分析法典型例题.docx
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分析法典型例题
分析法典型例题
1．已知a＞b＞0，求证：
．
证明：
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
a－2
＋b＜a－b ＜ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
b＜a＜0（已知条件）．
2．设x，y∈R+，且x＋y＝1，求证：
．
证明：
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
2＋x－x2≥9x－9x2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
8x2－8x＋2≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
（2x－1）2≥0此式明显成立．
3．已知
，求证：
．
证明：
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
1＞1－y2＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
y2＞0＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
y＞0（已知条件）．
4．已知a，b，c是不全相等的正数，求证：
．
证明：
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
，
，
（三式等号不能同时成立） ＜ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝
a，b，c为不全相等的正数（已知）．
5．已知实数a，b，c满足c＜b＜a，a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：
．
证明：
∵a＋b＋c＝1，
∴
⇔
．
又∵a2＋b2＋c2＝1，
∴
而 a＋b＝1－c，
∴a，b是二次方程x2－（1－c）x＋c2－c＝0的两个不等实根，
从而，△＝（1－c）2－4（c2－c）＞0，解得
．
又∵ c＜b＜a，
∴ （c－a）（c－b）＞0，即c2－c（a＋b）＋ab＝c2－c（1－c）＋c2－c＝3c2－2c＞0，
∴ c＜0或c＞
（舍去）．
∴
，即
．
6．是否存在常数c,使得不等式
对任意正数x，y恒成立？
解：
令x＝y＝1，得
，∴
．
下面给出证明：
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
3x（x＋2y）＋3y（2x＋y）≤2（x＋2y）（2x＋y） ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
x2＋y2≥2xy （这个明显成立）．
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
2（x＋2y）（2x＋y）≤3x（2x＋y）＋3y（x＋2y） ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
2xy≤x2＋y2 （这个明显成立）．
综上所述，
．
7．已知a，b，c∈R+，且a＋b＋c＝1，求证：
．
证明：
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
．＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
，且a＋b＋c＝1＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
，且
，且
．＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a，b，c∈R+．
8．已知a＞0，b＞0，2c＞a＋b，求证：
．
证明：
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
a2－2ac＋c2＜c2－ab ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
2ac＞a2＋ab ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
2c＞a＋b（已知）．
9．已知a，b，c∈R+，且ab＋bc＋ca＝1，
（1）求证：
a＋b＋c≥
；
证明 a＋b＋c≥
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ （a＋b＋c）2≥3，且a，b，c∈R+＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ac）≥3
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac．
（2）求证：
．
证明 ∵
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
且
且
．
10．已知a，b，c，d都大于1，且loga（bcd）≤9，求证：
logba＋logca＋logda≥1．
证明 logba＋logca＋logda≥1＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝logab·logac·logad≤27＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
≤
＝27＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
a，b，c，d都大于1，且loga（bcd）≤9．
11．已知函数f（x）＝tanx，x∈
，若x1，x2∈
，且x1≠x2，求证：
．
证明：
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝1＋cos（x1＋x2）＞2cosx1cosx2，且x1，x2∈
＜＝＝＝＝＝＝＝＝
1＋cosx1cosx2－sinx1sinx2＞2cosx1cosx2＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝1＞cosx1cosx2＋sinx1sinx2＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
1＞cos（x1－x2）＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝x1≠x2．
12．求证：
对任意实数x，不等式
恒成立．
证明
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
3sin2x≤4＋4cosx＋cos2x＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝4cos2x＋4cosx＋1≥0＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝（2cosx＋1）2≥0恒成立．
13．已知三角形三边长为a，b，c，面积为S，求证：
．
证明
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝a4＋b4＋c4＋2a2b2＋2a2c2＋2b2c2≥12a2b2（1－cos2C）
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝a4＋b4＋c4－10a2b2＋2a2c2＋2b2c2≥－12a2b2cos2C＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
a4＋b4＋c4－10a2b2＋2a2c2＋2b2c2≥－3（a4＋b4＋c4＋2a2b2－2a2c2－2b2c2）＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2a2c2－2b2c2≥0＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ （a2－b2）2＋（b2－c2）2＋（a2－c2）≥0．
14．已知a＞b＞0，求证：
．
证明
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝
，且
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝a＞b＞0．
15．已知a，b，c∈R+，求证：
