相似三角形证明题.docx
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相似三角形证明题
1、如图,△ABC中,三条内角平分线交于D,过D作AD垂线,分别交AB、AC于M、N,请写出图中相似的三角形,并说明其中两对相似的正确性。
2、如图,AD为△ABC的高,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,试判断∠ADF与∠AEF的大小,并说明明理由,
3、如图,在△ABC中,点D、E分别在BC、AB上,且∠CAD=∠ADE=∠B,AC:
BC=1:
2,设△EBD、△ADC、△ABC的周长分别为m1、m2、m3,求的值,
4、如图,△ABC中,D为BC中点,AD=AC,DE⊥BC,DE与AB交于E,EC与AD相交于点F,〔1〕△ABC与△FCD相似吗?
请说明理由;〔2〕假设S=5,BD=10,求DE的长。
5、AD是△ABC的高,E是BC的中点,EF⊥BC交AC于F,假设BD=15,DC=27,AC=45.
求AF的长。
6、:
如图,在△PAB中,∠APB=120O,M、N是AB上两点,且△PMN是等边三角形。
求证:
BM·PA=PN·BP
7、:
如图,D是△ABC的边AC上一点,且CD=2AD,AE⊥BC于E,假设BC=13,△BDC的面积是
39,求AE的长。
8、:
如图,在△ABC中,AB=15,AC=12,AD是∠BAC的外角平分线且AD交BC的延长线于点D,DE∥AB交AC的延长线于点E。
9、:
如图,四边形ABCD中,CB⊥BA于B,DA⊥BA于A,BC=2AD,DE⊥CD交AB于E,连结CE,求证:
DE2=AE•CE
10、如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F.
(1)ΔABE与ΔADF相似吗?
请说明理由.
(2)假设AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长.
11、如图:
三角形ABC是一快锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,是正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
12、:
如图:
FGHI为矩形,AD⊥BC于D,
,BC=36cm,AD=12cm。
求:
矩形FGNI的周长。
13、:
如图,DE∥BC,AF∶FB=AG∶GE。
求证:
ΔAFG∽ΔAED。
14、己知:
如图,AB∥CD,AF=FB,CE=EB.求证:
GC2=GF·GD.
15、如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,EF⊥AE.求证:
AE2=AD×AF.
[提示:
延长AE、BC交于G,先证ΔADE≌ΔGCE,ΔGCE∽ΔAEF]
16、如图,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,求AD的长
17、如图,正方形ABCD中,E是AD的中点,DM⊥CE,AB=6,求DM的长。
18、己知:
如图,AD是ΔABC的角平分线,EF垂直平分AD交BC的延长线于F.
求证:
FD2=FB·FC.[提示:
连结AF]
19、:
如图,ΔABC中,∠ACB=900,F为AB的中点,EF⊥AB.求证:
ΔCDF∽ΔECF.
20、:
如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:
ΔAEF∽ΔACB.
21、:
如图,DE∥BC,AD2=AF·AB。
求证:
ΔAEF∽ΔACD。
22、:
如图,ΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,DE⊥BC,AC=6,DE=4,求CD和AB的长
23、:
如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.求证:
AB·BC=AC·CD.
24、:
如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.求证:
CE2=ED·EP.
25、:
如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:
ΔABC∽ΔEAD.
26、:
如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:
ΔDBE∽ΔABC.
27、如图,∠B=900,AB=BE=EF=FC=1。
求证:
ΔAEF∽ΔCEA.
28、如图,在梯形ABCD中,AB⊥BC,∠BAD=90°,对角线BD⊥DC。
〔1〕△ABD与△DCB相似吗?
请说明理由。
〔2〕如果AD=4,BC=9,求BD的长。
29、,如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点,△ADQ与△QCP是否相似?
为什么?
30、:
如下图,D是AC上一点,BE//AC,BE=AD,AE分别交BD、BC于点F、G,∠1=∠2。
那么BF是FG、EF的比例中项吗?
请说明理由
31、如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F,AC·AE=AF·AB吗?
说明理由。
32、如图,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,DE⊥DF,且DE和DF
分别交AB、
33、如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°.〔1〕求证:
△ACF∽BEC;〔2〕设△ABC的面积为S,求证:
AF·BE=2S.
34、如图,在
ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.〔1〕求证:
△ABF∽△EAD;〔2〕假设AB=4,∠BAE=30°,求AE的长;〔3〕在〔1〕〔2〕的条件下,假设AD=3,求BF的长.
35、将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G,〔1〕如果M为CD的中点,求证:
DE∶DM∶EM=3∶4∶5.〔2〕如果M为CD上任一点,设AB=2a,问△CMG的周长是否与点M的位置有关?
假设有关,请把△CMG的周长用含DM的长x〔即DM=x〕的代数式表示;假设无关,请说明理由.
36、某生活小区的居民筹集资金1600元,方案在一块上、下底分别为10米,20米的梯形空地上种植花木如图①,〔1〕他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,单价为8元/㎡,当△AMD地带种满花后〔图中阴影局部〕共花了160元,请计算种满△BMC地带所需费用.〔2〕假设其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择,单价分别为12元/㎡和10元/㎡,应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金.〔3〕假设梯形ABCD为等腰梯形,面积不变〔如图②〕请你设计一种花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得△APB≌△DPC,且S△APD=S△BPC,并说明你的理由.
37、如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在BC、CD上,假设△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似,求CM的长.
