北师大版数学九年级下册3圆 预习学案.docx
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北师大版数学九年级下册3圆预习学案
学习目标
☐了解圆的两种定义
3.1
圆
「概念课」圆的基本概念
扫码边看边学
☐了解圆心、直径、半径、弦、弧
视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【圆的基本概念】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1什么是圆？
请举几个圆的例子（00:
00-03:
57）
1.
圆是一种很常见的平．面．图．形．，生活中可以找到很多包含圆形的物体，如轮胎、、（举两个视频中未出现过的例子）．
2.
圆的第一种定义：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做，连接圆心与圆上任意一点的线段叫做．半径一般用字母来表示．
右图中的圆可以表示为．
3.
圆的第二种定义：
到距离等于的所有的点组成的图形叫做圆．其中定点指的是，定长指的是．
从这个定义可以看出，圆的所有半径．右图中，OA与
OB的数量关系为．
4.
如图，A、B是O上的两点，∠AOB=60︒，O的半径r=6，求AB．解：
OA=OB=6，∠AOB=60︒．
∴△AOB是．
∴AB=．
5.在O中，AB=CD，求证：
∠AOC=∠BOD．
证明：
OA===．
AB=CD．
∴≌．
∴∠AOB=∠COD．
∴∠AOC=∠BOD．
引导问题2什么是弦？
什么是直径？
（03:
57-05:
25）
6.连．接．圆．上．任．意．两．点．的．线．段．叫做弦．经过的弦叫做直径．直径一般用字母来表示．对于同一个圆，直径与半径的数量关系为．
7.
尝试证明直径是圆中最长的弦．
证明：
OA=OB=
∴OA+OB=
OA+OBAB
∴d>AB
结论：
是圆中最长的弦．
引导问题3什么是圆弧？
（05:
25-07:
23）
8.
圆．上．任．意．两．点．间．的．部．分．叫做圆弧，简称为弧．的弧叫做劣弧，的弧叫做优弧．表示劣弧需要用个点，表示优弧需要用个点．右图中A、B两点之间的劣弧可以表示为，A、B两点之间的优弧可以表示为．
9.的两个圆叫做等圆．在同．圆．或．等．圆．中，能够互相的弧叫做等弧．只有长度相等的两段弧（一定是/不一定是）等弧．
线上练习完成视频后相应的【专项练习】
提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？
请你将有疑问的问题记录下来：
学习目标
☐了解圆心角
3.2
圆的对称性
「概念课」弧、弦、圆心角
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☐了解弦、弧、圆心角的对应关系
视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【弧、弦、圆心角】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1什么是圆心角？
（00:
00-01:
07）
1.圆具有，它绕圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形．
2.
称为圆心角．右图中，∠A、∠B、∠O中，是圆心角．
引导问题2圆心角、弧、弦之间有什么关系？
（01:
07-03:
57）
3.
○1在同．圆．或．等．圆．中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等．右图中，若∠AOB=∠A'OB'，则AB=，AB=．
○2在同．圆．或．等．圆．中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，
所对的也相等．弧的度数是指弧所对的的度数．右
图中，若AB=A'B'，则∠AOB=，AB=．
○3在同．圆．或．等．圆．中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等，所对的和
分别相等．右图中，若AB=A'B'，则∠AOB=，AB=．
4.
如图，AB是O的直径，C、D是O上两点，弦BC=CD=DA
求∠BCD．
解：
连接OC、OD
BC=CD=DA
∴∠AOD=∠COD=∠
∠AOB=180︒
∴∠AOD=∠COD=∠=︒
在O中，OA===
∴△AOD、、是等边三角形
∴∠BCO=∠DCO=︒
∴∠BCD=∠+∠=︒
5.
如图，在O中，弦AB=CD，求证AD=BC．证明：
AB=CD
∴AB=
∴AD+=BC+
∴AD=
∴AD=BC
线上练习完成视频后相应的【专项练习】
提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？
请你将有疑问的问题记录下来：
学习目标
☐理解并掌握垂径定理
3.3
垂径定理
「概念课」垂径定理
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视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【垂径定理】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1什么是垂径定理？
（00:
00-03:
45）
1.
圆是轴．对．称．图形，每一条所在的直线都是圆的对称轴．
2.由圆的对称性，可以得到垂．径．定．理．：
平分弦，并且平分．右图中，由DE⊥AB，可以得到AC=
AD=，AE=．
3.如下图，在O中，直径AB⊥弦CD于E，下列结论错误的是
．
（a）CE=DE
（c）AD=AC
（b）CE=OE
（d）BD=BC
4.
