高考理科数学全国卷3试题及答案.docx
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高考理科数学全国卷3试题及答案
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）
理科数学
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.已知集合
22
Axy│xy，B（x,y│）yx，则AIB中元素的个数（）
（,）1
A.3B.2C.1D.0
2.设复数z满足1iz2i，则z（）
A.
1
2
B.
2
2
C.2D.2
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间
月接待游客量（单位：
万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是（）
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4.
5
x+y2xy的展开式中
x的系数为（）3y3
3y3
A.80B.40C.40D.80
5.已知双曲线
C
22
xy
:
1
22
ab
a0，b0的一条渐近线方程为
5
yx,且与椭圆
2
22
xy
123
1
有公共焦点，
则C的方程为（）
A.
22
xy
810
1
B.
22
xy
45
1
C.
22
xy
54
1
D.
22
xy
43
1
6.设函数
π
fxcosx，则下列结论错误的是（）
3
A.fx的一个周期为2π
B.fx的图像关于直线
8π
x=对称
3
C.fxπ的一个零点为x
π
6
D.fx在（
π
π单）调递减
2
7.执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）
A.5B.4C.3D.2
8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
（）
A.πB.
3π
4
C.
π
2
D.
π
4
9.等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列，则an前6项的和为
（）
A.24B.3C.3D.8
10.已知椭圆C：
22
xy
221
ab
ab0的左、右顶点分别为
A，
1
A，且以线段
2
AA为直径的圆与直线
12
bxay2ab0相切，则C的离心率为（）
A.
6
3
B.
3
3
C.
2
3
D.
1
3
11.已知函数
2x1x1
f（x）x2xa（ee）有唯一零点，则a（）
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
2
D.1
uuuruuuruuur
12.在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD
，
则的最大值为（）
A.3B.22C.5D.2
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.
xy0,
13.若x，y满足约束条件xy20,
则z3x4y的最小值为.
y0,
14.设等比数列an满足a1a2–1,a1a33，则a4=.
15.设函数f（x）
x1,x0,
x
2,x0,
则满足
1
f（x）f（x）1的x的取值范围是.
2
16.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边
AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；
②当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；
③直线AB与a所成角的最小值为45；
④直线AB与a所成角的最大值为60.
其中正确的是.（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都
必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
共60分.
17.（12分）
△的内角A，B，C的对边分别为a，，bc，已知sinA3cosA0，a=27,b2.
ABC
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.
18.（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降
价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）
有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；
如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高
气温数据，得下面的频数分布表：
最高
气温
[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）
天数216362574
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：
瓶）的分布列；
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：
瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19.（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD.
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
（1）证明：
平面ACD平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角
DAEC的余弦值.
––
20.（12分）
已知抛物线C：
22
yx，过点（2，0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：
坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，2），求直线l与圆M的方程.
21.（12分）
已知函数f（x）x1alnx.
（1）若f（x）0，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，
111
1+1+K1+n＜m，求m的最小值.
2
222
（二）选考题：
共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修44：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线
l的参数方程为
1
x2+t,
ykt,
（t为参数），直线
l的参数方程为
2
x2m,
（m
y
m
k
为参数）.设
l与
1
l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
2
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
l：
cossin2=0，M为
3
l与
3
C的交点，求M的极径.
23.[选修45：
不等式选讲]（10分）
已知函数f（）xx1x2.
（1）求不等式f（）x1的解集；
（2）若不等式
2
f（）xxxm的解集非空，求m的取值范围.
–
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）
理科数学答案解析
1．【答案】B
【解析】A表示圆
221
xy上的点的集合，B表示直线yx上的点的集合，直线yx与圆
221
xy
有两个交点，所以AIB中元素的个数为2.
2.【答案】C
【解析】
2i1i
2i
zi1i
1i1i1i
，所以z2.
3.【答案】A
【解析】根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少，所以A错
误.
4．【答案】C
【解析】当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含
23
xy的项，即
23
3
C52xy，当第一个括号内取
y时，第二个括号内要取含
32
xy的项，即
32
2
C52xy，所以
33
xy的系数为
2332
C52C52108440.
5．【答案】B
【解析】根据双曲线C的渐近线方程为
5
yx，可知
2
b
a
5
2
①，又椭圆
22
xy
123
1
的焦点坐标为（3，
0）和（3，0）,所以
229
ab②，根据①②可知
24,25
ab,所以选B.
6．【答案】D
【解析】根据函数解析式可知函数fx的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为2π，A正确；当
8ππ
x,x3π，所以
33
π
cosx1，所以B正确；
3
ππ
4
fxπcosxπcosx，
33
当
4π3π
π
x时，x，所以fxπ0，所以C正确；函数
632
π
fxcosx在（
3
2
π
，
23
π）
上单调递减；（
2
3
π，π）上单调递增，故D不正确.所以选D.
7．【答案】D
【解析】S0100100，M10，t2,100＞91；S1001090,M1，t3,90＜91，输出S，此
时，t3不满足tN，所以输入的正整数N的最小值为2，故选D.
8．【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为r，则
2
2213
r=1=，所以，圆柱的体积
24
33
V=π1=π，故选B.
44
9．【答案】A
【解析】设等差数列
a的公差为d，因为a2,a3,a6成等比数列，所以
n
2
aaa，即
263
2
a1da15da12d，又a11，所以
220
dd，又d0,则d2，所以
a6a15d9，所以
19
a的前6项的和S6624，故选A.
n
2
10．【答案】A
以线段A1A2为直径的圆的方程为
222
xya，由原点到直线bxay2ab0的距离
2ab
da
22
ba
，
得
232
ab，所以C的离心率
e1
2
b
2
a
6
3
.
