最新高中数学知识点总结王宇优秀名师资料.docx

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最新高中数学知识点总结王宇优秀名师资料

高中数学知识点总结（王宇）

高中数学必修1知识点

第一章集合与函数概念

〖1.1〗集合

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

（2）常用数集及其记法

表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.NQNNZR，

（3）集合与元素间的关系

aM,aM,对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.aM

（4）集合的表示法

自然语言法:

用文字叙述的形式来描述集合.

列举法:

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

描述法:

{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.xxx

图示法:

用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

含有有限个元素的集合叫做有限集.?

含有无限个元素的集合叫做无限集.?

不含有任何元素的集合叫做

空集（）.,

【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等

nnnn21,21,22,（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有nn

（1）,A2

非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

（1）含绝对值的不等式的解法

不等式解集

||（0）xaa,,{|}xaxa,,,

或xa,}||（0）xaa,,xxa|,,

axb，看成一个整体，化成||xa,，把

||,||（0）axbcaxbcc，,，,,

||（0）xaa,,型不等式来求解

（2）一元二次不等式的解法

〖1.2〗函数及其表示

【1.2.1】函数的概念

（1）函数的概念

函数的三要素:

定义域、值域和对应法则（

只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（

（2）求函数的定义域时，一般遵循以下原则:

fx（）?

是整式时，定义域是全体实数（

是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数（fx（）

是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合（fx（）

对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1（

中，（xkkZ,，,（）yx,tan,2

零（负）指数幂的底数不能为零（

若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义fx（）

域的交集（

对于求复合函数定义域问题，一般步骤是:

若已知的定义域为，其复合函数的定义域fx（）[,]abfgx[（）]应由不等式解出（agxb,,（）

对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论（?

由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（

（4）求函数的值域或最值

求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同（求函数值域与最值的常用方法:

观察法:

对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值（?

配方法:

将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值（

判别式法:

若函数x可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则yfx,（）ayxbyxcy（）（）（）0，，,y

2在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值（ay（）0,,,,,,byaycy（）4（）（）0xy,

不等式法:

利用基本不等式确定函数的值域或最值（

换元法:

通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函

数的最值问题（

反函数法:

利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值（?

数形结合法:

利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值（

函数的单调性法（

【1.2.2】函数的表示法

（5）函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种（

〖1.3〗函数的基本性质

【1.3.1】单调性与最大（小）值

（1）函数的单调性

定义及判定方法

函数的定义图象判定方法性质

第-2-页共21页

如果对于属于定义域I内

（1）利用定义

某个区间上的任意两个

（2）利用已知函数yy=f（X）

f（x）、x,当x<2自变量的值x的单调性121（（（

（3）利用函数图象x时，都有f（x）

单调性

（1）利用定义如果对于属于定义域I内

（2）利用已知函数yy=f（X）某个区间上的任意两个

的单调性自变量的值x、x，当x<121（f（x）（（1（3）利用函数图象x时，都有f（x）>f（x），212f（x）2（（（（（（（（（（（（（（在某个区间图那么就说f（x）在这个区ox象下降为减）xx12间上是减函数（（（（（4）利用复合函数?

在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数（

对于复合函数，令，若为增，为增，则为增;若yfgx,[（）]ugx,（）yfu,（）ugx,（）yfgx,[（）]

为减，为减，则为增;若为增，为减，则为yfu,（）ugx,（）yfgx,[（）]yfu,（）ugx,（）yfgx,[（）]减;若为减，为增，则为减（yfu,（）ugx,（）yfgx,[（）]

ayfxxa（）（0）,，,

（2）打“?

”函数的图象与性质x

分别在、上为增函数，分别在fx（）（,],,,a[,）a，,

、上为减函数（（0,]a[,0）,a

【1.3.2】奇偶性ox

（4）函数的奇偶性

定义及判定方法

函数的定义图象判定方法性质

如果对于函数f（x）定义

（1）利用定义（要

域内任意一个x，都有先判断定义域是否

函数的关于原点对称）f（,x）=,f（x）,那么函数（（（（（（（（（（（

奇偶性

（2）利用图象（图f（x）叫做奇函数（（（（象关于原点对称）

第-3-页共21页

如果对于函数f（x）定义

（1）利用定义（要

域内任意一个x，都有先判断定义域是否

关于原点对称）f（,x）=f（x）,那么函数（（（（（（（（（（

（2）利用图象（图f（x）叫做偶函数（（（（象关于y轴对称）

x,0?

