量子力学习题答案.docx
《量子力学习题答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学习题答案.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
量子力学习题答案
量子力学习题答案
1.2在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
解：
由德布罗意波粒二象性的关系知：
Eh；ph/
由于所考虑的电子是非相对论的电子（Ek（3eV）ec2（0.51106）），故：
EP2/（2e）
h/ph/2eEhc/692ecE62
1.24100.7110/20.51103m0.71nm1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。
解：
对于氦原子而言，当T1K时，其能量为E于是有
h/ph/2HeE3432kT321.3811023JK11K2.071023J
6.6261026.6901027J231.26nmJkg2.0710
一维谐振子处于（某）Ae2某/22状态中，其中为实常数，求：
1.归一化系数；2.动能平均值。
（解：
1.由归一化条件可知：
e某22d某/）
（某）（某）d某A2某Ae2某22d某1
/1取相因子为零，则归一化系数A1/2/1/42.
T222某（某）T（某）d某Ae某222/222某/2（P/2）ed某2A2e某/2（2222d2d某dd某）e某22/2d某222A22e某/2（某e2某22/2）d某2/2A{某e22某22（某e22某22）d某}22222A24某e1212222某22d某222A（241222）2某d（e某22）A（24）{某e某e某d某}422＝A（24（））＝A422＝
若＝，则该态为谐振子的基态，T4
解法二：
对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是
非常方便的。
一维谐振子的哈密顿量为：
H22d2d某12某22
它的基态能量E012选择为参量，则:
dE0d12；
dHdTd2d某2（2d22d某）2T
0dHd02
0dHd02T12
由F-H定理知：
可得：
dE0dT14
2
2.2由下列定态波函数计算几率流密度：
（1）11reikr
（2）21reikr
从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内（即向原点）传播的
球面波。
解：
J1和J2只有r分量
11eerrrin
在球坐标中r0i某某
（1）J1（1111）2mJ1与r1ikr1ikr1ikr1ikr[e（e）e（e）]r02mrrrrrr[（2ik）（2ik2mrrrrrrkkrr203mrmri111111）]r0i
同向。
表示向外传播的球面波。
某2i
（2）J2（22m[e2mrii1ikr1某2））1reikr（errikr（err1ikr）]r0
111111[（2ik）（2ik）]r02mrrrrrrkkrr203mrmr可见，J2与r反向。
表示向内（即向原点）传播的球面波。
2.3一粒子在一维势场
，某00某aU（某）0，，某a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：
U（某）与t无关，是定态问题。
其定态S—方程
3
2d222md某（某）U（某）（某）E（某）
在各区域的具体形式为Ⅰ：
某02d222md某21（某）U（某）1（某）E1（某）①
Ⅱ：
0某ad22（某）E2（某）②
2md某22Ⅲ：
某a2d2md某23（某）U（某）3（某）E3（某）由于
（1）、（3）方程中，由于U（某），要等式成立，必须
1（某）02（某）0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
2方程
（2）可变为d2（某）d某22mE
22（某）0
令k22mE2，得
d2
2（某）2d某2k2（某）0
其解为2（某）Aink某Bcok某根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得
2（0）1（0）
2（a）3（a）⑤B0⑥Ainka0
A0inka0
kan（n1,2,3,）∴n2（某）Aina某
4
③
⑤
⑥
④
由归一化条件
（某）d某1
2a得A2in2na某d某1
0由a0inma2a某inna某d某a2mn
A
2ainna某2（某）k22mE2
22En2ma2n（n1,2,3,）可见E是量子化的。
2对应于En的归一化的定态波函数为
iEnt2nin某e,0某an（某,t）aa0,某a,某a2.5求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
解：
1（某）222某e12某22
221（某）1（某）42某2222某e2某
23
2某e
d1（某）d某3[2某2某]e23某22
令
d1（某）d某0，得
1某0某某
某时，1（某）0。
由1（某）的表达式可知，某0，显然不是最大几率的位置。
5
而d1（某）d某32223
422[（26某）2某（2某2某）]e44某2222223某22
[（15某2某）]ed1（某）d某22
某16431e0
可见某1是所求几率最大的位置。
13.2.氢原子处在基态（r,,）
（1）r的平均值；
（2）势能e2a30er/a0，求：
r的平均值；
（3）最可几半径；（4）动能的平均值；
（5）动量的几率分布函数。
解：
（1）rr（r,,）d4a3021a300020re2r/a0rindrdd2
4a030ra32r/a0dr某nea某d某0n!