38、如图,△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P点在AC上〔与A、C不重合〕,Q在BC上.〔1〕当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.〔2〕当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.〔3〕试问:
在AB上是否存在一点M,使得△PQM为等腰直角三角形,假设不存在,请简要说明理由;假设存在,请求出PQ的长.
39、操作:
如图,在正方形ABCD中,P为CD上一动点〔与C、D不重合〕,使三角尺的直角顶点与点P重合,并且一条直角边始终经过点B,另一条直角边与正方形的某一边所在直线交于点E,探究:
〔1〕观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似?
并说明你的结论.〔2〕当点P位于CD的中点时,你找到的三角形与△BCP的周长比是多少?
40、如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AC,M为DE的中点,AM与BE相交于N,AD与BE相交于F.
求证:
〔1〕
=
;〔2〕△BCE∽△ADM;〔3〕AM与BE互相垂直.
41、如图,在矩形ABCD中,AB=12㎝,BC=6㎝,点P沿AB边从点A开场向点B以2㎝/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开场向点A以1㎝/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t〔s〕表示移动的时间〔0≤t≤6〕,那么〔1〕当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形;〔2〕求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论;〔3〕当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
42、如图,点E是四边形ABCD的对角线BD上一点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE.〔1〕求证:
BE·AD=CD·AE;〔2〕根据图形特点,猜测
可能等于哪两条线段的比〔只需写出图形中已有线段的一组比即可〕,并证明你的结论.
43、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,M是CD上的点,DH⊥BM于H,DH的延长线交AC的延长线于E.求证:
〔1〕△AED∽△CBM;〔2〕AE·CM=AC·CD.
44、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上点,且满足AB2=DB·CE.
〔1〕求证:
△ADB∽△EAC;〔2〕假设∠BAC=40°,求∠DAE的度数
45、如图,P为正方形ABCD的边BC上的点,BP=3PC,Q是CD中点,〔1〕求证:
△ADQ∽△QCP;〔2〕在现在的条件下,请再写出一个正确结论.
46、如图,在△ABC中,∠BAC=90°D为BC的中点,AE⊥AD,AE交CB的延长线于点E.〔1〕求证:
△EAB∽△ECA;〔2〕△ABE和△ADC是否一定相似?
如果相似,加以说明,如果不相似,那么增加一个怎样的条件,△ABE和△ADC一定相似.
47、,如图,在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC交AB于点E,
EC与AD相交于点F.〔1〕求证:
△ABC∽△FCD;〔2〕假设S△FCD=5,BC=10,求DE的长.
48、,梯形ABCD中,AD∥BC,AD求证:
△ABP∽△DPC;〔2〕如果点P在AD边上移动〔P与点A、D不重合〕,且满足∠BPE=∠A,
PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么,当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,
求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.
49、,如图,等边三角形ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点〔点P与点A重合,但不与点B重合〕,过点P作PE⊥BC于E,过点E作EF⊥AC于F,过点F作FQ⊥AB于点Q,设BP=x,AQ=y.〔1〕写出y与x之间的函数关系式:
〔2〕当BP的长等于多少时,点P与点Q重合;〔3〕当线段PE、FQ相交时,写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值X围.
50、如图,在△ABC中,AC=BC,F为边AB上的一点,BF∶AF=m∶n〔m、n>0〕,取CF的中点D,连结AD并延长交BC于点E。
〔1〕求BE∶EC的值;〔2〕假设BE=2EC,那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系?
证明你的结论。
〔3〕E点能否成为BC中点?
假设能,求出相应的m∶n,假设不能,证明你的结论。
51、如图,,在△ABC中,BA=BC=20㎝,AC=30㎝,点P从A点出发,沿AB以4㎝/s的速度向点B运动;同时点Q从C点出发,沿CA以3㎝/s的速度向A点运动,设运动时间为x,
〔1〕当x为何值时,PQ∥BC;〔2〕当S△BCQ∶S△ABC=1∶3时,求S△BPQ∶S△ABC的值;〔3〕△APQ能否与△CQB相似,假设能,求出AP的长,假设不能,请说明理由.
52、如图,△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连结AE.〔1〕写出图中所有相等的线段,并加以说明;〔2〕图中有无相似三角形,假设有,请写出一对,假设没有,请说明理由;〔3〕求△BEC与△BEA的面积之比.
53、如图,在⊿ABC〔AB>AC〕的边AB上取一点,在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P,求证:
BP:
CP=BD:
CE
54、:
如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AB,AD交BC于点E,DC⊥BC,与AD交于点D.
求证:
AC2=AE·AD.提示:
证明△AEC∽△ACD.
55、:
如图,在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E是AC边的中点,ED的延长线与AB的延长线交于点F.
求证:
△AFD∽△DFB.
56、:
如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O,OF⊥AC于点O,交AB于点E,交CB的延长线于点F,求证:
AO2=OE·OF.
57、:
如图,ΔABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,点E、F是AB边所在直线上的两点,且∠ECF=135°.
〔1〕求证:
ΔECA∽ΔCFB;
〔2〕假设AE=2,设AB=x,BF=y,求y与x之间的函数关系式,并求定义域;
〔3〕假设点P〔a,b〕在上述〔2〕中的函数图象上移动,点P到点M〔0,1〕的距离为PM,P到x轴的距离为PN,PM-PN的值有变化吗?
假设认为没有变化,请简要说明理由;假设认为有变化,请加以证明.
〔1〕略;〔2〕y=
x2〔x>0〕;〔3〕PM-PN=1,不变