若函数为奇函数，且在处有定义，则（fx（）f（0）0,

奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反（yy

在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数（

〖补充知识〗函数的图象

（1）作图

利用描点法作图:

确定函数的定义域;?

化解函数解析式;

讨论函数的性质（奇偶性、单调性）;?

画出函数的图象（

利用基本函数图象的变换作图:

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象（

平移变换

hh,0,左移个单位kk,0,上移个单位yfxyfxh,,,,,,,,,,，（）（）yfxyfxk,,,,,,,,,,，（）（）hh,0,|右移|个单位kk,0,|下移|个单位

伸缩变换

01,,,,伸yfxyfx,,,,,,,（）（）,,1,缩,

01,,,A缩yfxyAfx,,,,,,,（）（）A,1,伸

对称变换

y轴x轴yfxyfx,,,,,,,（）（）yfxyfx,,,,,,,（）（）

直线yx,原点,1yfxyfx,,,,,,,,（）（）yfxyfx,,,,,,,（）（）

去掉轴左边图象yyfxyfx,,,,,,,,,,,,,,,,,,（）（||）保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象yy

保留轴上方图象xyfxyfx,,,,,,,,,,,,（）|（）|将轴下方图象翻折上去x

第二章基本初等函数（?

）

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

nnN,xannan?

如果，且，那么叫做的次方根（当是奇数时，的次方根xaaRxRn,,,,,,,1，

nnnaa,anann用符号表示;当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示;0nan的次方根是0;负数没有次方根（

nananan?

式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数（当为奇数时，为任意实数;当为偶数

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a,0时，（

aa（0）,,nnnnnn?

根式的性质:

;当为奇数时，;当为偶数时，（naa,naa,,||（）aa,,,,aa（0）,

（2）分数指数幂的概念

mnmn?

正数的正分数指数幂的意义是:

且（0的正分数指数幂等于0（n,1）aaamnN,,,（0,,,，

mm,11mnnn?

正数的负分数指数幂的意义是:

aamnN,,,,且（0的负分数指数幂（）（）（0,,,n,1），aa

没有意义（注意口诀:

底数取倒数，指数取相反数（

（3）分数指数幂的运算性质

rsrs，rsrs?

aaaarsR,,,,（0,,）（）（0,,）aaarsR,,,

rrr?

（）（0,0,）abababrR,,,,

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数

函数名称指数函数

x定义函数且叫做指数函数a,1）yaa,,（0

a,101,,a

xxyyy,ay,a

图象（0,1）y,1y,1

（0,1）

11OOxx00

定义域R

（0,），,值域

x,0（0,1）y,1过定点图象过定点，即当时，（

奇偶性非奇非偶

单调性在上是增函数在上是减函数RR

xxax,,1（0）ax,,1（0）

函数值的xxax,,1（0）ax,,1（0）变化情况xxax,,1（0）ax,,1（0）aaa变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越高;在第二象限内，越大图象越低（

〖2.2〗对数函数

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【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数（xaaxN,logaNaa,,,（0,1）且NNa

对数式与指数式的互化:

（xNaNaaN,,,,,,log（0,1,0）a

（2）几个重要的对数恒等式

b，，（log10,log1a,logab,aaa

（3）常用对数与自然对数

lnNe,2.71828常用对数:

，即;自然对数:

，即（其中„）（logNlogNlgNe10

（4）对数的运算性质如果，那么aaMN,,,,0,1,0,0

Mlogloglog?

加法:

减法:

MN,,logloglog（）MNMN，,aaaaaaN

logNna?

数乘:

aN,nMMnRloglog（）,,aa

nlogNnbloglog（0,）?

