多边形及其内角和同步培优题典解析版.docx

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多边形及其内角和同步培优题典解析版

专题1.4多边形及其内角和

姓名：

__________________班级：

______________得分：

_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020•西城区校级三模）内角和为720°的多边形是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据多边形内角和的计算方法（n﹣2）•180°，即可求出边数．

【解析】依题意有（n﹣2）•180°＝720°，

解得n＝6．

该多边形为六边形，

故选：

D．

2．（2020•怀柔区模拟）如果一个正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的边数为（　　）

A．5B．6C．7D．8

【分析】设正多边形的边数为n，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答．

【解析】设正多边形的边数为n，由题意得：

（n﹣2）•180°＝3×360°，

解得：

n＝8，

故选：

D．

3．（2020春•皇姑区期末）设四边形的内角和等于a，五边形的内角和等于b，则a与b的关系是（　　）

A．a＞bB．a＝bC．a＝b+180°D．b＝a+180°

【分析】根据n边形的内角和公式（n﹣2）×180°即可得出结论．

【解析】根据题意可得：

a＝（4﹣2）×180°，b＝（5﹣2）×180°，

∴b＝a+180°．

故选：

D．

4．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（　　）

A．100米B．80米C．60米D．40米

【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．

【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，

∴他走过的图形是正多边形，

∴边数n＝360°÷45°＝8，

∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．

故选：

B．

5．（2020•长春模拟）若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和（　　）

A．增加180°B．增加360°C．减少180°D．不变

【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．

【解析】任意多边形的外角和都是360°，

∴若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和不变．

故选：

D．

6．（2020春•锦江区期末）若正多边形的一个外角是36°，则该正多边形的内角和为（　　）

A．360°B．720°C．900°D．1440°

【分析】先利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，求出边数，再根据多边形内角和定理求解．

【解析】∵360°÷36°＝10，

∴这个正多边形是正十边形，

∴该正多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°．

故选：

D．

7．（2020春•铁西区期末）如图，过正六边形ABCDEF的顶点B作一条射线与其内角∠BAF的角平分线相交于点P，且∠APB＝40°，则∠CBP的度数为（　　）

A．80°B．60°C．40°D．30°

【分析】根据多边形ABCDEF是正六边形，可得∠FAB＝120°，再根据AP是∠FAB的角平分线，可得∠PAB＝60°，最后根据三角形内角和即可求出∠ABP的度数，进而求出∠CBP的度数．

【解析】∵多边形ABCDEF是正六边形，

∴∠FAB＝∠ABC

，

∵AP是∠FAB的角平分线，

∴∠PAB

，

∵∠APB＝40°，

∴∠ABP＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝80°，

∴∠CBP＝∠ABC﹣∠ABP＝40°．

故选：

C．

8．（2020春•如东县期末）如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC＝α，∠APC＝β，则∠ADC的度数为（　　）

A．180°﹣α﹣βB．α+βC．α+2βD．2α+β

【分析】根据三角形的内角和，四边形的内角和定理，以及三角形的外角的意义，得出∠ADC与α、β的关系．

【解析】在四边形ABCD中，

∠ADC＝360°﹣α﹣（∠DCB+∠DAB）

＝360°﹣α﹣（360°﹣2∠PCD﹣2∠PAD）

＝2（∠PCD+∠PAD）﹣α

＝2（∠ADC﹣β）﹣α，

∴∠ADC＝α+2β，

故选：

C．

9．（2019•铜仁市）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（　　）

A．360°B．540°C．630°D．720°

【分析】根据多边形内角和定理：

（n﹣2）•180°，无论分成两个几边形，其内角和都能被180整除，所以不可能的是，不能被180整除的．

【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，

只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．

故选：

C．

10．（2020•石家庄一模）如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG，使点A落在正方形BEFG内，则∠ABG的度数为（　　）

A．18°B．36°C．54°D．72°

【分析】根据多边形的内角和公式可得∠A＝108°，根据等腰三角形的性质可得∠ABE＝36°，再根据正方形的性质可得∠EBG＝90°，然后根据角的和差关系解答即可．

