华图宝典数量关系公式.docx
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华图宝典数量关系公式
总结一些华图宝典数量关系公式（解题加速100%）
一、基础代数公式
1.平方差公式：
（a＋b）×（a－b）＝a2－b2
2.完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab＋b2
完全立方公式：
（a±b）3=（a±b）（a2ab+b2）
3.同底数幂相乘:
am×an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）
同底数幂相除：
am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）
a0＝1（a≠0）
a-p＝（a≠0，p为正整数）
4.等差数列：
（1）sn＝＝na1+n（n-1）d；
（2）an＝a1＋（n－1）d；
（3）n＝＋1；
（4）若a,A,b成等差数列，则：
2A＝a+b；
（5）若m+n=k+i，则：
am+an=ak+ai；
（其中：
n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）
5.等比数列：
（1）an＝a1q－1；
（2）sn＝（q1）
（3）若a,G,b成等比数列，则：
G2＝ab；
（4）若m+n=k+i，则：
am•an=ak•ai；
（5）am-an=（m-n）d
（6）＝q（m-n）
（其中：
n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）
6.一元二次方程求根公式：
ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）
其中：
x1=；x2=（b2-4ac0）
根与系数的关系：
x1+x2=-，x1•x2=
二、基础几何公式
1.三角形：
不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两
边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；
（1）角平分线：
三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
（2）三角形的中线：
连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
（3）三角形的高：
三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。
（4）三角形的中位线：
连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
（5）内心：
角平分线的交点叫做内心；内心到三角形三边的距离相等。
重心：
中线的交点叫做重心；重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。
垂线：
高线的交点叫做垂线；三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。
外心：
三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
外心到三角形的三个顶点的距离相等。
直角三角形：
有一个角为90度的三角形，就是直角三角形。
直角三角形的性质：
（1）直角三角形两个锐角互余；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（3）直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（4）直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°；
（5）直角三角形中，c2＝a2＋b2（其中：
a、b为两直角边长，c为斜边长）；
（6）直角三角形的外接圆半径，同时也是斜边上的中线；
直角三角形的判定：
（1）有一个角为90°；
（2）边上的中线等于这条边长的一半；
（3）若c2＝a2＋b2，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形；
2.面积公式：
正方形＝边长×边长；
长方形＝长×宽；
三角形＝×底×高；
梯形＝；
圆形＝R2
平行四边形＝底×高
扇形＝R2
正方体＝6×边长×边长
长方体＝2×（长×宽＋宽×高＋长×高）；
圆柱体＝2πr2＋2πrh；
球的表面积＝4R2
3.体积公式
正方体＝边长×边长×边长；
长方体＝长×宽×高；
圆柱体＝底面积×高＝Sh＝πr2h
圆锥＝πr2h
球＝
4.与圆有关的公式
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：
（1）d﹤r：
点在圆内（即圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合）；
（2）d＝r：
点在圆上（即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合）；
（3）d﹥r：
