北师大版初中数学八年级上册《平行线的证明》教案课程.docx
《北师大版初中数学八年级上册《平行线的证明》教案课程.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北师大版初中数学八年级上册《平行线的证明》教案课程.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
北师大版初中数学八年级上册《平行线的证明》教案课程
平行线的证明
【考点一:
命题、定理及公理】
●对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.
●判断一件事情的句子,叫做命题,每个命题都由条件和结论两部分组成.
●正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.
●公认的真命题称为公理.
●推理的过程称为证明,经过证明的真命题称为定理.
【典型例题】
1.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式______________________________________.
2.命题“任意两个直角都相等”的条件是_________________________,结论是_________________,它是______(真或假)命题.
3.有下列两个命题:
①如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;②如果一个等腰三角形有一个内角是60°,那么这个等腰三角形一定是等边三角形.其中正确的是( )
A.只有命题①正确B.只有命题②正确
C.命题①,②都正确D.命题①,②都不正确
4.下列命题为真命题的是( )
A.同位角相等B.如果∠A+∠B+∠C=180°,那么∠A,∠B,∠C互补
C.邻补角是互补的角D.两个锐角的和是锐角
【变式练习】
1.把“等角的余角相等”改写成“如果…,那么…”的形式______________________________.
2.下列命题是假命题的是( )
A.对顶角相等B.圆有无数条对称轴
C.两点之间,线段最短D.平行四边形是轴对称图形
3.下列三个命题:
①同位角相等,两直线平行;②两点之间,线段最短;③过两点有且只有一条直线,其中真命题有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
4.下列语句中,属于命题的是( )
A.画∠AOB=90°B.2比-2大吗C.过点A作直线mD.负数的偶次幂是正数
5.下列四个命题是真命题的是( )
A.同位角相等
B.如果两个角的和是180度,那么这两个角是邻补角
C.在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线互相平行
D.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
6.有下列四个命题,其中所有正确的命题是( )
①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行
②两条直线被第三条直线所截同旁内角互补
③在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线垂直,那么这两条直线也互相垂直
④在同一平面内,过一点由且只有一条直线与已知直线垂直.
A.①②B.①④C.②③D.③④
7.请写出命题:
“全等三角形对应角相等”的逆命题,并判断命题的真假.
8.“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是________________________________.
【考点二:
平行线的性质及判定】
判定:
1.同位角相等,两直线平行.性质:
1.两直线平行,同位角相等.
2.同旁内角互补,两直线平行.2.两直线平行,同旁内角互补.
3.内错角相等,两直线平行.3.两直线平行,内错角相等.
平行线的判定:
【典型例题】
1.如图所示:
已知:
AD∥EF,∠1=∠2.求证:
AB∥DG.
【变式练习】
1.如图,已知直线EF⊥MN垂足为F,且∠1=140°,则当∠2等于( )时,
AB∥CD.
A.50°B.40°C.30°D.60°
2.如图,可以推理得AB∥CD的条件是( )
A.∠2=∠ABCB.∠1=∠A
C.∠3=∠ABCD.∠3=∠A
3.下列说法正确的是( )
A.同一平面内没有公共点的两条直线平行B.两条不相交的直线一定是平行线
C.同一平面内没有公共点的两条线段平行D.同一平面内没有公共点的两条射线平行
4.下列说法正确的是( )
①相等的角是对顶角;②相等且互补的两个角是直角;③一个角的两个邻补角是对顶角;
④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等;⑤凡直角皆相等;
⑥同时垂直于同一条直线的两条直线平行.
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.在同一个平面内,不相邻的两个直角,如果它们有一条边共线,那么另一边互相( )
A.平行B.垂直C.共线D.平行或共线
6.小明到工厂去进行社会实践活动时,发现工人师傅生产了一种如图所示的零件,要求AB∥CD,∠BAE=35°,∠AED=90°.小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°,∠AED=90°后,又量了∠EDC=55°,于是他就说AB与CD肯定是平行的,你知道什么原因吗?
7.已知:
如图∠1=∠2,当DE与FH有什么位置关系时,CD∥FG?
并说明理由.