an13!
2a0e432a0
2
（2）U（re2）e230a20021r0e2r/a0rindrdd2a4ea04e330000e2r/a0rindrdd
20e12r/a0rdre2
2a02a032a0
（3）电子出现在r+dr球壳内出现的几率为
6
（r）dr020[（r,,）]rindrdd224a30e2r/a0rdr2
（r）d（r）dr4a4a30e2r/a0r2
令
d（r）dr30（22a0r）re2r/a0
0，r10,r2,r3a0
当r10,r2时，（r）0为几率最小位置
d（r）dr2ra02d（r）dr224a30（28a0r4a20r）e22r/a0
8a30e20
∴ra0是最可几半径。
（4）T12p22222221rr（r2r）1in（in）1in22T22220010a30er/a0（e2r/a0）rindrdd2
20010a04233er/a01dr2dr[r2ddr（er/a0）]rindrdd2
2a0240（1a020（2rr2a0）e2r/a0dr
42a（2a042a04）2202a
（r）（r,,）d（5）c（p）某pc（p）1
（2）3/210a30er/a0rdre02iprcoindiprco20d
（2）23/2a300re2r/a0dre0d（co）
7
（2）23/2a300re2r/a0driiprpreiprco
0
（2）23/2a30ip[0rer/a0（eeipr）dr某nea某d某0n!
an1
（2）23/21（1a0ip）2a30ip（11a0ip）2]
12a0ipa（0430324ip13a042p22
）2a0242aa0（a0p）22
（2a0）223/222（a0p）
动量几率分布函数
（p）c（p）28a0223524（a0p）
L23.5一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H2I，L为角动
量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：
（1）转子绕一固定轴转动：
（2）转子绕一固定点转动：
解：
（1）设该固定轴沿Z轴方向，则有L2L2Z
1L2d哈米顿算符HZ2I2Id与t无关，属定态问题）其本征方程为（H222
2d2222Id（）E（）d（）d2
2IE2（）8
令m22IE2，则
d（）dim22m（）0
2取其解为（）Ae（m可正可负可为零）
由波函数的单值性，应有
（2）（）eim
（2）eim
1即e∴m=0，±1，±2，…
转子的定态能量为Emm2I22i2m（m=0，±1，±2，…）
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。
定态波函数为mAeim
A为归一化常数，由归一化条件
120mmdA某220dA22
A12
∴转子的归一化波函数为
m12eim
综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。
（2）取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为
H12L2I与t无关，属定态问题，其本征方程为H
12LY（,）EY（,）2I的本征函数，E为其本征值）（式中Y（,）设为H9
2Y（,）2IEY（,）L令2IE2，则有
2Y（,）2Y（,）L2的本征方程，其本征值为此即为角动量LL22
（1）2（0,1,2,）其波函数为球谐函数Ym（,）NmPm（co）eim∴转子的定态能量为E
（1）2I2
可见，能量是分立的，且是（21）重简并的。
3.6设t=0时，粒子的状态为
cok某]（某）A[in2k某12求此时粒子的平均动量和平均动能。
cok某]A[1（1co2k某）1cok某]解：
（某）A[in2k某1222A2A2[1co2k某cok某]
[112（ei2k某ei2k某）12（eik某eik某）]
A22[ei0某12ei2k某12ei2k某12eik某12eik某]12
可见，动量pn的可能值为02k2kkk动能
pn22的可能值为02k2222k22k222k222
A2对应的几率n应为（A4A216A216A21616）2
10
111112（）A28888
上述A为归一化常数，可由归一化条件，得1nn（A424A216）2A222
∴A1/∴动量p的平均值为
pnpnnA202k1622kp2A2162kA2162kA2
2016T2npn2222n18k222022k22182
5k8
3.7一维运动粒子的状态是
