高中数学 212 空间中直线与直线之间的位置关系教案 新人教A版必修2.docx

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高中数学212空间中直线与直线之间的位置关系教案新人教A版必修2

§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

一、教材分析

空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.

二、教学目标

1．知识与技能

（1）了解空间中两条直线的位置关系；

（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；

（3）理解并掌握公理4；

（4）理解并掌握等角公理；

（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

2．过程与方法

让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.

3．情感、态度与价值

让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.

三、重点难点

两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路1.（情境导入）

在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系.

学生：

有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.

教师：

回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.

思路2.（事例导入）

观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？

图1

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①什么叫做异面直线？

②总结空间中直线与直线的位置关系.

③两异面直线的画法.

④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？

⑤什么是空间等角定理？

⑥什么叫做两异面直线所成的角？

⑦什么叫做两条直线互相垂直？

活动：

先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

讨论结果：

①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.

②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型（图1），引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：

③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.

图2

④组织学生思考：

长方体ABCD—A′B′C′D′中，如图1,

BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？

通过观察得出结论：

BB′与DD′平行.

再联系其他相应实例归纳出公理4.

公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

符号表示为：

a∥b,b∥c

a∥c.

强调：

公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.

公理4是：

判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.

⑤等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？

能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？

可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.

图3

针对这个定义，我们来思考两个问题.

问题1：

这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？

对空间中的任一点O有无限制条件？

答：

在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：

有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.

图4

问题2：

这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？

答：

没有矛盾.当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.

⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.

图5

（三）应用示例

思路1

例1如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

图6

求证：

四边形EFGH是平行四边形.

证明：

连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=

.

同理，FG∥BD，且FG=

.

所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.

变式训练

1.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD.

求证：

四边形EFGH是菱形.

证明：

连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=

.

同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=

EF=

.

所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.

因为AC=BD,所以EF=EH.

所以四边形EFGH为菱形.

2.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD，AC⊥BD.

求证：

四边形EFGH是正方形.

证明：

连接EH，因为EH是△ABD的中位线，

所以EH∥BD，且EH=

.

同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=

，EF=

.

所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.

因为AC=BD，所以EF=EH.

因为FG∥BD，EF∥AC，所以∠FEH为两异面直线AC与BD所成的角.又因为AC⊥BD，所以EF⊥EH.

所以四边形EFGH为正方形.

点评：

“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.

例2如图7，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.

图7

（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？

（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？

（3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？

解：

（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线.

（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.

（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.

变式训练

如图8，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.

图8

（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；

（2）求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.

解：

（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，

∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.

（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，

∵△AD′C是等边三角形.

∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.

点评：

“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.

思路2

例1在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.

求证：

EB1∥DF，ED∥B1F.

活动：

学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.

证明：

如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.

图9

∵EGA1D1，B1C1A1D1,

∴EGB1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,

∴EB1GC1.

同理可证DFGC1，∴EB1DF.

∴四边形EB1FD是平行四边形.

∴ED∥B1F.

变式训练

如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：

图10

（1）AB与CC1；

（2）A1B1与DC；

（3）A1C与D1B；

（4）DC与BD1；

（5）D1E与CF.

解：

（1）∵C∈平面ABCD，AB

平面ABCD，又C

AB，C1

平面ABCD,∴AB与CC1异面.

（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.

（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.

∴A1C与D1B相交.

（4）∵B∈平面ABCD，DC

平面ABCD，又B

DC，D1

平面ABCD,∴DC与BD1异面.

（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，

∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.

又AE∥DD1，

∴GD1过AA1的中点E.∴直线D1E与CF相交.

点评：

两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB与A1C），有时看上去像相交（如图中的DC与D1B）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.

例2如图11，点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=

AD，求异面直线AD和BC所成的角.

图11

解：

设G是AC中点，连接EG、FG.

因E、F分别是AB、CD中点，故EG∥BC且EG=

，FG∥AD，且FG=

.由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即∠EGF为所求.

由BC=AD知EG=GF=

，又EF=

AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.

点评：

本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.

变式训练

设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB=

，CD=

，且HG·HE·sin∠EHG=

，求AB和CD所成的角.

解：

如图12，由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，

图12

∴∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角.

由题意可知EFGH是平行四边形，HG=

，HE=

，

∴HG·HE·sin∠EHG=

sin∠EHG.

∴

sin∠EHG=

.

∴sin∠EHG=

.故∠EHG=45°.

∴AB和CD所成的角为45°.

（四）知能训练

如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对____________.