到的距离叫做弦心距．右图中，线段AB的弦心距为线段的长度．
5.平分弦的直径一定垂直弦吗？
若不能请你作图举出反例吗？
因此，我们得到垂径定理的推论：
垂直于弦，并且平分．引导问题2如何使用垂径定理？
（03:
45-07:
53）
6.如右图，△OCD为等腰三角形，底边CD交O于A、B两点，求证：
AC=BD．
7.如右图，AB是O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，若AB=10，OE=3，求
CD的长．
8.上图中的OC、CE、OE一起组成了“黄金三角形”，其中OC是，CE是
，OE是．
线上练习完成视频后相应的【专项练习】
提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？
请你将有疑问的问题记录下来：
能力目标
☐垂径定理的应用
「解题课」用垂径定理算弦长
不会做我教你
拔高练习不．看．视．频．先．试．试．！
．做完再看洋葱数学视频【用垂径定理算弦长】讲题．
1.
攻略弦长
↓
黄金三角形
↓
找到三角形三边长度
↓
勾股定理
如图，AB是O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若CD=6，BE=1，求O的半径．
2.
已知O的半径为5，弦AB=6，弦CD=8，AB∥CD，求这两条平行弦AB、CD的距离．
3.
已知O的半径为10，点A为O内一点，且OA=6，过点A作的O的所有弦中，求弦长的最大值和最小值．
检查梳理看视频【用垂径定理算弦长】，核．对．拔．高．练．习．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程．
线上练习完成视频后相应的【专项练习】．
能力目标
☐垂径定理的应用
「解题课」弦心距的灵活应用
不会做我教你
拔高练习不．看．视．频．先．试．试．！
．做完再看洋葱数学视频【弦心距的灵活应用】讲题．
1.
攻略作弦心距
↓
构造黄金三角形
↓
找到三角形三边
↓
勾股定理求解
如图，P是O外一点，直线PA、PC分别与O交于A、B、C、D四点，PO平分∠BPD，求证：
AB=CD．
2.
如图，DE为半圆的直径，O为圆心，DE=10，延长DE到A，使得EA=1，直线AC
与半圆交于B、C两点，且∠DAC=30︒，求弦BC的长．
3.如图，在O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在O内，其中OA=4，BC=10，
∠A=∠B=60︒，求AB的长．
检查梳理看视频【弦心距的灵活应用】，核．对．拔．高．练．习．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程．
线上练习完成视频后相应的【专项练习】．
学习目标
☐了解圆周角的概念
☐理解并掌握圆周角定理
3.4
圆周角和圆心角的关系
「概念课」圆周角定理
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视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【圆周角定理】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1什么是圆周角？
（00:
00-02:
17）
1.顶点在，两边都与圆的角叫做圆周角．下图中，∠ABC是圆周角的是
，不是的原因为．
（a）
（b）
（c）
2.如右图，∠BAC称为所对的圆周角．BC所对的圆心角有
个，BC所对的圆周角有个．请你在图中再画出两个BC所对的圆周角．
3.右图中的∠BAC（是/不是）BC所对的圆周角，因为
．
引导问题2圆周角与圆心角有什么关系？
什么是圆周角定理？
（02:
17-07:
40）
4.尝试发现圆周角与圆心角之间的关系．
（1）
如右图，当点A在BO的延长线上时：
OA=OC．
∴∠BAC=∠OCA．
∴∠BOC=∠+∠=2∠．
（2）
9
如右图，当点A在图中所示的位置上时：
洋葱数学预习学案
连结AO并延长交O于点D．
由第一种情况可知，
∠BOD=2∠，
∠DOC=2∠．
∴∠BOC=∠BOD+∠DOC=2∠+2∠=2∠．
（3）
如右图，当点A在图中所示的位置上时：
连结AO并延长交O于点D．
由第一种情况可知，
∠BOD=2∠，
∠DOC=2∠，
∴∠BOC=∠BOD-∠DOC=2∠-2∠=2∠．综合以上三种情况，可以得到圆．周．角．定．理．：
一条弧所对的等于
它所对的的．如右图，∠1=∠=
∠=∠
=1∠．
2
5.弧的度数=它所对的度数．圆周角等于它所对弧的度数的．
6.