【解析】根据题意得∠A

108°，

∴∠ABE

36°，

∵∠EBG＝90°，

∴∠ABG＝∠EBG﹣∠ABE＝54°．

故选：

C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020春•松北区期末）一个多边形的每一个内角都等于150°，这个多边形共有　十二　条边．

【分析】先求出多边形一个外角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，求出边数即可．

【解析】∵多边形的每一个内角都等于150°，

∴多边形的每一个外角都等于180°﹣150°＝30°，

∴边数n＝360°÷30°＝12．

故答案为：

十二．

12．（2020•雁塔区校级模拟）若正多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的每个外角等于　45°　．

【分析】先由多边形的内角和和外角和的关系判断出多边形的边数，即可得到结论．

【解析】设多边形的边数为n．

因为正多边形内角和为（n﹣2）•180°，正多边形外角和为360°，

根据题意得：

（n﹣2）•180°＝360°×3，

解得：

n＝8．

∴这个正多边形的每个外角

．

故答案为：

45°．

13．（2020春•吴中区期末）如图，六边形ABCDEF的各角都相等，若m∥n，则∠1+∠2＝　180　°．

【分析】根据六边形ABCDEF的各角都相等，可得六边形ABCDEF的对边平行；延长DC，交直线n于点G，再根据平行线的性质解答即可．

【解析】连接CF，延长DC，交直线n于点G，

∵六边形的内角和是180°×（6﹣2），六个角都相等，

∴每个角为180°×（6﹣2）÷6＝120°，

∴∠EFC＝120°﹣∠AFC，

∠BCF＝360°﹣120°﹣120°﹣∠AFC＝120°﹣∠AFC，

∴∠EFC＝∠BCF，

∴AF∥DC，

∴∠2＝∠4，

又∵m∥n，

∴∠3+∠4＝180°，

∵∠3＝∠1，

∴∠1+∠4＝180°，

∴∠1+∠2＝180°，

故答案为：

180．

14．（2020春•常熟市期末）如图，已知∠B＝30°，则∠A+∠D+∠C+∠G＝　210　°．

【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BEF+∠BFE的度数，根据补角的定义得出∠DEF+∠GFE的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．

【解析】∵∠B＝30°，

∴∠BEF+∠BFE＝180°﹣30°＝150°，

∴∠DEF+∠GFE＝360°﹣150°＝210°．

∵∠DEF＝∠A+∠D，∠GFE＝∠C+∠G，

∴∠A+∠D+∠C+∠G＝∠DEF+∠GFE＝210°，

故答案为：

210．

15．（2020•湖北）已知正n边形的一个内角为135°，则n的值是　8　．

【分析】根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解．

【解析】∵正n边形的一个内角为135°，

∴正n边形的一个外角为180°﹣135°＝45°，

∴n＝360°÷45°＝8．

故答案为：

8．

16．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在A1、D1处，若∠1+∠2＝145°，则∠B+∠C＝　107.5　°．

【分析】先根据∠1+∠2＝145°得出∠AMN+∠DNM的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．

【解析】∵∠1+∠2＝245°，

∴∠AMN+∠DNM

107.5°，

∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）＝360°，∠A+∠D+（∠B+∠C）＝360°，

∴∠B+∠C＝∠AMN+∠DNM＝107.5°，

故答案为：

107.5°．

17．（2020•陕西）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　144°　．

【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．

【解析】因为五边形ABCDE是正五边形，

所以∠C

108°，BC＝DC，

所以∠BDC

36°，

所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，

故答案为：

144°．

18．（2020春•镇江期末）如图，在五边形ABCDE中，若∠D＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　300　°．

【分析】根据∠D＝120°，得到∠D的外角为180°﹣120°＝60°，再用五边形的外角和减去60°即可解答．

【解析】∵∠D＝120°，

∴∠D的外角为180°﹣120°＝60°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣60°＝300°．