平行线的性质
【典型例题】
1.如图所示:
如果AB∥CD,则角α、β、γ之间的关系式为()
A、α+β+γ=360°B、α-β+γ=180°
C、α+β+γ=180°D、α+β-γ=180°
2.如图所示:
直线AB∥MN,分别交直线EF于点C、D,∠BCD、∠CDN的角平分线交于点G,求∠CGD的度数.
【变式练习】
1.如下图左,AB∥EF∥CD,∠ABC=46°,∠CEF=154°,则∠BCE等于( )
A.23°B.16°C.20°D.26°
2.如下图中,将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上,如果∠1=40°,则∠2的度数是( )
A.30°B.45°C.40°D.50°
3.把一块直尺与一块三角板如下图右放置,若∠1=45°,则∠2的度数为( )
A.115°B.120°C.145°D.135°
4.如图,AE∥BD,∠1=120°,∠2=40°,则∠C的度数是( )
A.10°B.20°
C.30°D.40°
5.如图,已知直线m∥n,直角三角板ABC的顶点A在直线m上,
则∠α等于( )
A.21°B.48°
C.58°D.30°
6.如图,AB∥CD,∠B=23°,∠D=42°,则∠BED为( )
A.23°B.42°
C.65°D.19°
7.将一副三角板摆放成如图所示,图中∠1=( )度.
A.90B.120
C.125D.150
8.如图,玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”,AB∥DE,∠A=30°,
∠ACE=110°,则∠E的度数为( )
A.30°B.150°C.120°D.100°
9.如图所示,OP∥QR∥ST,若∠2=110°,∠3=120°,则∠1的度数为( )
A.60°B.50°
C.40°D.10°
10.下列说法正确的有( )
(1)两直线被第三直线所截,若同位角相等,则同旁内角相等
(2)两直线被第三直线所截,若内错角的角平分线平行,则这两直线平行
(3)两直线被第三直线所截,若同旁内角不互补,则内错角也不相等
(4)在同一平面内,两直线同时垂直同一条直线,则这两直线也互相垂直
A.1个B.2个C.3个D.4个
11.如图,已知AB∥EF,∠BAC=p,∠ACD=x,∠CDE=y,∠DEF=q,则用p、q、y来表示x.得( )
A.x=p+y-q+180°B.x=p+q-y+180°
C.x=p+q+yD.x=2p+2q-y+90°
12.如图,AB∥CD∥EF∥GH,AE∥DG,点C在AE上,点F在DG上.
设与∠α相等的角的个数为m,与∠β互补的角的个数为n,若α≠β,
则m+n的值是( )
A.8B.9C.10D.11
13.如图,AB∥CD,BE⊥DE.试说明∠B与∠D之间的关系,并说明理由.
14.如图,点P是∠AOB内的任意一点,
(1)过点P分别作OA、OB的平行线,分别交OA、OB于点C、D;
(2)∠AOB和∠P是否相等?
说明理由.
15.如图,点D、E分别在△ABC的边AB、AC上,点F在DC上,且∠1+∠2=180°,∠3=∠B.求证:
DE∥BC.
16.如图,点C在∠AOB的边OA上一点,请你使用直尺和圆规,过点C作直线OB的平行线.(保留作图痕迹,不要求写画法).
【考点三:
三角形的内角和外角定理】
●如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
●如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线也互相平行.
●如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条.
●三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°
●三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
●三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
【典型例题】
1、已知:
如图所示:
在△ABC中,CH是外角∠ACD的平分线,BH是∠ABC的平分线.
