七年级数学下册知识点归纳.docx
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七年级数学下册知识点归纳
七年级数学下册知识点归纳
第一章：
整式的运算
单项式
整 式
多项式
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
幂运算 同底数幂的除法
零指数幂
负指数幂
整式的加减
单项式与单项式相乘
单项式与多项式相乘
整式的乘法 多项式与多项式相乘
整式运算 平方差公式
完全平方公式
单项式除以单项式
整式的除法
多项式除以单项式
一、单项式
1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式
1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式
1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不一定是单项式。
4、整式不一定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减
1、整式加减的理论根据是：
去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配律。
2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。
3、几个整式相加减的一般步骤：
（1）列出代数式：
用括号把每个整式括起来，再用加减号连接；
（2）按去括号法则去括号；
（3）合并同类项；
4、代数式求值的一般步骤：
（1）代数式化简；
（2）代入计算；
（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。
五、幂的运算
（1）同底数幂的乘法
1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法的运算法则：
am﹒an=am+n。
4、此法则也可以逆用，即：
am+n=am﹒an。
5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。
（2）同底数幂的除法
1、同底数幂的除法法则：
am÷an=am-n（a≠0）。
2、此法则也可以逆用，即：
am-n=am÷an（a≠0）
（3）幂的乘方
1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。
（am）n表示n个am相乘。
2、幂的乘方运算法则：
（am）n=amn。
3、此法则也可以逆用，即：
amn=（am）n=（an）m。
（4）积的乘方
1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
2、积的乘方运算法则：
（ab）n=anbn。
3、此法则也可以逆用，即：
anbn=（ab）n。
（5）零指数幂：
a0=1（a≠0）。
（6）负指数幂：
（7）底数为分数的幂：
六、整式的乘法
（一）单项式与单项式相乘
1、单项式乘法法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。
2、系数相乘时，注意符号。
3、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
4、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘
1、单项式与多项式乘法法则：
m（a+b+c）=ma+mb+mc。
2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
3、混合运算中，注意运算顺序，得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式乘法法则：
：
（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb。
2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。
3、多项式的每一项都包含它前面的符号，应用“同号得正，异号得负”。
4、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：
（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab。
十五、整式的除法
（一）单项式除以单项式
1、单项式除以单项式的法则：
一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。
（二）多项式除以单项式
1、多项式除以单项式的法则：
2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。
七、平方差公式
1、
2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。
3、平方差公式可以逆用，即：
a2-b2=（a+b）（a-b）。
八、完全平方公式
1、
即：
“首平方加末平方，2倍的首末放中间，同号得正，异号得负。
”
2、公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式。
3、掌握理解完全平方公式的变形公式：
（1）
（2）
（3）
第三章 生活中的数据
单位换算
科学记数法
近似数
生活中的数据 精确数
有效数字
精确度
统计图（象形统计图）
一、单位换算
1、长度单位：
（1）百万分之一米又称微米，即1微米=10-6米。
（2）10亿分之一米又称纳米，即1纳米=10-9米。
（3）1微米=103纳米。
（4）1米=10分米=100厘米=103毫米=106微米=109纳米。
2、面积单位
（1）10-6千米2=1米2=102分米2=104厘米2=106毫米2=1012微米2=1018纳米2。
3、质量单位
（1）1吨=103千克=106克。
二、科学计数法表示绝对值小于1的较小数据
1、用科学计数法表示绝对值小于1的较小数据时，也可以表示为a×10n的形式，其中1≤〡a〡<10,n为负整数，n等于这个数的第一个不为零的数字前面所有零的个数（包括小数点前面的一个零）的相反数。
三、近似数与精确数
1、精确数是指一个物体或描述一事件的真实数值。
2、近似数是指用测量或统计的方法、四舍五入、估计等得到的数。
3、近似数产生的原因有：
（1）由于测量工具和测量方法的局限性不可能得到物体的准确值；
（2）有些事件也不可能或没有必要得出它的精确值。
4、近似数a的真值的范围大于或等于a与它的最末位的半个单位的差而小于a与它的最末位的半个单位的和。
例如近似数1.60的真值范围为大于或等于1.595而小于1.605。
四、有效数字
1、对于一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫这个数的有效数字。
2、对于科学计数法型的近似数，由a×10n（1≤〡a〡<10）中的a来确定，a的有效数字就是这个近似数的有效数字。
与×10n无关。
3、对带有记数单位的近似数，由数字来确定，与单位无关。
五、近似数的精确度
1、近似数的精确度是近似数精确的程度。
2、近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
3、精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定的。
4、对于单独一个近似数，根据最后一位有效数字在该数中所处的位置直接确定精确度。
5、对用科学记数法表示的数应注意将其还原为原来的数后，再确定其精确度。
6、对带单位的近似数，也要还原为原来的数后再确定其精确度。
7、对近似数进行取舍时需要注意一般形式与科学记数法形式。
六、统计图（表）
1、条形统计图：
能清楚地表示出每个项目的具体数目。
2、折线统计图：
能清楚地反映事物的变化情况。
3、扇形统计图：
能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
4、象形统计图：
能直观地反映数据之间的意义。
5、从统计图中获取更多的有用信息，应做到以下几步：
（1）审清统计图横轴和纵轴代表的意义，若是象形统计图则要看准每个形象图标代表什么意义；
（2）把各部分的数据找出来；
（3）以图中读出的信息作为参考（已知），推测相关量的变化趋势或规律；
（4）对需要计算后回答的信息要准确地进行计算。
6、制作象形统计图
（1）象形统计图比一般的统计图更直观、更简洁生动，极富有个性和情感，但准确性差一些。
（2）制作象形统计图没有固定的格式，需要具有较强的想像力和创造力。
（3）制作象形统计图：
一是要明确制作的统计图的特点；
二是要结合具体问题，分析数据特点和规律，通过设计简明、直观、形象的统计图，加深对问题的理解。
第四章 概率
必然事件
事件 不可能事件
不确定事件
概率 等可能性 游戏的公平性
概率的定义
概率 几何概率
设计概率模型
一、事件
1、事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。
2、必然事件：
事先就能肯定一定会发生的事件。
也就是指该事件每次一定发生，不可能不发生，即发生的可能是100%（或1）。
3、不可能事件：
事先就能肯定一定不会发生的事件。
也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生的可能性为零。
4、不确定事件：
事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发生，即发生的可能性在0和1之间。
5、三种事件都是相对于事件发生的可能性来说的，若事件发生的可能性为100%，则为必然事件；若事件发生的可能性为0，则为不可能事件；若事件不一定发生，即发生的可能性在0∽1之间，则为不确定事件。
6、简单地说，必然事件是一定会发生的事件；不可能事件是绝对不可能发生的事件；不确定事件是指有可能发生，也有可能不发生的事件。
7、表示事件发生的可能性的方法通常有三种：
（1）用语言叙述可能性的大小。
（2）用图例表示。
（3）用概率表示。
二、等可能性
1、等可能性：