如右图，在O中，∠ABC=50︒，求∠AOC．
7.如右图，A、B、C、D、E是O上五点，且
AB=BC=CD=DE=EA，求∠ADC．
线上练习完成视频后相应的【专项练习】
提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？
请你将有疑问的问题记录下来：
学习目标
「概念课」圆周角定理的推论
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☐
理解并掌握圆周角定理的推论
☐掌握圆内接四边形的概念及其结论
视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【圆周角定理的推论】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？
（00:
00-02:
47）
1.推论：
或等弧所对的圆周角相等．
如右图，∠1=∠=∠=∠，原因是：
．
如右图，已知AB=CD，则∠1=∠，原因是．
2.如图，在O中，弦AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40︒，
∠APD=65︒，求∠B．
引导问题2圆内接四边形的对角有什么关系？
（02:
47-04:
50）
3.同弦所对的圆周角一定相等吗？
请你补全下列计算步骤．
如右图，已知A、B、C、D在圆上，求∠A与∠C的数量关系．
解：
∠所对的弧是BCD，∠所对的弧是BAD
∴∠A+∠C=︒．结论：
圆内接四边形的对角
．圆内接四边形是指的四边形．
4.
如右图，图中角的相等关系分别为：
∠1=∠4，
∠=∠，∠=∠，
∠=∠．
图中角的互补关系分别为：
∠BAD+∠BCD=180︒，
∠+∠=180︒．
引导问题3直径所对的圆周角是多少度？
（04:
50-08:
00）
5.
定理：
直径所对的圆周角是．如右图，AB是O的直径，则∠1=∠=∠=∠=︒
6.定理：
︒的圆周角所对的弦是直径．
7.如图，四边形ABCD内接于O，AD是O的直径，
BC=CD，∠A=30︒．求∠ABC的度数．
线上练习完成视频后相应的【专项练习】
提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？
请你将有疑问的问题记录下来：
学习目标
☐了解点和圆的位置关系
3.5
确定圆的条件
「概念课」点和圆的位置关系
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☐会判断点和圆的位置关系
视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【点和圆的位置关系】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1点和圆有几种位置关系？
（00:
00-07:
06）
1.
下表中记录了点和圆的三种位置关系．请将下表补充完整．
（其中d指点到圆心的距离，即PO，r指圆的半径）
2.
26
靶子的直径是10米，李狗蛋扔出的飞镖距靶心6米，那么飞镖代表的点和靶子代表的圆的位置关系为，因为．
3.在O中，圆心O是坐标原点，半径为位置关系．
，点P的坐标为（3,4），判断点P与O的
4.
在△ABC中，AC=4，BC=3，以点C为圆心，r为半径作圆，当r在什么范围内取值时，点A在C外部，且点B在C的内部？
线上练习完成视频后相应的【专项练习】
提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？
请你将有疑问的问题记录下来：
学习目标
☐了解确定圆的条件
☐过平面上不共线的三点作圆
「概念课」确定圆的条件
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视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【确定圆的条件】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1根据圆的定义，如何确定一个圆？
（00:
00-00:
49）
1.确定圆最简单的方法是确定和．圆心决定圆的
，半径决定圆的．
引导问题2两点确定一条直线，几个点确定一个圆？
（00:
49-06:
35）
2.已知平面内一点A，请在下图中作出三个经过点A的圆，并观察此时圆心的位置．
通过动手操作，我发现，一个点（能/不能）确定一个圆，因为
．因此过一个点可以作个圆．
3.已知平面内两点A、B，请在下图中作出两个同时经过A、B的圆，并观察此时圆心的位置．（提示：
OA=OB）
通过动手操作，我发现，当已知一个圆经过两点时，圆心一定在这两点的
上．但圆心的位置（能/不能）确定，因为
．因此过两个点可以作个圆．
4.已知平面内三个不．共．线．的点A、B、C，请在下图中作出一个同时经过A、B、C的圆，并观察此时圆心的位置．（提示：
OA=OB=OC）
通过动手操作，我发现，当已知一个圆经过不．共．线．的三点时，圆心一定在其中任意两点的垂直平分线上．由于三条垂直平分线，所以圆心的位置（可以/不可以）确定，因此只能作出个圆．
结论：
确定一个圆．
5.如果三个点都在同一条直线上，这时能确定一个圆吗？
请你画图表示，并说明理由．
6.Linda的圆形镜子摔碎了，请你运用在本节课中学到的知识，来帮她画出原本镜子的形状吧．
线上练习完成视频后相应的【专项练习】
提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？
请你将有疑问的问题记录下来：
学习目标
☐了解三角形的外接圆
☐会画出三角形的外接圆
「概念课」三角形的外接圆
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（00:
00-01:
32）
1.
请运用在上个视频中学到的知识，尝试在下图中作一个圆，使这个圆通过△ABC的三个顶点．
2.
