华罗庚学校数学教材六年级上第01讲工程问题.docx

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华罗庚学校数学教材六年级上第01讲工程问题

本系列共14讲

第一讲工程问题

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winner_d1975

工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：

工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）．

这三个量之间有下述一些关系式：

工作效率×工作时间＝工作总量，

工作总量÷工作时间＝工作效率，

工作总量÷工作效率＝工作时间．

为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效．

例1一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？

分析设这项工程为1个单位，则甲、乙合作的工效为1

12

，乙、丙合作

的工效为1

15

，甲、丙合作的工效为1

20

。

因此甲、乙、丙三队合作的工效的2

倍为1＋1

1215

＋1

20

，所以甲、乙、丙三队合作的工效为（

1＋1

1215

＋1）÷

20

2=1。

因此三队合作完成这项工程的时间为1÷

10

1=10（天）

10

解：

1÷[（

1＋1

1215

＋1

20

）÷2]=10（天）

答：

甲、乙、丙三队合作需10天完成．

说明：

我们通常把工量“一项工程”看成一个单位，这样，工效就用工时的倒数来表示。

如例1中甲、乙两队合作的工时为12天，那么工效就为

1，它表示甲、乙两队一天完成全部工程的1。

1212

例2师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5天后，

因事外出，由徒弟接着做3天，共完成任务的7

10

批零件各需几天？

分析设一批零件为单位“１”，其中６天完成任务，用1表示师徒的工

6

效和．要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅

先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天．

解：

师傅工效：

（

7－1×３）÷２＝1；

10610

徒弟工效：

1－1＝1；

61015

师傅单独做需几天：

１÷

1＝10（天）

10

徒弟单独做需几天：

1÷1

15

＝15（天）。

答：

如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天．

例3一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？

分析解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据题目

的条件，找到等量关系，列方程解题。

解：

设甲做了x天．那么，

甲完成工作量的1

12

x，乙做的天数10－x，

乙完成工作量（10－x）×1，

9

因此1

12

x＋（10－x）×1=1，

9

两边同乘36，得到：

3x＋40－4x＝36

x＝4．答：

甲做了4天．

例4一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？

分析设一件工作为单位“1”．甲做6小时，乙再做12小时完成或者甲先做8小时，乙再做6小时都可完成，用图表示它们的关系如下：

由图不难看出甲2小时工作量＝乙6小时工作量，∴甲1小时工作量＝

乙3小时工作量．可用代换方法求解问题．

解：

若由乙单独做共需几小时：

6×3＋12＝30（小时）．若由甲单独做需几小时：

8＋6÷3＝10（小时）．

甲先做3小时后乙接着做还需几小时：

（10－3）×3＝21（小时）．答：

乙还需21小时完成．

例5筑路队预计30天修一条公路．先由18人修12天只完成全部工程的

1。

如果想提前6天完工，还需增加多少人？

3

分析由18人修12天完成了全部工程的1，可通过18×12求出用一天

3

完成1工作量共需要的总人数，也可通过18×12求出用一人完成1工作量共

33

需要的总天数。

所以由1÷（18×12）求出1人1天完成全部工程的几分之几

3

（即一人的工效）。

解：

①1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）：

1÷（18×2）=1

3648

②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：

（1－1）÷[1

×（30－12－6）]

=2÷

3

3

12

648

648

=36（人）

③需增加几人：

36－18＝18（人）．答：

还要增加18人．

例6蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小时．排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水…的顺序轮流各开1小时．问：

多长时间后水池的水刚好排完？

（精确到分钟）

分析与解答①在解答“水管注水”问题时，会出现一个进水管，一个出水管的情况．若进水管、出水管同时开放，则积满水的时间＝1÷（进水管工效－出水管工效）。

排空水的时间＝1÷（出水管工效－进水管工效）．

②这道应用题是分析推理与计算相结合的题目．根据已知条件推出水池

中的水每小时减少1－1=

2。

水池中有半池水即1，经过6小时后还剩1－

351522

2×（6÷2）=

15

1。

如果按进水、排水的顺序进行，则又应进水1小时，这时

10

水池内共有水

1＋1=

3。

如果按每小时1的流速排出需要

3÷1=

9（小时），

105103

10310

共用的时间为6＋1＋

9=7.9（小时）=7小时54分刚好排完。

10

例7一件工作，甲5小时先完成了1，乙6小时又完成了剩下任务的一

4

半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？

分析这道题是工程问题与分数应用题的复合题．解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单位“1”（总工作量）的几分之几？

