第四十讲 特殊化与一般化.docx

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第四十讲特殊化与一般化

第四十讲特殊化与一般化

　　特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时，从考虑一组给定的对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象．也就是为了解答一般问题，先求解特例，然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题．

　　另外，特殊化、一般化和类比联想结合起来，更可以由此及彼地发现新命题、开拓新天地．

　　1．特殊化、一般化和类比推广

　　命题1在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的高（图2-102），则有CD2=AD·BD．

　　这是大家所熟知的直角三角形射影定理．

　　类比命题1，如果CD是斜边上的中线，将怎样？

由此得到命题2．

　　命题2在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的中线（图2-103），则有CD=AD=BD．

　　这便是大家已经学过的直角三角形中的斜边中点定理（在此定理中仍保持CD2=AD·BD）．

　　再类比，如果CD是∠C的平分线，将怎样？

于是得到命题3．

　　命题3在△ABC中，∠C=90°，CD是∠C的平分线（图2-104），则有

　　这是一个新命题，证明如下.

　　引DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．

　　因为

　　所以

　　我们把命题1、命题2、命题3一般化，考虑D点是AB上任一点，便产生了以下两个命题．

　　命题4在△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任一内分点（图2-105），则有

　　证引DF⊥AC于F，DE⊥BC于E．因为

CD2-BD2＝CE2-BE2=（CE-BE）BC，

　　而

　　所以

　　所以

　　即

　　命题5在△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任一外分点（图2—106），则有

　　证只要令命题4之结论中AD为-AD，则有

　　我们再把命题4和命题5特殊化，令D点与A点重合（即│AD│=0），那么无论是①式或②式都有

AB2=BC2+AC2.

　　这就是我们熟知的勾股定理．

　　命题4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的，因此，它们也可称作广勾股定理．下面用命题4或命题5来证明以下定理．

　　定理在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a在c上的射影为n，

　　时，取“-”号，∠B为钝角时，取“＋”号）．

　　证我们仅利用命题4证图2-107中的情况（∠B＜90°）．

　　为此，我们作图2-109，其中∠DBA=90°，CD=x，CE⊥DB于E，并设CE=n．由命题4，立得

　　得

　　所以

b2=a2+c2-2cn．

　　同理可证图2-108（∠B＞90°）的相应结论．

　　2．特殊化、一般化在解题中的应用

　　例1设x，y，z，w为四个互不相等的实数，并且

　　求证：

x2y2z2w2=1

　　分析与解我们先考虑一个特例，只取两个不同实数，简化原来命

（1）求证这个特殊化的辅助问题就容易多了．事实上，因为

　　又因为

到原命题，由

　　容易想到变形

　　去分母变形为

　　①×②×③×④，并约去（x-y）（y-z）（z-w）（w-x）（利用x，y，z，w互不相等）就得到

x2y2z2w2=1.

　　例2设凸四边形O1O2O3O4的周长为l，以顶点O1，O2，O3，O4为圆心作四个半径为R的圆轮．如果带动四个圆轮转动的皮带长为s，求s的长度（图2-110）．

　　解

（1）先解一个特例（图2-111）．设只有两个圆轮⊙O1，⊙O2，2│O1O2│=l＇．显然，带动两轮转动的皮带长度为

s=l＇+2πR．

（2）再回到原题，我们猜想：

s=l＋2πR．

　　以下证实这个猜想是正确的．

　　为此，设皮带s与各圆轮接触的四个弧为

　　由于它们是等圆上的弧，因此，只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可．

　　事实上，引O1A＇3∥O2A3，由于O1A1∥O2A2，所以∠A1O1A＇　　

O1为圆心，以R为半径的圆．因此，四圆弧之长为2πR．又因为O1O2=A1A2，O2O3=A3A4，O3O4=A5A6，O1O4=A7A8，所以

l＝A1A2＋A3A4＋A5A6＋A7A8．

　　所以，所求皮带长为

s=l＋2πR．

　　例3设a1，a2，…，an都是正数．试证：

　　证欲证①成立，先考虑最简单的情形，设n=3，即证

　　把②变形为

　　即证

　　由于④中左边有（a1-a2），（a2-a3），（a3-a1），其和为零，因此，我们猜想：

若④式左边相加，其和不小于（a1-a2），（a2-a3），（a3-a1）之和即可．为此，我们证更简单的事实．

　　设a，b是任意正整数，则有

　　事实上，由（a-b）2≥0有

a2-ab≥ab-b2，

　　根据⑤，④显然成立，因为

≥（a1-a2）+（a2-a3）+（a3-a1）≥0，

　　从而③式成立，②式成立．

　　剩下来的工作是把②式推到一般情形①，这是很容易的．因为根据⑤，①式必然成立，因为

练习十九

　　1．如图2-112．已知由平行四边形ABCD各顶点向形外一条直线l作垂线，设垂足分别为A＇，B＇，C＇，D＇．求证：

＇A＋B＇B=C＇C＋D＇D．

　　2．在上题中，如果移动直线l，使它与四边形ABCD的位置关系相对变动得更特殊一些（如l过A，或l交AB，BC等），那么，相应地结论会有什么变化？

试作出你的猜想和证明．

　　3．在题1中，如果考虑直线l和平行四边形更一般的关系（如平行四边形变成圆，或某一中心对称图形，垂线AA＇，BB＇，CC＇，DD＇只保持平行等），那么又有什么结论，试作出你的猜想和证明．

　　4．如果△ABC的周长为40米（m），以A，B，C三点为圆心，作三个半径为1米的圆轮，带动圆轮转动的皮带长为l，试求l的长度．