高中数学解三角形解答题专项练习(含答案).doc

高中数学解三角形解答题专项练习(含答案).doc

《高中数学解三角形解答题专项练习(含答案).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学解三角形解答题专项练习(含答案).doc（49页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学解三角形解答题专项练习

1．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若a=,b+c=4，求△ABC的面积．

2．在中，角所对的边分别为，且

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若为锐角三角形，且，且，求的面积．

3．在中，角所对的边分别为，已知向量，且。

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

4．在中，角所对的边分别为．

（Ⅰ）若，求角的大小；

（Ⅱ）若，试判断的形状．

5．已知函数．

（1）求函数的最小正周期和单调减区间；

（2）已知的三个内角，，的对边分别为，，，其中，若锐角满足，且，求的面积．

6．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．

（1）求角A的大小；

（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．

7．已知向量，，函数．

（1）若，求的值；

（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求的取值范围．

8．设的内角的对边分别为,

（Ⅰ）求;

（Ⅱ）若，求C．

9．已知向量，，函数．

（1）若，求的值；

（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求的取值范围．

10．已知函数，．

（1）求的单调增区间；

（2）已知△内角、、的对边分别为、、，且，，若向量与共线，求、的值．

11．已知向量，，向量．

（1）若，求的值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

12．△中，角的对边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）若,求△的面积．

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知函数满足：

对于任意恒成立．

（1）求角A的大小；

（2）若，求BC边上的中线AM长的取值范围

14．在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的最大值．

15．已知向量与共线，设函数．

（1）求函数的周期及最大值；

（2）已知△ABC中的三个内角A、B、C所对的边分别为，若锐角满足，且，，求△ABC的面积．

16．在中，角的对边分别为，已知．

（1）求的值；

（2）若，的面积为，求边长．

17．在中，内角、、所对的边分别为，其外接圆半径为6，，

（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面积的最大值．

18．已知是函数图象的一条对称轴．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）化简的解析式，并作出函数在上的图象简图（不要求写作图过程）．

19．已知函数．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅲ）当时，求函数f（x）的最小值，并求出使y=f（x）取得最小值时相应的x值．

20．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R．

（1）求的值；

（2）求函数f（x）的单调递增区间；

（3）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．

21．中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求的值．

22．中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若为边上的中线，，，求的面积．

23．如图，平面四边形中，，，，，，求

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

24．如图，平面四边形中，，，，，，求

（Ⅰ）；

（Ⅱ）的面积．

25．在△中，已知a、b、c分别是三内角、、所对应的边长，且

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，试判断△ABC的形状并求角的大小．

26．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．

（1）求角B的大小；

（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c

27．已知角的终边与单位圆交于点．

（1）写出、、值；

（2）求的值．

28．设函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）若，且，求的值．

29．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．

30．在中，分别是角A、B、C的对边，且

（1）求角B的大小；

（2）若，求的面积．

31．如图，在塔底B测得山顶C的仰角为600，在山顶C测得塔顶A的俯角为450，已知塔高为AB=20m，求山高CD．

32．已知DABC的周长为，且sinA＋sinB＝sinC，

（1）求边AB的长；

（2）若DABC的面积为,求角C的度数．

33．在DABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1．

（1）求证：

a，b，c成等差数列；

（2）若，求的值．

34．在中，，，分别是角，，的对边，且．

（1）求的面积；

（2）若，求角．

35．已知函数f（x）＝2sinxcosx－cos2x．

（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）当x∈时，求函数f（x）的最大值和最小值．

36．在中，角所对的边分别为，已知，且.

（1）求的值；

（2）若的面积，求的值.

