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17全国2卷理科数学

2017全国2卷理科数学

　　　　　　绝密★启用前　　2017年普通高等学校招生全国统一考试　　理科数学　　注意事项：

　　1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域　　内。

　　2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚　　3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效　　4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

　　5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀　　一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

iA．1?

2i　　B．1?

2i　　C．2?

i　　D．2?

i　　1.　　2.设集合?

1,2,4?

，?

xx?

4x?

0．若?

，则?

A．?

1,?

　　B．?

1,0?

　　C．?

1,3?

　　D．?

1,5?

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？

”意思是：

一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯　　A．1盏　　B．3盏　　C．5盏　　D．9盏　　4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为　　A．90?

　　B．63?

　　C．42?

　　　　D．36?

　　1　　　　?

2x?

3y?

5.设x，y满足约束条件?

2x?

3y?

0，则z?

2x?

y的最小值是　　?

A．?

15　　B．?

9　　C．1　　　　D．9　　6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作1人完成，则不同的安排方式共有　　A．12种　　　　B．18种　　C．24种　　D．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：

你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：

我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则　　A．乙可以知道四人的成绩　　　　B．丁可以知道四人的成绩　　C．乙、丁可以知道对方的成绩　　　　D．乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的a?

1，则输出的S?

　　A．2　　　　B．3　　C．4　　　　D．5　　　　x2y2229.若双曲线C:

1的一条渐近线被圆?

4所截得的　　ab弦长为2，则C的离心率为　　A．2　　　　B．　　3　　C．2　　　　　　D．　　2332　　10.已知直三棱柱?

1C1中，?

120?

，?

2，?

CC1?

1，则异面直线?

1与?

C1所成角的余弦值为　　A．331510　　　　B．　　C．　　D．235511.若x?

2是函数f（x）?

（x2?

ax?

1）ex?

1`的极值点，则f（x）的极小值为　　A.?

1　　　　B.?

2e?

3　　　　?

3　　　　　　?

12.已知?

ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA?

（PB?

PC）的最小　　值是　　A.?

2　　　　B.?

34　　　　C.?

　　　　D.?

123二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

　　13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，?

表示抽到的二等品件数，则D?

．　　214.函数f?

sinx?

3cosx?

的最大值是．4?

15.等差数列?

an?

的前n项和为Sn，a3?

3，S4?

10，则　　21?

．?

Sk?

1knF?

的延长线交y轴于点?

．16.已知F是抛物线C:

8x的焦点，若?

是C上一点，　　为F?

的中点，则F?

．　　　　三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

必考题：

共60分。

17.　　?

ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin（A?

C）?

8sin2B．2

（1）求cosB　　

（2）若a?

6,?

ABC面积为2,求b.　　18.　　淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量某频率直方图如下：

　　　　3　　　　设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：

旧养殖法的箱产量低于50kg,新　　养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；　　填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

　　旧养殖法新养殖法箱产量＜50kg箱产量≥50kg　　　　根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值　　Pk　　n（ad?

bc）2K?

（a?

b）（c?

d）（a?

c）（b?

d）　　19.　　如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，　　1AD,?

BAD?

ABC?

90o,E是PD的中点.2证明：

直线CE//平面PABAB?

BC?

点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45o，求二面角M-AB-D的余弦值　　4　　　　20.　　x2?

y2?

1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P设O为坐标原点，动点M在椭圆C：

满足NP?

2NM.　　

（1）求点P的轨迹方程；　　?

（2）设点Q在直线x=-3上，且OP?

PQ?

1.证明：

过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦　　点F.21.　　已知函数f（x）?

ax3?

ax?

xlnx,且f（x）?

0.求a；　　证明：

f（x）存在唯一的极大值点x0，且e?

f（x0）?

3.　　选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

　　22.[选修4-4：

坐标系与参数方程]　　在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为?

cos?

4．　　M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?

|OP|?

16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；设点A的极坐标为（2,?

3），点B在曲线C2上，求?

OAB面积的最大值．　　23.[选修4-5：

不等式选讲]已知a?

0,b?

0,a?

2，证明：

（a?

b）（a?

b）?

4；a?

2．　　　　5　　3333

　　　　　　绝密★启用前　　2017年普通高等学校招生全国统一考试　　理科数学试题答案　　一、选择题　　　　　　　　二、填空题　　13.　　14.1　　15.三、解答题17.解：

　　题设及A?

得sinB?

8sin22n　　16.6n?

2，故　　sinB?

　　上式两边平方，整理得17cosB-32cosB+15=0解得cosB=1，cosB=cosB=2151715814得sinB?

，故S?

ABC?

acsinB?

ac171721717又S?

ABC=2，则ac?

　　2余弦定理学科&网及a?

6得　　b2?

a2?

c2?

2accosB2?

2ac（1?

cosB）1715?

36?

（1?

）217?

4所以b=218.解：

　　记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”　　?

题意知P?

CP?

C旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为?

5=　　　　6　　故P?

的估计值为　　新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为　　?

5=　　故P?

的估计值为　　因此，事件A的概率估计值为?