经过△ABC的三个可以作一个O，O叫做△ABC的
．反过来说，△ABC是O的．其中，点O是
△ABC三条的交点，它也叫做△ABC的．
引导问题2三角形的外接圆有哪些性质？
外心有哪些性质？
（01:
32-07:
06）
3.
一个三角形有个外接圆．一个圆有个内接三角形．
4.如右图，O是△ABC的外心，则OA===r．
5.请作出下图中三个三角形的外心，并观察它们外心的位置．
结论：
锐角三角形的外心在三角形的，直角三角形的外心是直角三角形，钝角三角形的外心在三角形的．
6.
如右图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的
外接圆的半径．
解：
如图所示，作AD⊥BC于D
AB=AC
∴BD=DC=1BC=6
2
设△ABC外接圆圆心是O，则O在线段AD上
连接OB、OC，设△ABC外接圆半径为r，则OA===r
（___）2-（___）2
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
AD==
∴OD=AD-AO=
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
OD2+BD2=OB2，即解得r=
∴△ABC外接圆半径是
线上练习完成视频后相应的【专项练习】
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请你将有疑问的问题记录下来：
学习目标
☐了解反证法
「概念课」反证法
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（00:
00-03:
06）
1.使用反证法共分三步：
（1）假设结论；
（2）通过推理找；（3）根据
得到原结论成立．
2.
有一天，果冻老师饿了，路边有两家看起来一样的桂林米粉店，（a）店顾客很多，（b）店没有顾客，你认为更好吃的一家是．因为如果（b）店的米粉比（a）店好吃，那应该（b）店人（多/少），与已知条件矛盾．
（a）
（b）
引导问题2反证法在解题中如何应用？
（03:
06-06:
57）
3.已知△ABC，求证：
∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．
证明：
假设，不妨设∠A=∠B=90︒
∴∠A+∠B+∠C180︒，这与矛盾
∴“”不成立
∴∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角
4.出现矛盾的3种方式：
（1）与、、相矛盾；（2与相矛盾；（3）推出的结论．请举出一个自相矛盾的例子：
．
5.
在△ABC中，∠BAC是钝角，点O是△ABC的外心，证明：
O在△ABC的外部．证明：
假设，则O在△ABC的边上或△ABC的内部．如右图，若O在△ABC的边上，不妨设O在BC上，根据外心
的性质，OA==，所以△ABC是三角形，与△ABC是钝角三角形矛盾．
如右图，若O在△ABC的内部，则OA==
∴∠1=∠，∠4=∠，∠2=∠
设∠1=∠3=α，∠4=∠6=β，∠2=∠5=γ
∴∠ABC+∠ACB+∠BAC==︒
∴α+β+γ=︒
∴∠BAC=α+γ（>/
线上练习完成视频后相应的【专项练习】
提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？
请你将有疑问的问题记录下来：
能力目标
☐求点到圆的最大、最小距离
「解题课」点到圆的距离
不会做我教你
拔高练习不．看．视．频．先．试．试．！
．做完再看洋葱数学视频【点到圆的距离】讲题．
1.
攻略
1当A是PO的延长线与O交点时，PA最大
2当A是OP的延长线与O交点时，PA最小
O的半径为5cm，O内点P满足OP=3cm，求O上各点到点P的最大距离和最小距离．
2.
点P是O外一点，点A是O上任意一点，求AP何时最大，何时最小．
3.点P到O上各点的最大距离为5，最小距离为1，求O的半径．
检查梳理看视频【点到圆的距离】，核．对．拔．高．练．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程．
线上练习完成视频后相应的【专项练习】．
学习目标
☐了解直线和圆的位置关系
3.6
直线和圆的位置关系
「概念课」直线和圆的位置关系
扫码边看边学
☐会判断直线和圆的位置关系
视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【直线和圆的位置关系】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1直线和圆有几种位置关系？
（00:
00-07:
02）
1.直线和圆时，称直线和圆相．离．；直线和圆时，称直线和圆相．切．，这条直线叫做圆的，这个唯一的公共点叫做；直线和圆时，称直线和圆相．交．，这条直线叫做圆的．
下表中记录了直线和圆的三种位置关系．请将下表补充完整．
（其中d指圆心到直线的距离，即PO，
r指圆的半径）
2.如图，
∠AOB=30︒，点P在OB上，OP=5，以P为圆心，r为半径作P，分别在下列
条件下判断直线OA与P的位置关系．
（1）r=2
（2）
r=2.5（3）r=3
1
解：
d=PH=
OP=
2
（1）dr∴直线OA和P
（2）dr∴直线OA和P
（3）dr∴直线OA和P
线上练习完成视频后相应的【专项练习】
提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？
请你将有疑问的问题记录下来：
「概念课」
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