37．在锐角中，三内角，，的对边分别为，若．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

38．已知函数．

（Ⅰ）求函数的最大值，并写出取得最大值时相应的的取值集合；

（Ⅱ）若，求的值．

39．在中，角、、对应的边分别是、、，，且．

（Ⅰ）证明：

；

（Ⅱ）若的面积是1，求边．

40．已知，，函数．

（1）求函数的值域；

（2）在△中，角和边满足，求边．[来

41．已知在中，角的对边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积．

42．已知,,且函数

（1）求方程在内有两个零点，并求的值；

（2）若把函数的图像向左平移个单位,再向上平移2个单位,得函数图像,求函数的单调增区间．

43．已知函数．

（Ⅰ）求函数的最大值及取得最大值时的值；

（Ⅱ）在中，角的对边分别为，若，，，求的面积．

44．已知函数．

（Ⅰ）若x是某三角形的一个内角，且的值，并，求角x的大小；

（Ⅱ）当时，求的最小值及取得最小值时x的集合．

45．在中，的对边分别是．

（1）若的面积为，求的值；

（2）求的值．

46．，记．且的最小正周期为．

（1）求的最大值及取得最大值时的集合；

（2）求在区间上的取值范围．

47．已知．

（1）当时，求；

（2）若，求当为何值时，的最小值为．

48．已知点、、的坐标分别为、．

（1）若，求角的值；

（2）若，求的值．

49．在中，角对应的边分别是，已知．

（1）求角的大小；

（2）若的面积，求的值．

50．已知、、分别是的三个内角、、所对的边

（1）若面积求、的值；

（2）若，且，试判断的形状．

51．在△ABC中，内角A、B、C对边长分别是a，b，c，已知c=2，C=

（Ⅰ）若△ABC的面积等于；

（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

52．已知向量，，，设．

（Ⅰ）求函数的解析式及单调增区间；

（Ⅱ）在中，，，分别为内角，，的对边，且，，，求的面积．

53．△中，角的对边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求△的面积．

54．在中，角所对的边分别为，且满足．

（1）求角；

（2）若，且，求边的值．

55．已知中，角所对的边分别，且．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求面积的最大值．

56．已知在中：

（1）若三边，，依次成等差数列，，求三个内角中最大角的度数；

（2）若，求．

57．已知函数．

（1）求的定义域及最小正周期；

（2）求的单调递减区间．

58．在中，内角A，B，C的对边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求的值．

59．在中，角所对的边分别为，且满足．

（1）求角；

（2）若，且，求边．

60．已知函数，．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）若，求函数的单调增区间．

参考答案

1．

（1）

（2）

【解析】

试题分析：

（1）将已知条件变形，借助于余弦定理可求得A的大小；

（2）由与解方程组可求得的值，进而利用三角形面积公式求解

试题解析：

（1）依题意：

（2）由余弦定理得：

即：

（另解：

算出，或，，没有分情况说明扣1分。

）

考点：

余弦定理解三角形

2．（Ⅰ）或（Ⅱ）

【解析】

试题分析：

（1）由正弦定理化简已知等式可得2sinCsinA=sinA，又sinA≠0，解得，结合范围C∈（0，π），即可求C的值；

（2）由余弦定理可得：

，解得，根据三角形面积公式即可得解

试题解析：

（Ⅰ）∵，由正弦定理得

，

∵，

∴．

∵，

∴或．

（Ⅱ）∵为锐角三角形，

∴．

由，

即

，

∴．

∴．

考点：

正余弦定理解三角形

3．（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）由，得，化简可得，结合范围0＜C＜π，即可求C的值；（Ⅱ）由正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB．从而可得，由，可得，利用余弦函数的图象和性质即可解得b-a的范围

试题解析：

（Ⅰ）由，得

，

，

∴，即，

∵，∴．

（Ⅱ）∵，且，

∴，

∴．

∴

，

∵，

∴，

∴，

∴．

考点：

1．余弦定理，正弦定理；2．平面向量共线（平行）的坐标表示

4．（Ⅰ）（Ⅱ）等腰三角形或直角三角形

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）将变形为，进而借助于余弦定理可求得，得到角A的大小；（Ⅱ）利用正弦定理将其变形为，进而利用三角函数公式可得到或，得到三角形形状