　　根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量?

50kg旧养殖法新养殖法K?

2箱产量≥50kg386662342200?

62?

66?

34?

38?

100?

96?

104?

　　于?

　　故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为　　?

，　　箱产量低于55kg的直方图面积为　　?

　　故新养殖法箱产量的中位数的估计值为　　50+．≈解：

　　　　取PA中点F，连结EF，BF．　　因为E为PD的中点，所以EF?

AD,EF=又BC?

1AD,?

BAD?

ABC?

90?

得BC∥AD，21AD2所以EF∥BC．四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF．又BF?

平面PAB，CE?

平面PAB，故CE∥平面PAB　　　　　　7　　　　?

已知得BA?

AD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如　　图所示的空间直角坐标系A-xyz,则　　1，0），P（0，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，3），　　?

PC?

（1，0，?

3）,AB?

（1，0，0）则　　?

BM?

（x?

1，y，z）,PM?

（x，y?

1，z?

3）　　0，1）是底面ABCD的法向量，所以因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n?

（0，?

cosBM,n?

sin450，z（x?

1）2?

y2?

z2?

22即2+y2-z2=0　　?

又M在棱PC上，学|科网设PM?

PC,则　　x?

1,z?

x=1+?

x=1-2?

（舍去），?

y=1?

y=1①，②得?

　　2262　　?

26?

所以M?

1-,1，?

，从而AM?

1-,1，?

22?

设m=?

x0,y0,z0?

是平面ABM的法向量，则　　?

AM?

2-2x0?

2y0?

即?

AB?

x0?

6z0?

0　　所以可取m=.于是cosm,n?

105m?

mn105因此二面角M-AB-D的余弦值为20.解　　?

设P,M,设N,NP?

x0,y?

NM?

0,y0?

　　　　8　　NP?

2NM得x0=x,y0?

2y2x2y2因为M在C上，所以?

1　　22因此点P的轨迹方程为x2?

y2?

2　　题意知F.设Q,P（m,n）,则　　?

OQ?

3,t?

PF?

m,?

OQ?

PF?

3m?

tn，?

OP?

m,n?

PQ?

m,t?

OP?

PQ?

1得-3m?

m2?

tn?

n2?

1，又知m2+n2=2，故　　3+3m-tn=0　　?

所以OQ?

PF?

0，即O所以过点P且垂Q?

PF.学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ，　　直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.解：

的定义域为?

0，+?

　　设g?

=ax-a-lnx，则f?

=xg?

0等价于g?

0因为g?

=0，g?

0,故g’?

=0,而g’?

若a=1，则g’x?

1,g’?

=a?

1,得a?

1x1.当0＜x＜1时，g’?

＜0,g?

单调递减；当x＞1时，g’?

＞0，xg?

单调递增.所以x=1是g?

的极小值点，故g?

=0　　综上，a=1　　知f?

x2?

xlnx,f’（x）?

2x?

lnx设h?

2x?

lnx,则h’（x）?

21x　　?

当x?

0,?

时，h’?

＜0；当x?

时，h’?

＞0，所以h?

在?

0,?

单调递减，在?

单调递增　　?

又he?

2＞0,h?

＜0,h?

0，所以h?

在?

0,?

有唯一零点x0，在?

有唯一零　　?

点1，且当x?

0,x0?

时，当x?

x0,1?

时，当x?

1,+?

时，h?

＞0；h?

＜0，h?

＞0.　　　　9　　因为f’?

，所以x=x0是f（x）的唯一极大值点f’?

x0?

0得lnx0?

2（x0?

1）,故f?

x0?

=x0（1?

x0）x0?

0,1?

得f’?

x0?

＜14因为x=x0是f（x）在的最大值点，e?

0,1?

f’e?

0得　　?

x0?

＞fe?

2　　所以e?

2＜f?

x0?

＜2-222.解：

　　设P的极坐标为　　?

，?

＞0?

，M的极坐标为?

，?

＞0?

，题设知　　11OP=?

，OM=?

1=4cos?

OM?

OP=16得C2的极坐标方程?

=4cos?

＞0?

　　2因此C2的直角坐标方程为?

　　设点B的极坐标为　　?

，?

＞0?

题设知　　BBOA=2，?

B=4cos?

于是△OAB面积　　S=1OA?

sin?

AOB2?

4cos?

sin?

2sin?

当?

=-　　3?

12时，S取得最大值2+3　　所以△OAB面积的最大值为2+323.解：

　　10　　?

a5?

b5?

ab?

2ab?

ab?

6556332332224?

b4?

4因为　　?

a3?

3a2b?

3ab2?

b3?

3ab?

a+b?

2+33?

a+b?

42?

a+b?

43　　所以?

a+b?

8，因此a+b≤2.　　11

a5?

b5?

ab?

2ab?

ab?

6556332332224?

b4?

4因为　　?

a3?

3a2b?

3ab2?

b3?

3ab?

a+b?

2+33?

a+b?

42?

a+b?

43　　所以?

a+b?

8，因此a+b≤2.　　11

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