11．【答案】C
【解析】由
22x1x1
fxxxaee，得
22121211211
xxxxxx
f2x2x22xaeex4x42xaeex2xaee
，所以f2xfx，即x1为fx图像的对称轴.由题意fx有唯一零点，所以fx的零
点只能为x1，即
21111
f1121aee0，解得
1
a.故选C.
2
12．【答案】A
【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，
0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），可得直线BD的方程为2xy20，点C到直线BD的距
离为
22
22
12
5
，圆C：
224
x1y2，因为P在圆C上，所以P（
5
25
1cos
5
，
25
2sin
5
uuur
）AB（1,0）
uuur
，AD（0,2）
uuuruuuruuur
，APABAD（,2）
，所以
25
1cos
5
{
25
2sin2
5
255，tan2，选A.
2cossin2sin3
55
13．【答案】1
【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l:
3x4y0，平移直线l，当直线
zxy经过点A（1，1）时，z取得最小值，最小值为341.
34
14．【答案】8
【解析】设等比数列
a的公比为q，则
n
a1a2a1（1q）1，
2
a1a3a1（1q）3，两式相除，
得
1q1
2
1q3
，解得
q2,a1，所以
1
3
a4a1q8.
1
（-，+）
15．【答案】
4
x
【解析】当x＞0，（）=21
fx＞恒成立，当
1
x＞0，即
2
1
x＞时，
2
1
1
x
f（x）=2＞1，当
2
2
1
x0
2
0x
＜
1
2
时，
111
f（x）=x＞，则不等式
222
1
f（x）f（x）＞1恒成立.当x0时，
2
113
fxfxxxx＞，所以
（）（）121
222
1
＜x0.综上所述，x的取值范围是（
4
1
4
，）.
16．【答案】②③
【解析】由题意知，a,b,AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图.不妨设图中所示正方体的棱长为1，
则AC1,AB2，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为
圆心，l为半径的圆.
uuruuuur
以C为坐标原点，以CD的方向为x轴正方向，CB
uuur
方向为y轴正方向，CA
的方向为z轴正方向建立空间
直角坐标系.
则D（1，0，0），A（0，0，1），
直线a的单位方向向量a（0,1,0）,a1.
B点起始坐标为（0，1，0），
直线b的单位方向向量b（1,0,0）,b1.
设B点在运动过程中的坐标B'（cos,sin,0），
uuuruuru
其中为CB'与CD的夹角，[0,2）.
uuuuruuuur
那么AB'在运动过程中的向量AB'（cos,sin,1）,AB'2
.
设直线AB'与a所成的夹角为[0,2],
（cos,sin,1）（0,1,0）22
cosuuursin[0,],
22
aAB
故[,],
42
所以③正确，④错误.
设直线AB'与b所成的夹角为，则[0,2],
cos
uuuur
AB'b
uuuur
bAB'
（cos,sin,1）（1,0,0）
uuuurbAB'
2
=cos.
2
当AB'与a成60角时，=
，
3
12
sin=2cos=2cos=2=.
322
因为
22
sin+cos=1,
所以
2
cos=.
2
所以
21
cos=cos=.
22
因为[0,2],
所以=，此时AB'与b成60角.
3
所以②正确，①错误.
三、解答题
17.【答案】解：
（1）由已知得tanA3，所以2π
A=.
3
在VABC
中，由余弦定理得
22π
284c4ccos，即
3
cc.2+224=0
2+224=0
解得c6，（舍去），c=4
（2）由题设可得
π
CAD=，所以
2
π
BADBACCAD.
6
故VABD面积与VACD
1π
ABAD
ggsin
26
1
面积的比值为
1
ACAD
g
2
又VABC
1
的面积为
2
42sinBAC23，所以ABD的面积为3.
【解析】
（1））先求出角A,再根据余弦定理求出c即可；
（2）根据VABD，VACD，VABC
的面积之
间的关系求解即可.
18.【答案】解：
（1）由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知
PX
216
2000.2
90
，
36
PX3000.4，
90
2574
PX5000.4.
90
因此X的分布列为
X200300500
P0.20.40.4
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500
当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y6n4n2n；
若最高气温位于区间20，,25，则Y63002（n300）4n12002n;
若最高气温低于20，则Y62002（n200）4n8002n;
因此EY2n0.4（12002n）0.48002n0.26400.4n.
当200≤n300时，
若最高气温不低于20，则Y6n4n2n;
若最高气温低于20，则Y62002（n200）4n8002n;
因此EY2n0.40.48002n0.21601.2n.
所以n300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.
【解析】
（1）根据表格提供的数据进行分类求解即可；
（2）根据分布列得到关于利润的函数表达式，进而求
解最值.
19.解：
（1）由题设可得，ABDCBD,从而ADDC.
又ACD是直角三角形，所以ACD=900.
取AC的中点O，连接DO,BO,则DOAC,DOAO.
又由于ABC是正三角形，故BOAC.
所以DOB为二面角DACB的平面角.
在RtAOB中，
222
BOAOAB.
又ABBD，所以
222222
BODOBOAOABBD，故
0
DOB=90.
所以平面ACD平面ABC.
uuur
（2）由题设及
（1）知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，OA
uuur
的方向为x轴正方向，OA
为单
位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A（1，0，0）,B（0，3，0）,C（1，0，0）,D（0，0，1）.
由题
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