采样定理报告.docx
《采样定理报告.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《采样定理报告.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
采样定理报告
1）采样率的确定，以哪个频率为基础?
采样定理：
带通采样定理：
当连续信号的频带限在・丄到「H之间，而且•丄》W=■H-丄时，称为带通信号。
此时并不一定需要米样频率咼于两倍最咼频率，对于窄带咼频信号（W/H<<1），其采样速率近似等于2W。
这就使我们可以大大降低采样速率，为高频带通信号的数字化传输提供了有利条件。
低通采样定理：
对一个低通带限信号进行均匀理想采样，如果采样频率大于
等于信号最高频率的两倍，采样后的信号可以精确地重建原信号，可以表示为fs>2fmax或Ts<1/2fmax，式中fs=1/Ts,fmax是信号的最高频率。
当f=2fmax时的采样频率为临界采样频率或称为“奈奎斯特率”。
低通采样定理是带通采样的特殊形式。
采样率的确定：
带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。
采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
一般来说，根据奈奎斯特采样定理，仪器的采样率必须不低于信号带宽的两倍。
而实际上，要还原波形，采样频率仅仅满足采样定理是不够的，采样频率要大于”信号带宽2倍，才可以得到信号的完整信息。
采样定理是避免信号在频域出现混叠失真的最基本条件，而不是时域信号不失真的条件。
所以，要恢复原信
号，采样率是“大于”而非“等于”信号带宽的两倍。
理论上，采样率越高，越能反应原信号的真实情况，但是采样率越高，需要存储和处理的资源也就越大，所以，为了综合考虑，一般选取采样率为信号带宽的3到5倍。
2）采样率太低，会产生假频、混叠效应、波形失真。
进行理论分析数学推导和仿真。
有限带宽信号的数学分析：
根据奈奎斯特采样定理，当对一个最高频率为fmax的带限信号进行采样
时，采样频率fs必须大于fmax的两倍以上才能确保从采样值完全重构原来的信号。
这里，fs=2fmax为奈奎斯特采样率，fs/2称为奈奎斯特频率。
对于正弦波，每个周期至少需要两次以上的采样才能保证数字化后的脉冲序列能较为准确的还原原始波形。
如果采样率低于奈奎斯特采样率则会导致混叠现象。
如果某个信号在某个频点（截止频率）以外的频谱幅度均为零，那么这一信号称为有限带宽信号。
有限带宽信号，从数学上分析，一个信号不可能是真正有限带宽的。
傅立叶变换定律告诉我们，如果一个信号的持续时间是有限的，则它的频谱就会延展到无限频率范围，如果它的带宽是有限的，则它的持续时间是无限的。
实际上，我们找不到一个持续无限时间的时域信号，所以也不可能有真正的有限带宽信号。
不过绝大部分实际信号的频谱能量都集中在有限带宽内，因此一般数学分析对实际中信号仍然有效。
在实际采样器中，可以把采样过程看作是脉冲调幅过程，Xa（t）为调制信号,
被调脉载波是周期为T、脉宽为T的周期脉冲串，如图1（b）所示，当T-0时，便是理想情况，如图1（a）所示。
理想采样时实际采样的一种科学抽象，同时可使数学推导得到简化，下面讨论理想采样情况。
（a）（b）
图1连续时间信号的采样
在T—0的极限情况下，采样脉冲序列p（t）变成冲激函数序列：
T（t），即
p（t）—T（t）（t-nT）1
n-.：
：
理想采样同样又可以看成是连续时间信号对脉冲载波的调幅过程，因而理想采样
A
输出Xa（t）可表示为
A
Xa（t）=Xa（t）P（t）
=Xa（t）、；（t—nT）
n-:
:
Xa（tb-（t-nT）2
n-.：
:
由于S（t-nT）只有在t=nT时为非零值，所以式2中Xa（t）只有在t=nT时才有意义,
故有
A-'
Xa（t）二'、Xa（nT）、（t一nT）3
■to
g4
周期函数序列；T（t）展开成为傅里叶级数，得
p（t）=a：
（t-nT）=ac「e
级数的基波采样频率为fs=1/T，采样角频率为丄=2二/T，傅里叶系数Cr为
1T/28.c
■_T/2