试题解析：

（Ⅰ）由已知得，

又∠A是△ABC的内角，∴A＝．

（Ⅱ）在△ABC中，由，得，

∴．

∴或．

∴或

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

考点：

正余弦定理解三角形

5．

（1）最小正周期：

，单调递减区间：

；

（2）．

【解析】

试题分析：

（1）对的表达式进行三角恒等变形，再利用三角函数的性质即可求解；

（2）首先求得的值，再结合正余弦定理列出相应的式子，即可求解．

试题解析：

（1），

因此的最小正周期为，的单调递减区间为，

即；

（2）由，

又∵为锐角，∴，由正弦定理可得，，

则，由余弦定理可知，，

可求得．

考点：

1．三角恒等变形；2．正余弦定理解三角形．

6．

（1）；

（2）

【解析】

试题分析：

（1）将已知条件利用正弦定理转化为三内角表示，从而求得A角的大小；

（2）由A角a边利用余弦定理可得到关于b,c的关系式，与b+c=8解方程组可得到b,c值，进而求得三角形面积

试题解析：

（1）∵△ABC中，，

∴根据正弦定理，得，

∵锐角△ABC中，sinB＞0，

∴等式两边约去sinB，得sinA=

∵A是锐角△ABC的内角，∴A=；

（2）∵a=4，A=，

∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得16=b2+c2﹣2bccos，

化简得b2+c2﹣bc=16，

∵b+c=8，平方得b2+c2+2bc=64，

∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16．

因此，△ABC的面积S=bcsinA=×16×sin=4．

考点：

正余弦定理解三角形

7．

（1）；

（2）．

【解析】

试题分析：

根据数量积公式可得的解析式，再用二倍角公式，化一公式将其化简可得．

（1）根据可得，将用二倍角公式和诱导公式将其变形用表示，即可求得的值．

（2）根据由余弦定理可得，再由余弦定理可得，即可得角．根据均为锐角可得的范围，从而可得的范围．

试题解析：

解：

若，可得．

则．

由可得，即，

，得，．

又均为锐角

的取值范围是：

．

考点：

1三角函数的化简，求值；2余弦定理．

8．（Ⅰ）（Ⅱ）或．

【解析】

试题分析：

（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A-C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A-C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A-C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数