故答案为：

300．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．如图，求图中x的值．

【分析】根据多边形的外角和等于360°即可列方程求解．

【解析】由题意可得，5x＝360，

解得x＝72．

20．（2020春•曲阳县期末）在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的

，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．

【分析】已知关系为：

一个外角＝一个内角

，隐含关系为：

一个外角+一个内角＝180°，由此即可解决问题．

【解析】设这个多边形的每一个内角为x°，那么180﹣x

x，

解得x＝150，

那么边数为360÷（180﹣150）＝12．

答：

这个多边形的每一个内角的度数为150，它的边数为12．

21．（2020春•建邺区期末）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：

（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？

（2）佳佳求的是几边形的内角和？

（3）错当成内角和那个外角为多少度？

【分析】

（1）n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数，依此即可作出判断；

（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，依题意可列方程：

（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，解方程即可求解；

（3）代入计算求解．

【解析】

（1）设多边形的边数为n，

180°（n﹣2）＝2020°，

解得

，

∵n为正整数，

∴“多边形的内角和为2020°”不可能．

（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，

依题意可列方程：

（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，

∵﹣180°＜x﹣y＜180，

∴2020°﹣180°＜180°（n﹣2）＜2020°+180°，

解得

，

又∵n为正整数，

∴n＝13，n＝14．

故佳佳求的是十三边形或十四边形的内角和．

（3）十三边的内角和：

180°×（13﹣2）＝1980°，

∴y﹣x＝2020°﹣1980°＝40°，

又x+y＝180°，

解得：

x＝70°，y＝110°；

十四边的内角和：

180°×（13﹣2）＝2160°，

∴y﹣x＝2160°﹣2020°＝140°，

又x+y＝180°，

解得：

x＝160°，y＝20°；

所以那个外角为110°或20°．

22．（2019秋•花都区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D＝210°

（1）∠DAB+∠CBA＝　150　度；

（2）若∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点E，求∠E的度数．

【分析】

（1）根据四边形内角和等于360°解答即可；

（2）根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠E与∠C+∠D之间的关系．

【解析】

（1）∵∠DAB+∠CBA+∠C+∠D＝360°，

∴∠DAB+∠CBA＝360°﹣（∠C+∠D）＝360°﹣210°＝150°．

故答案为：

150；

（2）∵∠DAB与∠ABC的平分线交于四边形内一点E，

∴∠EAB

∠DAB，∠EBA

∠ABC，

∴∠E＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）

＝180°

（∠DAB+∠CBA）

＝180°

（360°﹣∠C﹣∠D）

（∠C+∠D），

∵∠C+∠D＝210°，

∴∠E

（∠C+∠D）＝105°．

23．（2020春•南岗区期末）已知：

在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．

（1）如图1，求∠B与∠D的和为多少度？

（2）如图2，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，求证：

BE∥DF．

【分析】

（1）根据四边形内角和定理得出∠B+∠D＝180°；

（2）首先根据四边形内角和定理得出∠ABC+∠ADC＝180°，进而利用角平分线的性质得出∠ABE+∠EDF＝90°，即可得出∠AEB＝∠ADF，利用平行线的判定得出即可．

【解答】

（1）解：

∵∠A＝∠C＝90°，

∴∠B+∠D+∠A+∠C＝（4﹣2）×180°＝360°，

∴∠B+∠D＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°；

即∠B与∠D的和为180度；

（2）证明：

∵∠A＝∠C＝90°，

∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°，

∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，

∴∠ABE+∠EDF＝90°，

∵∠ABE+∠AEB＝90°，

∴∠AEB＝∠ADF，

∴BE∥DF．

24．（2019秋•长白县期末）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．

（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图

（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；

（2）若对图

（1）中星形截去一个角，如图

（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；

（3）若再对图

（2）中的角进一步截去，你能由题

（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？

只要写出结论，不需要写出解题过程）

【分析】

（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；

（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；

（3）根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．

【解析】

（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；

（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；

（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，

所以当截去5个角时增加了180×5度，

则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．