n=OQ
-[2：
6（t—nT）e」r^dt1T/2
二Tv/2「（t）e
于是p（t）可表示为
p（t）的傅里叶变换为
8
送6（j。
—jr0s）
Tr--
根据傅里叶变换的卷积定理，，可得出理想采样信号Xa（t）的频谱为
A1
Xa（j"）二F[Xa（t）P（t）]Xa
（2）P（"）
2H
1
二\_Xa（f9fjr「s）
Tr=.:
：
1"
Xa（P-jri」s）Tr-.：
：
从上式可以看出，采样信号的频谱Xa（j「）是模拟信号频谱Xa（j「）的周期拓展，周期为采样频率门s。
亦即采样信号的频谱包括原信号频谱和无限多个经过平移的原信号频谱，这些频谱都要乘以系数1/T,如图2（a）（b）所示。
1J
1
A
爲〔用）
T
\
/\
►
（a）
—Ojo
（c）
图2理想采样信号的频谱
设原信号Xa（t）是最高频率为门。
的带限信号，如图2所示，其频谱称为基带频谱。
当"s_2门0或fs-2fo时，理想采样信号频谱中，基带频谱及各次谐波调制频谱彼此是不重叠的，如图（b）所示。
此时可用一个带宽为1舄/2的理想低通滤波器，取出原信号Xa（t）的频谱Xa（j「），而滤除它的各次谐波频谱，从而恢复出原信号xa（t），这时采样没有造成信息丢失。
从图（C）可以看出，当"s2门0或者fs2fo时，各次谐波频谱必然互相重叠，重叠部分的频率成分的幅值与原信号不同，因而不能分开和恢复这些信号，这时采样造成了信息丢失。
这种现象叫做“混叠”现象。
如果原信号不是带限信号，或采样频率太低，“混叠”现象必然存在
折叠频率与假频：
采样定理证明：
当用采样频率SF对一个信号进行采样时，信号中SF/2以上的频率成分不是消失了，而是对称地映像到了SF/2以下的频带中，并且和SF/2以下的原有频率成分叠加起来，这个现象就是“混叠”。
这是任何一个连续信号被离散化的必然结果。
这里，折叠点的频率数值作为一个门坎，它在连续信号的离散过程中起到了非常重要的作用，具有非常明显的标记，又叫做折叠频率，即奈奎斯特频率，数值上均等于采样频率的一半。
原始信号中所有包含大于它的频谱成分均被折叠到信号的低频部分，其结果是原始频谱被彻底改造：
（1）原始频谱中的低频成分由于折叠作用而发生了畸变
（与原来的频谱不一致）；
（2）高频成分被填充为零（原始信号的高频成分不一定
为零）。
也就是说，由离散序列所得到的频谱Xa（"）与原始频谱是不相等的，这种由连续信号的离散化导致离散前后频谱发生变化的现象，称为混叠现象，即假
频现象。
当然，如果原始信号中不包含有大于Nyquist频率的频谱成分，所得到的离散频谱就与原始信号的频谱完全一致。
因此，我们将在混叠现象中引起频谱
发生畸变的那部分频率成分（即原始信号中大于Nyquist频率的频谱成分）统称为假频。
当然，若原始信号中没有包含大于Nyquist频率的频谱成分，则在折叠过程中不会产生假频现象。
如果已知原始信号的频谱，我们很容易找到此频谱有效频率成分的最小半径（以f=0为圆心），这个最小半径就是我们所说的Nyquist频率，由此可以算出最大采样间隔。
但是，由于原始信号通常是未知的，因此，假频现象一般很难被消除。
发现假频与消除假频：
那么，在连续信号的离散信号过程中，应该怎样发现假频？
发现以后又该如何消除假频？
显然，使用小的采样间隔T1（对应较大的Nyquist采样率）可以有效防止假频现象，但这样做是以增加计算量为代价的；然后适当增大采样间隔
（由T1变成T2）,如果这两组离散信号的频谱没有差别（以不影响分析结果为标准），可以再适当加大采样间隔（由T2变成T3），否则就缩小采样间隔（由T2变成T3）。
如此等等，直到找到一个合适的数值较大的采样间隔。
对于离散信号的重采样过程，由于采样前离散信号的频谱可以计算得到，因此，可以对采样前离散信号的频谱进行低通滤波，目的是去掉重采样前离散信号
中的高频成分，消除重采样时可能引起的假频现象。
总结为以下步骤：
（1）通过频谱分析确定适中的采样间隔，试探截止频率fc的大小；
（2）先去假频，然后采样（如低通滤波）；
（3）有高于奈奎斯特频率的假频，重采样前先去假频（如低通滤波）。
从理论上说，即使奈奎斯特频率恰好大于信号带宽，也足以通过信号的采样
重建原信号。