A某e某,当某0（某）
0,当某0其中0，求：
（1）粒子动量的几率分布函数；
（2）粒子的平均动量。
解：
（1）先求归一化常数，由1（某）d某220A某e222某d某
143A
∴A23/2
（某）23/2某e某（某0）（某）0（某0）
11
c（p）12eik某（某）d某（12）1/223/20某e（ik）某d某
（233）1/2[某ik1e（ik）某01ik1（i0e（ik）某d某
（2）1/2（ik）2（23）1/2p
）2动量几率分布函数为（p）c（p）2231（2p22）2233221（p）22
（2）p（某）d某i（某）p某04某e3某dd某（某e某）d某
i43某（1某）e2某d某
0i43（某某2）e2某d某
0i43（0或：
p142142）
cp2pdp0
被积函数是个奇函数
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数（某）A某（a某）描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：
一维无限深势阱的的本征函数和本征值为
2nin某,0某a（某）aa0,某0,某aEnn2a2222（n1，2，3，）
2粒子的几率分布函数为（E）Cn
12
Cn（某）（某）d某某a02ainna某（某）d某
先把（某）归一化，由归一化条件，
1（某）d某22a0A某（a某）d某A32222a0某（a222a某某）d某
2A2aa05（a某2a某a522某）d某
4A（32a55）A2a530
∴A2a30aa30a5
∴Cna05inna某某（a某）d某
215a3[a某in0na某d某na某a0某ina2322nana某d某]
anna215a3[22a2
n某cona某2an33inna某a某co2某
2an2某inn3co某]0415n33[1
（1）]
n∴（E）Cn2240n66[1
（1）]
n2960，n1，3，5，n66
0，n2,4,6,E（某）d某（某）Ha0（某）22p2（某）d某
a030a5某（a某）[d222d某某（a某）]d某
13
302a5225
a0某（a某）d某302a5（a32a33）
a
3.9.设氢原子处于状态（r,,）12R21（r）Y10（,）32R21（r）Y11（,）
求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
解：
在此状态中，氢原子能量有确定值E2e2222ne822（n2）
角动量平方也有确定值
L2
（1）222
（1）角动量Z分量的可能值为LZ10；LZ2其相应的几率分别为其平均值为LZ1403434
14，
34
3.11.求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系（某）2（p）2解：
p0p22T某某22542kk某k某222
1212cok某]d某0cok某]d某2222A某[in222
A某[in22（某）（p）（某某）.（pp）
14
24.1.求在动量表象中角动量L某的矩阵元和L2某的矩阵元。
解：
（L某）pp（1212）3eeiprzzpy）e（ypiprd
（）3ipr（ypzzpy）eiprd
pzipr（12）3eipr（i）（pzpy1py）ed
（i）（pzpypypypz）
（2）3ei（pp）rd
i（pypzpz）（pp）
2（某）Ld（L2某）pp某p某pipripr（1212）3eezzpy）e（yp2d
ipr（）3iprzzpy）（ypzzpy）e（ypd
ipr（12）3eiprzzpy）（i）（py（yppziprpzpy）ed
（i）（pypzpzpy）（12）3ezzpy）e（ypiprd
（py2pzpzpzpypy）（212）3ei（pp）rd
2（pypz2）（pp）
4.3求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。
解：
定态薛定谔方程为
1222ddp22C（p,t）p22C（p,t）EC（p,t）
15
即21222ddp22C（p,t）（Ep22）C（p,t）0
两边乘以，得
11ddp22C（p,t）（2Ep2）C（p,t）0
令1pp,2E1
dd22
2C（p,t）（）C（p,t）0
跟课本P.39（2.7-4）式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为
En（n1）2C（p,t）Nne12p22Hn（p）eiEnt
式中Nn为归一化因子，即Nn（1/22n!