点在圆外（即圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合）；
线与圆的位置关系的性质和判定：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么：
（1）直线与⊙O相交：
d﹤r；
（2）直线与⊙O相切：
d＝r；
（3）直线与⊙O相离：
d﹥r；
圆与圆的位置关系的性质和判定：
设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么：
（1）两圆外离：
；
（2）两圆外切：
；
（3）两圆相交：
（）；
（4）两圆内切：
（）；
（5）两圆内含：
（）．
圆周长公式：
C＝2πR＝πd（其中R为圆半径，d为圆直径，π≈3.1415926≈）；
的圆心角所对的弧长的计算公式：
＝；
扇形的面积：
（1）S扇＝πR2；
（2）S扇＝R；
若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：
S侧＝πr；
圆锥的体积：
V＝Sh＝πr2h。
三、其他常用知识
1．2X、3X、7X、8X的尾数都是以4为周期进行变化的；4X、9X的尾数都是以2为周期进行变化的；
另外5X和6X的尾数恒为5和6，其中x属于自然数。
2．对任意两数a、b，如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＜0，则a＜b；如果a－b＝0，则a＝b。
当a、b为任意两正数时，如果a/b＞1，则a＞b；如果a/b＜1，则a＜b；如果a/b＝1，则a＝b。
当a、b为任意两负数时，如果a/b＞1，则a＜b；如果a/b＜1，则a＞b；如果a/b＝1，则a＝b。
对任意两数a、b，当很难直接用作差法或者作商法比较大小时，我们通常选取中间值C，如果
a＞C，且C＞b，则我们说a＞b。
3．工程问题：
工作量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作量÷工作时间；
工作时间＝工作量÷工作效率；总工作量＝各分工作量之和；
注：
在解决实际问题时，常设总工作量为1。
4．方阵问题：
（1）实心方阵：
方阵总人数＝（最外层每边人数）2
最外层人数＝（最外层每边人数－1）×4
（2）空心方阵：
中空方阵的人数＝（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2
＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。
例：
有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解：
（10－3）×3×4＝84（人）
5．利润问题：
（1）利润＝销售价（卖出价）－成本；
利润率＝＝＝－1；
销售价＝成本×（1＋利润率）；成本＝。
（2）单利问题
利息＝本金×利率×时期；
本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×时期）；
本金＝本利和÷（1+利率×时期）。
年利率÷12=月利率；
月利率×12=年利率。
例：
某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？
”
解：
用月利率求。
3年=12月×3=36个月
2400×（1+10．2％×36）=2400×1．3672=3281．28（元）
6．排列数公式：
P＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）
组合数公式：
C＝P÷P＝（规定＝1）。
“装错信封”问题：
D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6＝265，
7.年龄问题：
关键是年龄差不变；
几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄
几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差
8.日期问题：
闰年是366天，平年是365天，其中：
1、3、5、7、8、10、12月都是31天，4、6、9、11是30天，闰年时候2月份29天，平年2月份是28天。
9.植树问题
（1）线形植树：
棵数＝总长间隔＋1
（2）环形植树：
棵数＝总长间隔
（3）楼间植树：
棵数＝总长间隔－1
（4）剪绳问题：
对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2N×M＋1）段
10.鸡兔同笼问题：
鸡数＝（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）
（一般将“每”量视为“脚数”）
得失问题（鸡兔同笼问题的推广）：
不合格品数＝（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）
＝总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）
例：
“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。