是指几种事件发生的可能性相等。
2、游戏规则的公平性：
就是看游戏双方的结果是否具有等可能性。
（1）首先要看游戏所出现的结果的两种情况中有没有必然事件或不可能事件，若有一个必然事件或不可能事件，则游戏是不公平的；
（2）其次如果两个事件都为不确定事件，则要看这两个事件发生的可能性是否相同；即看双方获胜的可能性是否相同，只有双方获胜的可能性相同，游戏才是公平的。
（3）游戏是否公平，并不一定是游戏结果的两种情况发生的可能性都是二分之一，只要对游戏双方获胜的事件发生的可能性一样即可。
三、概率
1、概率：
是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数。
2、必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；
3、不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；
4、不确定事件发生的概率在0∽1之间，记作05、概率是对“可能性”的定量描述，给人以更直接的感觉。
6、概率并不提供确定无误的结论，这是由不确定现象造成的。
7、概率的计算：
（1）直接数数法：
即直接数出所有可能出现的结果的总数n，再数出事件A可能出现的结果数m，利用概率公式直接得出事件A的概率。
（2）对于较复杂的题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法”。
四、几何概率
1、事件A发生的概率等于此事件A发生的可能结果所组成的面积（用SA表示）除以所有可能结果组成图形的面积（用S全表示），所以几何概率公式可表示为P（A）=SA/S全，这是因为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的。
2、求几何概率：
（1）首先分析事件所占的面积与总面积的关系；
（2）然后计算出各部分的面积；
（3）最后代入公式求出几何概率。
五、设计概率模型（游戏或事件）
1、设计符合要求的简单概率模型（游戏或事件）是对概率计算的逆向运用。
2、设计通常分四步：
（1）首先分析设计应符合什么条件；
（2）其次确定选用什么图形表示更合理；
（3）然后再按一定要求和操作经验来设计模型；
（4）最后再通过计算或其他方法来验证设计的模型是否符合条件。
第六章 变量之间的关系
自变量
变量的概念
因变量
变量之间的关系 表格法
关系式法
变量的表达方法 速度时间图象
图象法
路程时间图象
一、变量、自变量、因变量
1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。
3、自变量与因变量的确定：
（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。
（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。
二、自变量、因变量之间关系的表示方法
㈠表格（列表）法
1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。
（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；
（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；
（3）结合实际情境理解它们之间的关系：
“随着自变量的增加，因变量增加或减小”的语言描述。
2、绘制表格表示两个变量之间关系
（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；
（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；
（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；
（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。
（二）关系式法
1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。
2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。
3、求两个变量之间关系式的途径：
（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。
（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；
（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；
（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
4、关系式的应用：
（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；
（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；
（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。
（三）图象法
1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。
2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。
3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。
4、图象上的点：
（1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值；
（2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。
（3）由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。
（4）把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。
5、图象理解
（1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；
（2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；
（3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。
三、“速度—时间“图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：
从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；
（2）水平的线：
与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；
（3）下降的线：
从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。
四、“路程—时间”图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：
从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；
（2）水平的线：
与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；
（3）下降的线：
从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。
第二章 平行线与相交线
余角
余角补角
补角
角 两线相交 对顶角
同位角
三线八角 内错角
同旁内角
平行线的判定
平行线
平行线的性质
尺规作图
一、余角与补角
1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。
2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。
3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。
4、余角和补角的性质：
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：
（1）则（同角的余角（或补角）相等）。
（2）且则（等角的余角（或补角）相等）。
6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。
二、对顶角
1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。
2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
3、对顶角的性质：
对顶角相等。
4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。
5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。
三、同位角、内错角、同旁内角
1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。
2、同位角：
两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。
3、内错角：
两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。
4、同旁内角：
两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。
5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。
四、六类角
1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。
2、余角、补角只有数量
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