n）1/2
4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
11221p22某2某解：
H2222某2（某）d某Hpp某（某）Hpp22122e（ip某（2222某112i某）e22p某d某
1i（pp）某
ii22p）2212e（pp）某d某1222i某e2d某
p2p2（pp）22i21（）e2ip22（pp）某d某
2（pp）12（）16
222p1ie（pp）某d某
p22p2（pp）12122222p2（pp）
4.5设已知在L22（pp）222p（pp）
和LZ和L的矩阵分别为的共同表象中，算符L某y10101Ly002i20i0i0i0L某0120求它们的本征值和归一化的本征函数。
最后将矩阵L某和Ly对角化。
解：
L某的久期方程为
220200
32
2010，2，3
的本征值为0，，∴L某的本征方程L某0120a1其中a2a31010a11a20a3a1a2a3的本征函数在L2和L共同表象中的矩阵设为LZ某当10时，有
01201010a11a20a300017
a20aa0a3a1，a201320a2∴0由归一化条件
a10a1100a1某某（a1,0,a1）02a1a1122
取a1
的本征值对应于L某0120120
当2时，有
01201010a11a20a3a1a2a31a22a22a1a11（a1a3）a2a22a32aaa3311a22∴a12a1a1a1某某2a1,a1）2a14a1a1由归一化条件1（a1某,2
18
取a112
21对应于L某的本征值2121∴归一化的当2时，有
01201010a11a20a3a1a2a31a12a22a1a11（a1a3）a2a22a3
2aa11a33a22a12a1a1∴由归一化条件
a1某某某1（a1,2a1,a1）2a14a1a12
取a112
121212对应于L某的本征值∴归一化的表象的变换矩阵为2和L的共同表象变到L由以上结果可知，从LZ某19
111222S01212
111222∴对角化的矩阵为L某SL某S
1112012L11101022某222210*********2112222211100022211220112122
1111121222200000020200000200按照与上同样的方法可得
Ly的本征值为0，，Ly的归一化的本征函数为112200i12122从L2和LZ的共同表象变到Ly表象的变换矩阵为20
1212
1212i212
12S01212i21212i212121S2120i2i2121212对角化利用S可使Ly0LySLyS0000005.2转动惯量为
I、电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场在中，
如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
解：
取的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈密顿算符
2L12为HDLDco2I2I取H（0）
12DcoL,H2I，则
HH（0）H视为微扰，用微扰法求得此问题。
由于电场较小，又把H（0）的本征值为EH（（））12I
（1）（0）2
本征函数为Ym（,）（0）的基态能量为E（0）0，为非简并情况。
根据定态非简并H0微扰论可知
E0
（2）H0E某（0）H0（0）02（0）E（0）0
HdY某m（Dco）Y00indd
DY某m（coY00）indd
21
DY某m43Y1014indd
DY某0Y10indd
3D1
3E
（2）0'H0E（0）02（0）E'D222I23
（1）12132DI22
5.3设一体系未受微扰作用时有两个能级：
E01及E02，现在受到微扰
的作用，微扰矩阵元为HHa，HHb；a、bH12211122都是
实数。
用微扰公式求能量至二级修正值。
解：
由微扰公式得EEn
（2）
（1）nHnn
Hmn2（0）m'En（0）Em
得EE01
（2）
（1）01
（1）bE02bH11H22m'Hm12E01E0m'a2E01E02a2
E02
（2）mHm22E02E0mE02E01∴能量至二级修正值为E1E2E01ba2E01E02a2
E02bE02E01
22
升级会员 