初三数学等腰三角形存在性专题.docx
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初三数学等腰三角形存在性专题
【2019·本溪】抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,顶点为C,
对称轴交x轴于点D,点P为抛物线对称轴CD上的一动点(点P不与C,D重合).过点
C作直线PB的垂线交PB于点E,交x轴于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△PCF的面积为5时,求点P的坐标;
(3)当△PCF为等腰三角形时,请直接写出点P的坐标.
【辽宁·葫芦岛】如图,直线y=﹣x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c
经过B,C两点,与x轴另一交点为A.点P以每秒
个单位长度的速度在线段BC上由点
B向点C运动(点P不与点B和点C重合),设运动时间为t秒,过点P作x轴垂线交x轴
于点E,交抛物线于点M.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,过点P作y轴垂线交y轴于点N,连接MN交BC于点Q,当
=
时,求t的值;
(3)如图②,连接AM交BC于点D,当△PDM是等腰三角形时,直接写出t的值.
【2019·白银】
如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接
AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?
【2019·菏泽】如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,﹣2),点A
的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点
E,抛物线的对称轴是直线x=﹣1.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在第二象限内,且PE=
OD,求△PBE的面积.
(3)在
(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使△BDM是以BD为腰的等腰三角形?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【2019·湖北鄂州】
如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,AB=4,交y轴于点C,对称轴是
直线x=1.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)连接BC,E是线段OC上一点,E关于直线x=1的对称点F正好落在BC上,求点F的坐标;
(3)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度向点B运动,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,交线段BC于点Q.设运动时间为t(t>0)秒.
①若△AOC与△BMN相似,请直接写出t的值;
②△BOQ能否为等腰三角形?
若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
【2019·湖北黄冈】
如图①,在平面直角坐标系xOy中,已知A(﹣2,2),B(﹣2,0),C(0,2),D(2,0)
四点,动点M以每秒
个单位长度的速度沿B→C→D运动(M不与点B、点D重合),设
运动时间为t(秒).
(1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式;
(2)点P在
(1)中的抛物线上,当M为BC的中点时,若△PAM≌△PBM,求点P的坐标;
(3)当M在CD上运动时,如图②.过点M作MF⊥x轴,垂足为F,ME⊥AB,垂足为E.设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值;
(4)点Q为x轴上一点,直线AQ与直线BC交于点H,与y轴交于点K.是否存在点Q,使得△HOK为等腰三角形?
若存在,直接写出符合条件的所有Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
【2019·湖北十堰】
已知抛物线y=a(x﹣2)2+c经过点A(2,0)和C(0,
),与x轴交于另一点B,顶点
为D.
(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;
(2)如图,点E,F分别在线段AB,BD上(E点不与A,B重合),且∠DEF=∠A,则△DEF能否为等腰三角形?
若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;
(3)若点P在抛物线上,且
=m,试确定满足条件的点P的个数.
【2019·湖北·随州】
如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,
6),与x轴交于点B(﹣2,0),C(6,0).
(1)直接写出抛物线的解析式及其对称轴;
(2)如图2,连接AB,AC,设点P(m,n)是抛物线上位于第一象限内的一动点,且在对称轴右侧,过点P作PD⊥AC于点E,交x轴于点D,过点P作PG∥AB交AC于点F,交x轴于点G.设线段DG的长为d,求d与m的函数关系式,并注明m的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,若△PDG的面积为
,
①求点P的坐标;
②设M为直线AP上一动点,连接OM交直线AC于点S,则点M在运动过程中,在抛物线上是否存在点R,使得△ARS为等腰直角三角形?
若存在,请直接写出点M及其对应的点R的坐标;若不存在,请说明理由.
【2019·四川·成都】
如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣2,5),与x轴相交于B(﹣1,0),C(3,0)两
点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D在抛物线的对称轴上,且位于x轴的上方,将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D,若点C'恰好落在抛物线的对称轴上,求点C'和点D的坐标;
(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点,点Q在抛物线的对称轴上,当△CPQ为等边三角形时,求直线BP的函数表达式.
【2019·西藏】
已知:
如图,抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A,B(﹣3,0),C(1,0),点P
是线段AB上方抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线解析式;
(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积最大?
(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?
若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.