每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。
某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？
”
解：
（4×1000-3525）÷（4+15）=475÷19=25（个）
11．盈亏问题：
（1）一次盈，一次亏：
（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数
（2）两次都有盈：
（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数
（3）两次都是亏：
（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数
（4）一次亏，一次刚好：
亏÷（两次每人分配数的差）=人数
（5）一次盈，一次刚好：
盈÷（两次每人分配数的差）=人数
例：
“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。
问：
有多少个小朋友和多少个桃子？
”
解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数
10×8-9=80-9=71（个）………………桃子
12.行程问题：
（1）平均速度：
平均速度＝
（2）相遇追及：
相遇（背离）：
路程÷速度和＝时间
追及：
路程÷速度差＝时间
（3）流水行船：
顺水速度＝船速＋水速；
逆水速度＝船速－水速。
两船相向航行时，甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
两船同向航行时，后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。
（4）火车过桥：
列车完全在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度
列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度
（5）多次相遇：
相向而行，第一次相遇距离甲地a千米，第二次相遇距离乙地b千米，则甲乙两地相距
S＝3a-b（千米）
（6）钟表问题：
钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的，分针每小时可追及
时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180o22次。
1.两次相遇公式：
单岸型S=（3S1+S2）/2两岸型S=3S1-S2
例题：
两艘渡轮在同一时刻垂直驶离H河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸720米处相遇。
到达预定地点后，每艘船都要停留10分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。
这两艘船在距离乙岸400米处又重新相遇。
问：
该河的宽度是多少？
A.1120米B.1280米C.1520米D.1760米
典型两次相遇问题，这题属于两岸型（距离较近的甲岸720米处相遇、距离乙岸400米处又重新相遇）代入公式3*720-400=1760选D
如果第一次相遇距离甲岸X米，第二次相遇距离甲岸Y米，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取决于参照的是一边岸还是两边岸
2.漂流瓶公式：
T=（2t逆*t顺）/（t逆-t顺）
例题：
AB两城由一条河流相连，轮船匀速前进，A――B，从A城到B城需行3天时间，而从B城到A城需行4天，从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需多少天？
A、3天B、21天C、24天D、木筏无法自己漂到B城
解：
公式代入直接求得24
3.沿途数车问题公式：
发车时间间隔T=（2t1*t2）/（t1+t2）车速/人速=（t1+t2）/（t2-t1）
例题：
小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，没隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍？
A.3B.4C.5D.6
解：
车速/人速=（10+6）/（10-6）=4选B
4.往返运动问题公式：
V均=（2v1*v2）/（v1+v2）
例题：
一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米，返回时速度为每小时20千米，则它的平均速度为多少千米/小时？
（）
A.24B.24.5C.25D.25.5
解：
代入公式得2*30*20/（30+20）=24选A
5.电梯问题：
能看到级数=（人速+电梯速度）*顺行运动所需时间（顺）
能看到级数=（人速-电梯速度）*逆行运动所需时间（逆）
6.什锦糖问题公式：
均价A=n/｛（1/a1）+（1/a2）+（1/a3）+（1/an）｝
例题：
商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，已知甲、乙、丙三种糖