试题解析：

（1）因为，所以，由余弦定理得

，因此．

（2）由

（1）知，所以

．

故或，因此或．

考点：

1．余弦定理；2．两角和与差的正弦函数

9．

（1）；

（2）．

【解析】

试题分析：

根据数量积公式可得的解析式，再用二倍角公式，化一公式将其化简可得．

（1）根据可得，将用二倍角公式和诱导公式将其变形用表示，即可求得的值．

（2）根据由余弦定理可得，再由余弦定理可得，即可得角．根据均为锐角可得的范围，从而可得的范围．

试题解析：

解：

若，可得．

则．

由可得，即，

，得，．

又均为锐角

的取值范围是：

．

考点：

1三角函数的化简，求值；2余弦定理．

10．

（1）的递增区间为，；

（2），或，．

【解析】

试题分析：

（1）化简三角函数关系式，由正弦曲线的单调递增区间，，解出的取值范围，从而求得单调递增区间；

（2）由求得或，借助与共线的等价条件，结合正弦定理，解得，最后利用余弦定理解出、的值．

试题解析：

（1）

，

令，，此时函数单调递增，解得，即函数的递增区间为，．

（2）由

（1），

∴或，解得或．

∵与共线，

∴，

∴由正弦定理可得，即,①

当时，

∵，∴由余弦定理可得，②

联立①②解方程组可得

当时，

∵，∴由勾股定理可得，③

联立①③可得，，

综上，，或，．

考点：

1、三角函数恒等变换（化简函数关系式）；2、共线向量的等价条件；3、正弦定理、余弦定理．

11．

（1）；

（2）．

【解析】

试题分析：

（1）由，可得，据解得；

（2），则，又，所以的最大值为，要使恒成立，则当大于即可，由此．

试题解析：

（1）∵，∴，得，又，∴；

（2）∵，

∴，

又∵，∴，∴，

∴的最大值为16，∴的最大值为4，又恒成立，∴．

考点：

1、平面向量坐标运算；2、三角函数求最值．

12．

（1）；

（2）．

【解析】

试题分析：

（1）求角，根据已知条件，利用余弦定理太复杂，所以选择使用正弦定理最好，再利用两角和正弦公式化简得到的值，再由角的取值范围确定其值；

（2）在

（1）中，利用余弦定理和已知条件可以求出的值，进而再根据三角形的面积公式．

试题解析：

（1）

，

，所以，

∵，

；

（2）

即，，

所以

考点：

1、正弦定理和余弦定理；2、三角形的面积公式；3、两角和的正弦公式．

【方法点晴】本题是典型的三角函数和解三角形综合试题，对于这类型的试题请记住四字原则：

边角互换．三角形的边化成角就要用正弦定理或余弦定理，本题显然使用正弦定理比较简单；但是在求取角的大小的过程中还要用到三角函数部分的两角和（差）公式以及特殊角的三角函数值，这些都要熟练掌握．第二问中余弦定理和三角形的面积公式的搭配使用时最常用的方法．

13．

（1）；

（2）．

【解析】

试题分析：

（1）因为对于任意恒成立，所以的最大值为，求得的最大值点即得角的值；

（2）在和中分别利用余弦定理表示出，结合得到，所以求中线长的取值范围就是求的取值范围，再利用余弦定理和重要不等式即可得解．

试题解析：

（1）由题意，∵对于任意恒成立，∴的最大值为，

当取得最大值时，，即，

∴，又∵A是三角形的内角，即，∴．

（2）∵AM是BC边上的中线，

∴在△ABM中，，①

在△ACM中，，②

又∵，∴，

①＋②得．由余弦定理，

∵，∴，

∴，即

考点：

正弦型函数的图象与性质及利用余弦定理解三角形．

14．（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）利用余弦定理表示出，将已知等式变形后代入求出的值，确定处的度数，代入计算即可求出值；（Ⅱ）把的值代入已知等式变形，利用基本不等式求出的最大值，再由的值，即可求出三角形的最大值.

试题解析：

（Ⅰ）∵，，

∴，∵C为△ABC内角，∴，

则；

（Ⅱ）由，得，

∵，

∴，当且仅当时“”成立，则S△ABC的最大值是．

考点：

正弦定理与余弦定理的应用.

15．

（1），；

（2）．

【解析】

试题分析：

（1）由与共线得：

，所以，周期，当时，．

（2）由,故，因为锐角三角形，所以，由正弦定理得，所以，再由余弦定理得求得，从而．

试题解析：

（1）∵与共线，

∴

则，

∴的周期,

当时，

（2）∵，∴，

∴

∵，∴．

由正弦定理，得得，

，即，

∴由余弦定理

得，

即，∴

考点：

1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函数的性质；4、三角形面积公式．

16．

（1）的值为；

（2）边长的值为或．

【解析】

试题分析：

（1）由两角差的余弦公式可得，

即，所以；

（2）由同角三角函数的基本关系得，

结合三角形面积公式，得；由余弦定理，得，联立即可求出边长．

试题解析：

（1）由，

得，

即，

．

（2）∵，，∴，

由，得，即．

由余弦定理，得，

∴，

∴．

由，得或．

考点：

1、三角恒等变换；2余弦定理、；3、正弦定理的应用．

17．（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）利用正弦定理及条件，可得，再利用平方关系，从而可求得；（Ⅱ）利用正弦定理及条件，可得，利用面积公式表示面积，借助于基本不等式可求的面积的最大值．

试题解析：

（Ⅰ）解：

，

，

（Ⅱ），即．

又．

．

而时，．

考点：

1．正弦定理；2．基本不等式．

18．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）由题意可得，即由此求得a的值．（Ⅱ）由可得，由五点作图法即可做出图像．

试题解析：

解：

（Ⅰ）方法1：

，

∵是函数图象一条对称轴，∴，

即，∴；

方法2：

∵，∴最值是，

∵是函数图象的一条对称轴，∴，

∴，

整理得，∴；

（Ⅱ）

在上的图象简图如下图所示．

考点：

1．三角恒等变换；2．五点法作图．

19．（Ⅰ）．（Ⅱ）函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．（Ⅲ）函数f（x）的最小值是，．

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）由条件利用正弦函数的周期性求得函数f（x）的最小正周期．