但是，重建信号的过程需要以一个低通滤波器或者带通滤波器将在奈奎斯特频率之上的高频分量全部滤除，同时还要保证原信号中频率在奈奎斯特频率以下的分量不发生畸变，而这是不可能实现的。
在实际应用中，为了保证抗混叠滤波器的性能，接近奈奎斯特频率的分量在采样和信号重建的过程中可能会发生畸变。
因此信号带宽通常会略小于奈奎斯特频率，具体的情况要看所使用的
滤波器的性能。
需要注意的是，奈奎斯特频率必须严格大于信号包含的最高频率。
如果信号中包含的最高频率恰好为奈奎斯特频率，那么在这个频率分量上的采样会因为相
位模糊而有无穷多种该频率的正弦波对应于离散采样，因此不足以重建为原来的
连续时间信号。
采样信号的matlab仿真（simulink仿真与代码仿真）：
（1）simulink仿真
Simulink模型图如下：
建立采样系统的simulink模型框图需要下列模块：
sources模块中的sinewave模块，pulsegenerator模块和constant模块，分别用来产生采样信号、采样脉冲、和常量信号；commonlyusedblocks模块库中product模块、sum模块和mux模块，分别用来实现信号的乘法、加法运算和多个信号的复接；sinks模块
库中的scope模块，用来显示仿真过程中产生的信号的波形。
Simulink仿真图如下:
（a）设置正弦波角频率为2*pirad/sec,即频率为fO=1Hz，设置采样脉冲周期为
0.025s即频率fs=40Hz。
此时，fs=40f0。
为过采样情况，可看出，采样后的信号保留了被采样信号的波形变化趋势，变化周期与被采样信号的周期相同；采样后信号的幅值为采样信号幅值和采样脉冲幅值的乘积。
这一显示结果与采样定理的理论结果完全一致。
（b）设置正弦波角频率为40*pirad/sec，即频率为f=20Hz，设置采样脉冲周期为
0.025s即频率fs=40Hz。
此时，fs=2f0。
Timeoffset
为临界采样情况，可看出，采样后的信号一个周期里有两个采样值，勉强保存采样信号的波形变化趋势，后加一个理想低通滤波器即可恢复信号，但实际生产中低通滤波器的性能往往不如意，所以此方式不能完全恢复原信号。
（c）设置正弦波角频率为50*pirad/sec,即频率为f=25Hz,设置采样脉冲周期为
0.025s即频率fs=40Hz。
此时，fs=1.6f0。
iiinIinIii.-Jiihii・m"
Tkneoffset
为欠采样状态，可看出，一个周期不足两个采样点，采样后的信号完全不能反映采样信号的波形变化趋势，波形已严重失真。
完全不能恢复成原信号。
⑵Matlab代码仿真:
代码如下：
新建文件一:
clear;
clc;
f0=10000;%用来模拟模拟信号的数字信号的采样频率fs<fs=500;%信号的采样频率
N=500;%数字信号的样点数%模拟信号的生成
s=signal_generate（f,f0,N）;subplot（4,1,1）;plot（s）;axis（[1Nmin（s）max（s）]）;
%采样点数，间隔的计算
deltaN=f0/fs
Ns=N/deltaN
%采样
fori=1:
Ns
sd（i）=s（（i-1）*deltaN+1）;
end
subplot（4,1,2）;stem（sd,'.'）;axis（[1Nsmin（s）max（s）]）;%恢复出方波信号
sp=[];
fori=1:
Ns
sp=[spsd（i）*ones（1,deltaN）];
end
subplot（4,1,3）;plot（sp）;axis（[1Nmin（s）max（s）]）;
%低通滤波恢复出原始信号
Wm=fs/f0level=5/Wmb=low_filter（Wm,level）;delay=level/2;
sp=[spzeros（1,delay）];so=filter（b,1,sp）;
so=so（delay+1:
delay+N）/deltaN;subplot（4,1,4）;plot（so）;axis（[1Nmin（s）max（s）]）;
命名为”main.m”保存。
新建文件二：
functions=signal_generate（f,f0,N）
f0=10000;num=length（f）;