每千克费用分别为4.4元，6元，6.6元，如果把这三种糖混在一起成为什锦
糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？
A．4.8元B．5元C．5.3元D．5.5元
7.十字交叉法：
A/B=（r-b）/（a-r）
例：
某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，则此班女生的平均分是：
析：
男生平均分X，女生1.2X
1.2X75-X1
75=
X1.2X-751.8
得X=70女生为84
8.N人传接球M次公式：
次数=（N-1）的M次方/N最接近的整数为末次传他人次数，第
二接近的整数为末次传给自己的次数
例题：
四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。
开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（）。
A.60种B.65种C.70种D.75种
公式解题：
（4-1）的5次方/4=60.75最接近的是61为最后传到别人次数，第二接近的是60为最后传给自己的次数
9.一根绳连续对折N次，从中剪M刀，则被剪成（2的N次方*M+1）段
10.方阵问题：
方阵人数=（最外层人数/4+1）的2次方N排N列最外层有4N-4人
例：
某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？
析：
最外层每边的人数是96/4+1＝25，则共有学生25*25=625
11.过河问题：
M个人过河，船能载N个人。
需要A个人划船，共需过河（M-A）/（N-A）次
例题（广东05）有37名红军战士渡河，现在只有一条小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？
（）
A.7B.8C.9D.10
解：
（37-1）/（5-1）=9
12.星期日期问题：
闰年（被4整除）的2月有29日，平年（不能被4整除）的2月有28
日，记口诀：
一年就是1，润日再加1；一月就是2，多少再补算
例：
2002年9月1号是星期日2008年9月1号是星期几？
因为从2002到2008一共有6年，其中有4个平年，2个闰年，求星期，则：
4X1+2X2=8，此即在星期日的基础上加8，即加1，第二天。
例：
2004年2月28日是星期六,那么2008年2月28日是星期几？
4+1＝5，即是过5天，为星期四。
（08年2月29日没到）
13.复利计算公式：
本息=本金*｛（1+利率）的N次方｝，N为相差年数
例题：
某人将10万远存入银行，银行利息2%/年，2年后他从银行取钱，需缴纳利息税，税率为20%,则税后他能实际提取出的本金合计约为多少万元？
（）
A.10.32B.10.44C.10.50D10.61
两年利息为（1+2%）的平方*10-10=0.404税后的利息为0.404*（1-20%）约等于0.323，则提取出的本金合计约为10.32万元
14.牛吃草问题：
草场原有草量=（牛数-每天长草量）*天数
例题：
有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？
A、16B、20C、24D、28
解：
（10-X）*8=（8-X）*12求得X=4（10-4）*8=（6-4）*Y求得答案Y=24公式熟练以后可以不设方程直接求出来
15.植树问题：
线型棵数=总长/间隔+1环型棵数=总长/间隔楼间棵数=总长/间隔-1
例题：
一块三角地带，在每个边上植树，三个边分别长156M186M234M，树与树之间距离为6M，三个角上必须栽一棵树，共需多少树？
A93B95C96D99
16：
比赛场次问题：
淘汰赛仅需决冠亚军比赛场次=N-1淘汰赛需决前四名场次=N
单循环赛场次为组合N人中取2双循环赛场次为排列N人中排2
比赛赛制
比赛场次
循环赛
单循环赛
参赛选手数×（参赛选手数－1）/2
双循环赛
参赛选手数×（参赛选手数－1）
淘汰赛
只决出冠（亚）军
参赛选手数－1
要求决出前三（四）名
参赛选手数
1.100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？
（）
A.95B.97C.98D.99
【解析】答案为C。
在此完全不必考虑男女运动员各自的人数，只需考虑把除男女冠军以外的人淘汰掉就可以了，因此比赛场次是100－2＝98（场）。
2.某机关打算在系统内举办篮球比赛，采用单循环赛制，根据时间安排，只能进行21场比赛，请问最多能有几个代表队参赛？
（）
A.6B.7C.12D.14
【解析】答案为B。
根据公式，采用单循环赛的比赛场次＝参赛选手数×（参赛选手数－1）/2，因此在21场比赛的限制下，参赛代表队最多只能是7队。
3.某次比赛共有32名选手参加，先被平均分成8组，以单循环的方式进行小组赛；每组前2名队员再进行淘汰赛，直到决出冠军。
请问，共需安排几场比赛？
（）A.48B.63C.64D.65
【解析】答案为B。
根据公式，第一阶段中，32人被平均分成8组，每组4个人，则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是：