．
证明
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2a2c2－2b2c2≥0＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
（a2－b2）2＋（b2－c2）2＋（a2－c2）≥0．
16．已知|a|＜1，|b|＜1，求证：
＜1．
证明
＜1＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝|a＋b|＜|1＋ab|＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝|a＋b|2＜|1＋ab|2＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＋a2b2＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝a2b2－a2－b2＋1＞0＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝（1－a2）（1－b2）＞0＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
1－a2＞0且1－b2＞0（或1－a2＜0且1－b2＜0）＜＝＝＝＝＝＝＝＝|a|＜1，|b|＜1．
17．已知p，q∈（0，＋∞），且p3＋q3＝2，求证：
p＋q≤2．
证明 p＋q≤2＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝（p＋q）3≤23＝8＝2×4＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝（p＋q）3≤（p3＋q3）×4＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
p3＋3p2q＋3pq2＋q3≤4p3＋4q3＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝p3＋q3－pq（p＋q）≥0＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
（p＋q）（p2－pq＋q2）－pq（p＋q）≥0＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝（p＋q）（p－q）2≥0＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝p，q∈（0，＋∞）．
18．已知x∈（0，＋∞），求证：
．
证明
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
，＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
3t2≤4（t2－1）＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝t2≥4＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝t≥2＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
≥2（x∈（0，＋∞））．
19．已知a，b，c∈R+，求证：
log3（a2＋b2＋c2）－2log3（a＋b＋c）≥－1
证明 log3（a2＋b2＋c2）－2log3（a＋b＋c）≥－1＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝log3（a2＋b2＋c2）＋1≥2log3（a＋b＋c）＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
log33（a2＋b2＋c2）≥log3（a＋b＋c）2且a，b，c∈R+＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝3（a2＋b2＋c2）≥（a＋b＋c）2＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ac＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝a2－2ab＋b2＋a2－2ac＋c2＋b2－2bc＋c2≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2≥0．
20．在锐角三角形ABC中，求证：
．
证明
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
2＋tanA＋tanB＜1＋tanAtanB＋tanA＋tanB＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
1＜tanAtanB＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝tan
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝锐角三角形ABC中，
．
21．已知a，b，c为三角形的三边长，求证：
．
证明
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
且
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
b＋c－a＞0，a＋c－b＞0，a＋b－c＞0＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 已知a，b，c为三角形的三边长．
22．已知a，b，∈R+，且a＋b＝1，求证：
．
证明 由a，b，∈R+，且a＋b＝1知 0＜ab≤
．
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝4（ab）2－17ab＋4≥0
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝（4ab－1）（ab－4）≥0＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝0＜ab≤
（已证）．
23．（2011年高考全国卷理科压轴题）
（1）设函数f（x）＝ln（1＋x）－－
，证明：
当x＞0时，f（x）＞0；
（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p，证明：
p＜
．
证明
（1）∵f（x）＝ln（1＋x）－
＝ln（1＋x）－
＝ln（1＋x）－2＋
∴
＝
＝
＞0（x＞0），
∴f（x）在（0，＋∞）单调递增，∴f（x）＞f（0）＝0．
（2）易知
＝
．
先证左端不等式
：
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝99·98·97·…·81＜9019＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
．
再证右端不等式
：
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝由
（1）知ln（1＋x）＞
，令x＝
．
24．（福建省2008年高考理科压轴题）
已知函数f（x）＝ln（1+x）－x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）记f（x）在区间[0，n]（n∈N*）上的最小值为bn令an＝ln（1＋n）－bn，求证：
解（Ⅰ）由f（x）＝ln（1+x）－x得f′（x）＝
，易知当x∈（－1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递减．
证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在区间[0，n]（n∈N*）上单调递减，∴f（x）的最小值为f（n）＝ln（1+n）－n．
于是，an＝ln（1＋n）－bn＝n．
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
，
，
，…，
＜＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝
显然成立．
（注：
专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
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