s=zeros（1,N）;
fori=1:
nums=s+sin（f（i）*2*pi*（1:
N）/f0）;
end
命名为”signal_generate.m'保存。
新建文件三：
functionb=low_filter（Wm,level）;
Nm=ceil（Wm/2*level）;
H=zeros（1,level）;
H（1:
Nm）=ones（1,Nm）;
H（Nm+1）=0.5;
H（level-Nm+1）=-0.5;
H（level-Nm+2:
level）=-ones（1,Nm-1）;theta=-（level-1）/level*pi*（0:
level-1）;%phaseHg=H.*exp（j*theta）;
b=real（ifft（Hg））;
b=b/（sum（b.A2））;
命名”low_filter.m”保存。
得仿真图如下：
可看出，经过频率大于两倍信号最高频率的采样脉冲采样后，经低通滤波平
滑输出，能够完全恢复采样信号，符合采样定理。
（3）究竟会产生什么样的问题，需要研究清楚。
对于仪器的幅频特性对信号采样的问题，用示波器作为例子进行具体说明。
带宽被称为示波器的第一指标，也是示波器最值钱的指标。
示波器市场的划分常以带宽作为首要依据，工程师在选择示波器的时候，首先要确定的也是带
宽。
通常谈到的带宽没有特别说明是指示波器模拟前端放大器的带宽，也就是常
说的-3dB截止频率点。
关于带宽的更深入讨论，我们需要谈到示波器前端放大器幅频特性的平坦度和滚降特性。
现在业界有三种幅频特性曲线，分别代表了三个品牌：
Gaussian（泰克）,4thOderBessel（力科）和MaximallyFlat（安捷伦）。
Gaussian响应在-3dB之后仍衰减很慢。
其优点是允许被测信号的更高频率成分的谐波能量通过放大器（这是假定其有采样率远超过Nyquist），对于特别
快的快沿测量有帮助。
其缺点是在低频段使被测信号严重衰减，特别是对3次谐
波的衰减严重，导致眼图测量中产生"花生眼"。
实际中，若仪器的幅频特性不够理想，其高频端衰减的过渡带太长。
在满足仪器频带宽度和动态范围要求的前提下，由于过渡带太长，导致两方面的问题：
（1）采样率不够会使记录信号出现假频；
（2）使观测频带之外的大量信号进入仪器的记录数据中，对观测数据造成干扰。
MaximallyFlat响应或者说矩形响应似乎是最接近我们教科书上对幅频特性的定义。
但幅频特性接近理想状况并不意味着是最适合用于示波器的放大器前端。
其对于带宽范围内的正弦波测量有优势，但由于实际测量信号多是方波信号，矩形响应对于超过带宽范围内的高次谐波完全消除掉，会带来严重的相位失真。
假想购买的1GHz示波器是用于200MHZ的信号测量，矩形响应会将5次谐波以上的能量完全消除掉。
这对于上升沿比较快的脉冲信号测量是有问题的。
力科的4thOderBessel响应曲线是对前两种的折衷考虑。
它在频率含量
最丰富的3次谐波含量衰减很小，在接近带宽的频段的相位信息没有失真。
这对
于串行信号测量是非常完美的幅频特性曲线。
在观测方法标准的研究中，可以考虑做三个方面的规定：
（1）规定仪器的频带在高频端的转折频率不超过某一个值。
如数据采集率1次/分钟，那么信号的最高频率为120秒；如果考虑到信号的最高频率，至少要考虑到两个10倍频程，那么转折频率规定到12000秒比较合适。
（2）规定物理采样率不低于某个值。
如仪器的频带为30秒，考虑到30秒是转折频率，实际信号的至少要考虑到3秒，所以物理采样率可选为1次/秒。
这种计算是基于仪器的动态范围为40dB,如果要提高仪器的动态范围，采样率还要提高；如根据仪器的实际测试结果，动态范围为80dB的仪器的最高频率为2Hz，物理采样率就得采用4次/秒。
（3）在满足仪器频带宽度和动态范围要求的前提下，传递函数的高频端的过渡带要减小，衰减要快，宜做到一个十倍频程下降80dB。
不同的仪器，由于频带不同，应采用不同的物理采样率。
物理采样率过高，虽然可以真实地记录数据，但是数据量太大，导致处理与输出困难。
因此，根据
可以选择适当
仪器的实际运行情况，在物理采样率满足仪器记录需求的前提下,的数据吐出率来减少数据量。
升级会员 