解：

甲工作效率：

1÷5=1；

420

乙工作效率：

（1－1）×1÷6=1；

4216

余下部分甲、乙合作需要几小时：

（1－1）×（1－1）÷（1

＋1）=31（小时）

4220163

答：

还需要31小时才能完成任务。

3

例8甲、乙二人植树，单独植完这批树甲比乙所需要的时间多1，如果

3

二人一起干，完成任务时乙比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？

分析求这批树一共多少棵，必须找出与36棵所对应的甲、乙工效差。

乙知甲比乙所用的时间多1，可以求出甲与乙所用的时间比为4：

3。

当工作

3

总量一定的情况下，工效与工时成反比例，甲与乙的工时比为4：

1=4：

3，所

3

以甲与乙的工效比是3：

4。

这个间接条件一旦揭示出来，问题就得到解决了。

解：

设乙所用时间为“1”，甲的时间是乙的1＋1=11（倍），则甲与乙的

33

时间比是4：

3。

工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比是

时间比的反比，为3∶4。

共植树多少棵：

36÷（4－3）=252（棵）

77

答：

这批树一共252棵．

例9加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。

现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的2没有完成。

乙知甲每天比乙多加工3

5

个零件，求这批零件共多少个？

分析欲求这批零件共多少个，由题中条件只需知道甲、乙二人每天共做多少个即可，然后这就转化为求甲、乙两人单独做各需多少天，有了这个结论后，只需算出3个零件相当于总数的几分之几即可．由条件知甲做16天，

乙做12天共完成工程的3，也即相当于甲、乙二人合做12天，另外加上甲又

5

做4天共完成这批零件的3；又知道甲、乙二人合做24天可以完成，因此甲

5

单独做所用天数可求出，那么乙单独做所用天数也就迎刃而解。

解：

甲、乙合作12天，完成了总工程的几分之几？

1×12=1

242

甲1天能完成全工程的几分之几？

（3－1）÷（16－12）=1

5240

乙1天可完成全工程的几分之几？

1－1

2440

=1

60

这批零件共多少个？

3÷（1

40

－1

60

）=360（个）

答：

这批零件共360个．

例10一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，…，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？

分析要求共用多少小时？

可以设想把这些小时重新分配：

甲做1小时，乙做1小时，它们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时．这样先大致算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了．

解：

①若甲、乙两人合作共需多少小时？

1÷（

1＋1

1218

）=71（小时）

5

②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？

1－7×（

1＋1

1218

）=1

36

③余下的1

36

由甲单独做需要多少小时？

1÷

1=1（小时）

36123

④共用了多少小时？

7×2＋1=141（小时）

33

答：

共用了141小时。

3

习题一

1，一项工程，甲单独做12天可以完成．如果甲单独做3天，余下工作由乙去做，乙再用6天可以做完．问若甲单独做6天，余下工作乙要做几天？

2，一条水渠，甲乙两队合挖30天完工．现在合挖12天后，剩下的由乙队挖，又用24天挖完．这条水渠由乙单独挖，需要多少天

3，客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，经2小时24分钟相遇，相遇时客车比货车多行9.6千米．已知客车从甲站到乙站行4小时30分钟，求客车与货车的速度各是多少？

4，水箱上装有甲、乙两个注水管．单开甲管20分钟可以注满全箱。

现

在两管同时注水2.5分钟，注满水箱的5

24

。

如果单开乙管需要多少分钟注满

水箱？

5，一项工程，甲、乙单独做分别需要18天和27天．如果甲做若干天后，乙接着做，共用20天完成．求甲乙完成工作量之比．

6，一项工程，甲、乙两队合作6天能完成5。

已知单独做，甲完成1与

63

乙完成1所需时间相等。

问单独做甲、乙各需多少天？

2

7，做一批儿童玩具．甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成，丙

组每天可生产64件．如果让甲、乙两组合作4天，则还有256件没完成．现在决定三个组合做这批玩具，需要多少天完成？