求证:
∠A=2∠H
证明:
∵∠ACD是△ABC的一个外角,
∴∠ACD=∠ABC+∠A(___________________________)
∠2是△BCD的一个外角,∴∠2=∠1+∠H(__________________)
∵CH是外角∠ACD的平分线,BH是∠ABC的平分线,
∴∠1=
∠ABC,∠2=
∠ACD(_____________________)
∴∠A=∠ACD-∠ABC=2(∠2-∠1)(_______________________)
而∠H=∠2-∠1(等式的性质)
∴∠A=2∠H(_______________________)
【变式练习】
1.如图,在△ABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是△ABC的角平分线,
则∠CAD的度数为( )
A.40°B.45°C.50°D.55°
2.如图,将一块三角板叠放在直尺上,若∠1=20°,则∠2的度数为( )
A.40°B.60°
C.70°D.80°
3.如图,△ABC中,BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∠A=50°,则∠BOC等于( )
A.110°B.115°
C.120°D.130°
4.两条平行线被第三条直线所截得的角中角平分线互相垂直的是( )
A.内错角B.同旁内角
C.同位角D.内错角和同位角
5.如图,∠ABC=31°,又∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点,
则∠AEC为( )
A.14.5°B.15.5°C.16.5°D.20°
6.如图,两平面镜所成的∠1,一束光线由是P发出,经平面镜OB,OA
两次反射后回到点P,已知PQ∥OA,PR∥OB,则∠1的度数为( )
A.30°B.45°C.60°D.75°
7.若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°,则这个三角形的形状为( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
8.若△ABC的内角满足:
2∠A-∠B=60°,4∠A+∠C=300°,则△ABC是( )
A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.无法确定
9.△ABC中,三个内角的度数均为整数,且∠A<∠B<∠C,4∠C=7∠A,则∠A的度数为( )
A.40°B.48°C.36°D.44°
10.如图,l∥m,等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上,若∠β=20°,
则∠α的度数为( )
A.25°B.30°C.20°D.35°
11.将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB的度数为( )
A.75°B.95°
C.105°D.120°
12.如图,∠CBD、∠ADE为△ABD的两个外角,∠CBD=70°,∠ADE=149°,
则∠A的度数是( )
A.28°B.31°C.39°D.42°
13.如图,在Rt△ADB中,∠D=90°,C为AD上一点,则x可能是( )
A.10°B.20°
C.30°D.40°
14.如图△ABC中,∠A=96°,延长BC到D,∠ABC与∠ACD的平分线相交
于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,依此类推,∠A4BC与
∠A4CD的平分线相交于点A5,则∠A5的度数为( )
A.19.2°B.8°C.6°D.3°
15.如图所示,l1∥l2,则下列式子中值为180°的是( )
A.α+β+γB.α+β-γ
C.β+γ-αD.α-β+γ
16.下列说法:
①三角形的高是线段;②直角三角形只有一条高线;③三角形的中线可能在三角形的外部;④三角形的一个外角一定大于三角形的内角.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
17.△ABC中,∠B<∠C,AD平分∠BAC
(1)在图中画出△ABC的高AE,垂足为E;并完成下列问题:
1.若∠B=50°,∠C=70°,则∠DAE=.
2.试探寻∠DAE与∠B、∠C的关系.请说明理由.
(2)若一点F在AD上移动,且FE⊥BC于E,其他条件不变,那么∠EFD与∠B、∠C间有怎样的关系?
18.在小学学习中,我们已经知道三角形的三个角之和等于180°,如图,在三角形ABC中,∠C=70°,∠B=38°,AE是∠BAC的平分线,AD⊥BC于D.
(1)求∠DAE的度数;
(2)判定AD是∠EAC的平分线吗?
说明理由.
(3)若∠C=α°,∠B=β°,求∠DAE的度数.(∠C>∠B)
19.已知:
△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,请根据题中所给的条件,解答下列问题:
(1)如图1,若∠BAD=60°,∠EAD=15°,求∠ACB的度数.
(2)通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB-∠B之间的关系应为:
.
(3)在图2的△ABC中,∠ACB>90°,那么
(2)中的结论仍然成立吗?
为什么?
20.如图,已知△ABC中,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BD、CE交于点O,∠A=70°.
(1)若∠ACB=40°,求∠BOC的度数;
(2)当∠ACB的大小改变时,∠BOC的大小是否发生变化?
为什么?
请写出证明过程.
21.已知如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题:
(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系
(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数
(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,试求∠P的度数;
22.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段,完成所提出的问题.
探究1:
如图1,在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点,
证明:
∠BOC=90°+
∠A.
探究2:
如图2中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点,试分析∠BOC与∠A有怎样的关系?
探究3:
如图3中,O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系?
23.
(1)如图1,∠1与∠2的大小有什么关系?
(2)如图2,BE、CD相交于点A,∠DEA,∠BCA的平分线相交于F.探求∠F、∠B、∠D关系?