4×（4－1）÷2＝6（场），8组共48场；第二阶段中，有2×8＝16人进行淘汰赛，决出冠军，则需要比赛的场次就是：
参赛选手的人数－1，即15场。
最后，总的比赛场次是48＋15＝63（场）。
4.某学校承办系统篮球比赛，有12个队报名参加，比赛采用混合制，即第一阶段采用分2组进行单循环比赛，每组前3名进入第二阶段；第二阶段采用淘汰赛，决出前三名。
如果一天只能进行2场比赛，每6场需要休息一天，请问全部比赛共需几天才能完成？
（）
A.23B.24C.41D.42
【解析】答案为A。
根据公式，第一阶段12个队分成2组，每组6个人，则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是：
6×（6－1）÷2＝15（场），2组共30场；第二阶段中，有2×3＝6人进行淘汰赛，决出前三名，则需要比赛的场次就是：
参赛选手的人数，即6场，最后，总的比赛场次是30＋6＝36（场）。
又，“一天只能进行2场比赛”，则36场需要18天；“每6场需要休息一天”，则36场需要休息36÷6－1＝5（天），所以全部比赛完成共需18＋5＝23（天）。
利润率＝利润/成本
增长率＝增长额/第一年
S1995~S2002年均增长率：
即年均增长幅度除以第一年{（S2002－S1995）/7}/S1995
利率总额＝年数×年利率
平均效率＝总量/总时间
在抽水问题中：
『动机效率（台数×虚拟单位效率1）－渗水率』×时间是一个恒定量。
牛吃草问题中：
『吃草效率（头数×虚拟单位效率1）－草生长率』×时间是一个恒定量。
球体积＝4PIr的立方/3球表面积＝4PIr的平方
锥体体积＝1/3sh
等差：
An＝A1＋（n－1）dSn=n（A1+An）/2
等比：
An=A1•q的n-1次方Sn=A1•（1-q的n次方）/1-q
立方和公式：
a^3＋b^3=（a+b）（a^2-ab+b^2）
立方差公式：
a^3－b^3=（a－b）（a^2+ab+b^2）
求24、60最小公倍数：
两数最小公倍数为2×2×3×2×5
末数求值：
2343×343的最后两位即：
43×43＝49
1海里＝1.852千米
用求包裹立方体的纸的大小，要求1.纸的面积大于立方体表面积2.要求纸的长宽要大于立方体的展开的边幅。
过多少天是星期几，关键看多少天能否被7整除，余几天。
9^1992除以7的余数与2^1992除以7的余数相等。
遇到图形面积题，没必要死算，积极考虑补缺移填合成规则图形。
六所学校派代表开会，选所有路程最短的学校，应重点考虑派代表最多的学校。
甲除以13余9甲＝13m＋9（m为正整数）
Ab与ba的差是s的4倍，则有4s＝a×10＋b－（b×10＋a）『经常用于祖孙三代年龄问题』
多位数相加时：
abcd×dcba应用观察法，首数乘乘ad，尾数乘乘da。
3条纸带首尾相接，有2个1厘米的重合点，则比不重合相接牺牲了2厘米。
子分财产问题。
长子拿一份和剩下1/10。
次子拿两份和剩下1/10……，结果所有儿子拿的一样多。
则考虑最后两个儿子。
最后的n＝倒数第二n-1+n/9
很多时候，8个以内的穷举法是最笨却最实际的办法。
P除以10余9，除以9余8，除以8余7，100
至1000以内的数9×8×10＝720，则P＝359、719
关于中国剩余定理的应用：
一个数除以5余3，除以3余2，除以4余1。
求该数最小值。
则（5，3，4）＝60。
有[53][34][54],使15或其倍数除以4余1，则该数为45，使12或其倍数除以5余1，则该数为36。
使20或其倍数除以3余1，则该数为40。
所以45×1＋36×3＋40×2－60×3＝53
关于闰年的判定，闰年为366天，一般来说，用年份除以4，能整除就是闰年。
但是，整百年份要除以400。
比如1900年不是闰年，1600年是闰年。
300张牌，总是拿掉奇数牌。
最后剩下的是2的n次方<300，n的最大值。
总是拿掉偶数牌，最后剩下的是第一张牌。
N个人彼此握手，则总握手数
s＝（n－1）{a1＋a（n－1）}/2=（n－1）{1＋1+（n-2）}/2=『n^2－n』/2
三个圆圈相交：
S1＋S2+S3＝S（总数）＋2×j（三块共有）＋j1（两块共有）＋j2（两块共有）＋j3（两块共有）（记住公式必须与画图结合起来！
此公式在学生参加兴趣爱好等问题上慎用！
！
因为两个兴趣组都参加的真正人数应该是题目中给你的参加两个兴趣班人数再减去三个兴趣班都参加的人数）
英语数学语文三个小组，每人至少参加一组，总共35人，英17人，数30人，语13人，5人全参加，问只参加一组多少人？
设x个学生加了一组.
x+2*（35-5-x）+3*5=17+30+13x=15
对于四人篮球，五次传球后回转本人的问题，应用组合逐个计算，分类讨论再相加。
其中原始点是讨论的分歧点。
几个圆相交最多把平面分割成N^2－N+2
n条线最多能画成多少个不重叠的三角形F（n）＝F（n－1）＋F（n－2）如f（11）＝19
边长为N的立方体由边长为1的小立方体组成，一共有N^3个小立方体，露在外面的小立方体共有N^3－（N－2）^3
边长为ABC的长方体由边长为1的小立方体组成，一共有abc个小立方体，露在外面的小立方体共有abc－（a－2）（b－
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