图13

答案：

三

（五）拓展提升

图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：

图14

①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.③④

答案：

D

（六）课堂小结

本节学习了空间两直线的三种位置关系：

平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.

为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.

（七）作业

课本习题2.1A组3、4.

中国书法艺术说课教案

今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：

本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：

使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

2、教学重点与难点：

（一）教学重点

了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。

（二）教学难点：

如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。

3、教具准备：

粉笔，钢笔，书写纸等。

4、课时：

一课时 

二、教学方法：

要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。

（1）   欣赏法：

通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

（2）   讲授法：

讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！

（3）   练习法：

为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。

三、教学过程：

（一）组织教学

让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。

（二）引入新课，

通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！

（三）讲授新课

1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！

A书法文字发展简史：

①古文字系统

甲古文——钟鼎文——篆书

早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。

（请学生讨论这几种字体的特点？

）古文字是一种以象形为主的字体。

②今文字系统

隶书——草书——行书——楷书

到了秦末、汉初这一时期，各地交流日见繁多而小篆书写较慢，不能满足需要，隶书便在这种情况下产生了，隶书另一层意思是平民使用，同时还出现了一种草写的章草（独草），这时笔墨纸都已出现，对书法的独立创作起到了积极的推动作用。

狂草在魏晋出现，唐朝的张旭、怀素将它推向顶峰；行书出现于晋，是一种介于楷、行之间的字体；楷书也是魏晋出现，唐朝达到顶峰，著名的书法家有欧阳询、颜真卿、柳公权。

（请学生谈一下对今文字是怎样理解的？

），教师进行归纳：

它们的共同特点是已经摆脱了象形走向抽象化。

B主要书体的形式特征 

①古文字：

甲骨文，由于它处于文明的萌芽时期，故字形错落有致辞，纯古可爱，目前发现的总共有3000多字，可认识的约1800字。

金文，处在文明的发展初期，线条朴实质感饱满而丰腴，因它多附在金属器皿上，所以保存完整。

石鼓文是战国时期秦的文字，记载的是君王外出狩猎和祈祷丰年，秦篆是一种严谨刻板的纯实用性的字体，艺术价值很小。

②今文字：

隶书是在秦篆严谨的压抑下出现的一种潇洒开放型的新字体，课本图例《张迁碑》结构方正，四周平稳，刚劲沉着，是汉碑方笔的典范，章草是在隶书基础上更艺术化，实用化的字体，索靖《急就章》便是这种字体的代表作，字字独立，高古凝重，楷书有两大部分构成：

魏碑、唐楷魏碑是北魏时期优秀书法作品的统称。

《郑文公碑》和《始平公造像》是这一时期的代表，前者气势纵横，雄浑深厚，劲健绝逸是圆笔的典型；唐楷中的《醴泉铭》法度森严、遒劲雄强，浑穆古拙、浑厚刚健，《神策军碑》精练苍劲、风神整峻、法度谨严，以上三种书体分别代表了唐楷三个时期的不同特点。

《兰亭序》和《洛神赋》作者分别是晋代王羲之、王献之父子是中国书法史上的两座高峰，前者气骨雄骏、风神跌宕、秀逸萧散的境界，后者在技法上达到了由拙到巧、笔墨洗练、丝丝入扣的微妙的境界。

他们都是不拘泥于传统的章法和技能，对后世学书者产生了深远的影响；明代文征明的书法文雅自如，现代书家沈尹默在继承传统书法方面起到了不可魔灭的作用。

3、欣赏要点：

先找几位同学说一下自己评价书法作品的标准或原则是什么？

[或如何来欣赏一幅书法作品？

]学生谈完后，对他们的观点进行归纳总结。

然后自己要谈一下自己的观点：

书法艺术的欣赏活动，有着不同于其它艺术门类的特征，欣赏书法伤口不可能获得相对直接的印象、辨识与教益，也不可能单纯为了使学生辨识书写的内容，去探讨言词语汇上的优劣。

进而得出：

书法主要是通过对抽象的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式，从客观物象各种美的体态，安致这些独有的特性中，使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受（结合讲授出示古代书法名作的图片，并与一般的书法作品进行比较，让学生在比较中得出什么是格调节器高雅，什么是粗庸平常）。

书法可以说是无声的音乐，抽象的绘画，线条流动的诗歌。

四、课堂评价：

 根据本节课所学的内容结合板书。

让学生体会到祖国书法艺术的博大精深，着重分析学生在书体形式特点和审美欣赏方面表现出的得失。

让学生懂得在欣赏书法时主要是通过对抽像的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式，从客观物象各种美的体态，安致这些独有的特性中，使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受。