF
2.已知:
如图12-1-19,四边形ABCD为平行四边形,E、F是直线BD延长线上的两点,且DE=BF,求证AE=CF
参考答案
一、填空题
1.平行四边形 点拨:
由一组对边平行且相等,即可判断
2.平行四边形
3.130°,50°,130°
4.平行四边形 点拨:
由题意可得两组对边分别平行
5.4个 点拨:
□ABCD,□ADFE,□EFCB,□EDFB
6.3个 □AECF,□APCQ,□AMCN
二、判断题
1.√ 2.×点拨:
对角线不一定相等,但互相平分
3.√ 4.√
5.×点拨:
对角线不平分一组对角,只是自己互相平分 6.√
三、选择题
1.B 2.D 3.A 4.D 5.C 6.C 7.B 8.B
四、解答题
1.解:
四边形AECF是平行四边形
点拨:
由□ABCD知∠BCD=∠BAD,又AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,故∠EAF=∠ECF,又∠AF∥EC,故∠AEC+∠EAF=18O°,即∠AEC+∠ECF=18O°,所以AE∥CF,故四边形AECF是平行四边形.
2.解:
四边形ABCD是平行四边形
由∠1=∠2得DC∥AB,所以∠D+∠DAB=18O°,又∠B=∠D,所以∠DAB+∠B=180°,所以AD∥BC,即四边形ABCD为平行四边形.
3.解:
是平行四边形
点拨:
AB∥CD,故∠ACD=∠CAB,又∠ECD=∠FAB,故∠ACD-∠ECD=∠CAB-∠FAB,即∠ACE=∠CAF,所以CE=AF,CE=AF,故AFCE是平行四边形.
4.证明:
∵BD⊥AD ∴∠BDA=90°
∵∠DBC=90°,DC=AB,DB=DB
∴△ADB≌△CBD ∴AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
5.证明:
∵NE,MD互相平分
∴四边形MNDE为平行四边形 ∴MN
DE
又∵MD∥AB,NE∥AC ∴四边形MNBD、MNEC为平行四边形
∵MN=BD,MN=CE ∴BD=DE=CE
五、证明题
1.证明:
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB
DC ∴∠ABE=∠CDF
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF(SAS) ∴AE=CF ∴∠AEB=∠CFD
∴∠AED=∠BFC(等角的补角相等) ∴AE∥CF
2.证明:
如图(3)所示
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,AD=BC ∴∠1=∠2
∵BD是直线 ∴∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°
∴∠3=∠4
∴△ADE≌△CBF ∴AE=CF