（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．

（Ⅲ）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最小值，以及此时相应的x值．

解：

（Ⅰ）对于函数，它的最小正周期为．

（Ⅱ）令，

求得，即．

所以函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．

（Ⅲ）∵，∴，即．

所以函数f（x）的最小值是，此时，．

考点：

正弦函数的图象．

20．

（1）2．

（2）函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．（3）时，函数f（x）取得最大值，时，函数f（x）取得最小值0．

【解析】

试题分析：

（1）由函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R，=﹣=﹣，=﹣=﹣．代入计算即可得出．

（2）利用倍角公式、和差公式即可化为：

f（x）=．

（3）当时，可得，利用正弦函数的单调性最值即可得出．

解：

（1）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R，=﹣=﹣，=﹣=﹣．

∴===2．

（2）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=，

由≤≤2kπ+，（k∈Z），解得≤x≤kπ+，

∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

（3）当时，，∴当，即时，函数f（x）取得最大值，

当，即时，函数f（x）取得最小值0．

考点：

三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；三角函数的最值．

21．

（1）；

（2）．

【解析】

试题分析：

（1）将已知条件中的式子边角统一，再利用三角恒等变形可求得的一个三角函数值，从而求解；

（2）利用已知条件分别求得与的值即可求解．

试题解析：

（1），由正弦定理，得，

∵，∴，

，，

∵，∴，∴，∵，∴；

（2）在中，，，∴，，

．

考点：

1．正弦定理解三角形；2．三角恒等变形．

22．

（1）；

（2）．

【解析】

试题分析：

（1）将已知条件中的式子边角统一，再利用三角恒等变形可求得的一个三角函数值，从而求解；

（2）利用已知条件结合正余弦定理建立关于三角形边长的方程组，求出边长后即可求解．

试题解析：

（1），由正弦定理，得，

∵，∴，

∴

∵，∴以，∴，又∵，∴；

（2）在中，由余弦定理得，∴……①，

在中，由正弦定理得，由已知得

∴，∴……②，由①，②解得，

∴．

考点：

1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．

23．

（1）3；

（2）．

【解析】

试题分析：

（1）在中，由正弦定理求得的值；

（2）在中，由余弦定理求得．

试题解析：

（Ⅰ）在中，由正弦定理得：

故，

（Ⅱ）在中，由余弦定理得：

所以

考点：

1．正弦定理；2．余弦定理．

24．

（1）；

（2）．

【解析】

试题分析：

（1）在中，由正弦定理求得的值，再在中，由余弦定理求得；

（2）因为，，所以，则由三角形面积公式求得．

试题解析：

（Ⅰ）在中，由正弦定理得：

，

在中，由余弦定理得：

所以

（Ⅱ）因为，，所以

因为

所以

考点：

1．正弦定理；2．余弦定理；3．面积公式．

25．（Ⅰ）；（Ⅱ）直角三角形，

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）在三角形ABC中，利用余弦定理列出关系式，表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出角A的大小；（Ⅱ）已知等式利用正弦定理化简，再利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形，由A的度数即可求出B的度数

试题解析：

（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：

，

又∵

∵∴

（Ⅱ）∵，由正弦定理得即：

故△ABC是以角C为直角的直角三角形

又

考点：

余弦定理；正弦定理

26．

（1）；

（2）

【解析】

试题分析：

（1）由正弦定理可将bsinA=acosB转化为用A，B角表示，从而求得B角大小；

（2）由角B及a=2利用余弦定理可得到关于b，c的方程，由三角形面积可得到关于b，c的另一方程，解方程组可求b，c的值

试题解析：

（1）bsinA=acosB，由正弦定理可得，即得，．

（2）的面积，所以

而

解得

考点：

正余弦定理解三角形

27．

（1）；

（2）

【解析】

试题分析：

（1）根据已知角α的终边与单位圆交与点．结合三角函数的定义即可得到、、的值；

（2）依据三角函数的诱导公式化简即可：

，最后利用第

（1）小问的结论得出答案

试题解析：

（1），，；

（2）

．

考点：

三角函数定义及化简求