换底公式:

MMbnR,,,log（0,1）Nbb,,,且baaablogab

【2.2.2】对数函数及其性质

）对数函数（5

函数对数函数名称

定义函数yxa,,log（0且叫做对数函数a,1）a

a,101,,a

x,1x,1yyyx,logyx,logaa

图象（1,0）11O（1,0）Oxx00

（0,），,定义域

值域R

x,1（1,0）y,0图象过定点，即当时，（过定点

奇偶性非奇非偶

（0,），,（0,），,在上是增函数在上是减函数单调性

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log0

（1）xx,,log0

（1）xx,,aa

函数值的log0

（1）xx,,log0

（1）xx,,aa变化情况

log0（01）xx,,,log0（01）xx,,,aa

变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低;在第四象限内，越大图象越靠高（aaa（6）反函数的求法

确定反函数的定义域，即原函数的值域;?

从原函数式中反解出;yfx,（）xfy,（）

1,1?

将改写成，并注明反函数的定义域（xfy,（）yfx,（）

（8）反函数的性质

原函数与反函数的图象关于直线对称（yfx,（）yfx,（）yx,

函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域（yfx,（）yfx,（）

',1?

若在原函数的图象上，则在反函数的图象上（Pab（,）yfx,（）Pba（,）yfx,（）

一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数（yfx,（）

〖2.3〗幂函数

1）幂函数的定义（

x,一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数（yx,

（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质

第-7-页共21页

过定点（（1,1）

,0,,0?

单调性:

如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数（如果，则幂函数的图象在[0,），,

上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴（x（0,），,y

〖补充知识〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

22?

一般式:

顶点式:

两根式:

fxaxbxca（）（0）,，，,fxaxhka（）（）（0）,,，,

（2）求二次函数解析式的方法fxaxxxxa（）（）（）（0）,,,,12

已知三个点坐标时，宜用一般式（

已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式（

若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便（xfx（）

（3）二次函数图象的性质

b2x,,,?

二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是fxaxbxca（）（0）,，，,2a

2bacb4,（,）,（24aa

bbba,0（,],,,[,）,，,?

当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，x,,2a2a2a

24acb,fx（）,min4a

22,,,,bac40x?

二次函数当时，图象与轴有两个交点fxaxbxca（）（0）,，，,

第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的意义:

x方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点（f（x）,0y,f（x）y,f（x）,,3、函数零点的求法:

求函数y,f（x）的零点:

1（代数法）求方程f（x）,0的实数根;?

2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y,f（x）的图象联系起来，并利用函数的?

性质找出零点（

高中数学必修2知识点

第一章空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征

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（1）棱柱:

定义:

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这

些面所围成的几何体。

几何特征:

两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的

截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义:

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体几何特征:

侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的

平方。

（4）圆柱:

定义:

以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征:

底面是全等的圆;?

母线与轴平行;?

轴与底面圆的半径垂直;?

侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥:

定义:

以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征:

底面是一个圆;?

母线交于圆锥的顶点;?

侧面展开图是一个扇形。

（7）球体:

定义:

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征:

球的截面是圆;?

球面上任意一点到球心的距离等于半径。

1.3空间几何体的表面积与体积

（一）空间几何体的表面积

2S,4,R球的表面积

（二）空间几何体的体积

1V,S，h1柱体的体积2锥体的体积V,S，h底底3

43V,,R3球体的体积3

第三章直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率

3.1倾斜角和斜率

1、倾斜角α的取值范围:

α,180?

.当直线l与x轴垂直时,α=90?

.3、直线的斜率:

k=tanα

由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、直线的斜率公式:

给定两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,x1?

x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:

斜率公式:

k=y2-y1/x2-x1

3.1.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线平行:

2、两条直线垂直，即:

3.2.1直线的点斜式方程

P（x,y）y,y,k（x,x）1、直线的点斜式方程:

直线经过点，且斜率为lk00000

（0,b）y,kx，b2、、直线的斜截式方程:

已知直线的斜率为，且与轴的交点为ylk

3.2.2直线的两点式方程

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1、直线的两点式方程:

已知两点其中y-y1/y-y2=x-x1/x-x2P（x,x）,P（x,y）（x,x,y,y）1122221212

3.2.3直线的一般式方程

（A，B不同时为0）Ax，By，C,0

3.3.2两点间距离

两点间的距离公式

3.3.3点到直线的距离公式

1（点到直线距离公式:

Ax，By，C00d,点到直线的距离为:

P（x,y）l:

Ax，By，C,0002222A，BPPxxyy,,，,，，，，122221

2、两平行线间的距离公式:

已知两条平行线直线和的一般式方程为:

，lllAx，By，C,01211

C,C12d,，则与的距离为lllAx，By，C,0212222A，B

第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程

2221、圆的标准方程:

（）（）xaybr,，,,

圆心为A（a,b）,半径为r的圆的方程

2222、点与圆的关系的判断方法:

Mxy（,）（）（）xaybr,，,,00

222222

（1）>，点在圆外

（2）=，点在圆上（）（）xayb,，,（）（）xayb,，,rr0000

222（3）<，点在圆内（）（）xayb,，,r00

4.1.2圆的一般方程

221、圆的一般方程:

x，y，Dx，Ey，F,0

4.2.1圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系（

22ax，by，c,0r设直线:

，圆:

，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则Cdlx，y，Dx，Ey，F,0

（1）当时，直线与圆相离;

（2）当时，直线与圆相切;CClld,rd,r

（3）当时，直线与圆相交;Cld,r

高中数学必修3知识点

第二章统计2.1.1简单随机抽样

1（总体和样本

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在统计学中,把研究对象的全体叫做总体（

把每个研究对象叫做个体（

把总体中个体的总数叫做总体容量（

2.1.2系统抽样（等距抽样）

例:

2.1.3分层抽样

例:

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

xxx，，？

，12nx,1、本均值:

222xxxxxx（,），（,），？

，（,）212nss2、（样本标准差:

高中数学必修4知识点

第一章三角函数

正角:

按逆时针方向旋转形成的角,

1、任意角负角:

按顺时针方向旋转形成的角,

零角:

不作任何旋转形成的角,

,2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角（

,,,,kkk,,,,，,,36036090,第一象限角的集合为,,

,,,,kkk,，,,，,,36090360180,第二象限角的集合为,,

,,,,,kkk,，,,,，,,360180360270,第三象限角的集合为,,

,,,,,kkk,，,,,，,,360270360360,第四象限角的集合为,,

,,,,,,kk180,x终边在轴上的角的集合为,,

,,,,,，,,kk18090,终边在轴上的角的集合为y,,

,,,,,,kk90,终边在坐标轴上的角的集合为,,

,,,,,，,,kk360,,3、与角终边相同的角的集合为,,

l,,4、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是（l,,

Crl,，2lr,,,,为弧度制5若扇形的圆心角为，半径为r，弧长为，周长为，面积为，则，，CSl，，

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112（,,,Slrr22

228、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，xy,,,,rrxy,，,0，，，，

yyx则，，（sin,,cos,,tan0,,,x，，rrx

9、三角函数在各象限的符号:

第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正（

sin,2211、角三角函数的基本关系:

;,（1sincos1,,，,2tan,，，，，cos,

12、函数的诱导公式:

口诀:

函数名称不变，符号看象限（

，，（cos2cosk,,,，,1sin2sink,,,，,tan2tankk,,,，,,,，，，，，，，，，，

，，（coscos,,,，,,tantan,,,，,2sinsin,,,，,,，，，，，，，，

3sinsin,,,,,，coscos,,,,，tantan,,,,,（，，，，，，，，

4sinsin,,,,,，coscos,,,,,,，tantan,,,,,,（，，，，，，，，

,,,,,,,,,,,，（，（5sincoscossin6sincoscossin,,,,，,，,,,,,,,,,,，，，，,,,,,,,,2222,,,,,,,,

14、函数yx,,，,,,sin0,0,,,的性质:

，，，，

2,1,,,f,,,,x，?

振幅:

周期:

频率:

相位:

初相:

（,,,2,,

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

函yx,cosyx,tanyx,sin数y=cotx性质

y=cotx

图象

3-,x,,,o2,-222

,,,,,xxkk,xxkk,,，,,,，,,,,定义,,,,RR22,,,,域

1,1,1,1值域,,,,RR

当xkk,,,2,当时，，，既无最大值也无最小既无最大值也无最小,最值xk,，2,值值2

第-12-页共21页

时，;当k,,y,1，，max

xk,，2,,;当y,1max

时，（k,,y,,1，，min,xk,,2,2

时，k,,，，

（y,,1min

,周期2,2,

性

奇偶奇函数偶函数奇函数奇函数

性

在

,，，2,2kk,，,,,,22，，在在2,2kkk,,,,,,，，,,,,

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