高二数学上 第七章 直线和圆的方程76圆的方程一教案.docx

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高二数学上第七章直线和圆的方程76圆的方程一教案

2019-2020年高二数学上第七章直线和圆的方程：

7.6圆的方程

（一）教案

教学目的：

使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．

教学重点：

圆的标准方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的标准方程

教学难点：

运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题

授课类型：

新授课

课时安排：

1课时

教具：

多媒体、实物投影仪

内容分析：

 学习了“曲线与方程“之后，作为一般曲线典体例子，安排了本节的“圆的方程”圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用

由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程、一般方程的要求层次是“掌握”；因为是第一次系统地介绍参数方程，对参数方程的学习有一个循序渐进的过程，因而对圆的参数方程只要求“理解”，今后讲圆锥曲线时还有所涉及结合本节的内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法，同时对学生的观察类比、创新等多种能力的培养也十分有利在运用多种方法求圆的方程中，可培养学生大胆探索创新的精神；通过知识的实际运用和采用多媒体手段，培养学生学习数学的兴趣；而一些曲线上动点的变化，和方程形式，解法的多样，也有助于学生树立辩证唯物主义的运动观和普遍联系的观点

遵循从特殊到一般的原则，只有把圆的标准方程学透了，再过渡到学圆的一般也就不难，它们可以通过形式上的互相转化而解决因而本节的重点是圆的标准方程及直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线）又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F，对它的理解带来一定的困难，因而本节的难点是对圆的一般方程的认识、掌握和运用突破难点的关键是抓住一般方程的特点，把握住求圆的方程的两个基本要素：

圆心坐标和半径

依照大纲，本节分为三个课时进行教学第一课时讲解圆的标准方程

为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来。

教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情景，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题其基本教学模式是：

教学过程：

一、复习引入：

1．圆的定义：

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆

2．求曲线方程的一般步骤为：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）写出适合条件P的点M的集合；（可以省略，直接列出曲线方程）

（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;

（4）化方程为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明）

二、讲解新课：

1．建立圆的标准方程的步骤：

建系设点；写点集；列方程；化简方程

2.圆的标准方程：

已知圆心为，半径为，如何求的圆的方程？

运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：

这个方程叫做圆的标准方程

若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是

3．圆的标准方程的两个基本要素：

圆心坐标和半径

圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决

三、讲解范例：

例1写出下列各圆的方程

（1）圆心在原点,半径是3.

（2）圆心在（3,4）,半径是

（3）经过点P（5,1）,圆心在点C（8,-3）.

例2说出下列圆的圆心坐标和半径

（1）（x-3）2+（y+2）2=4.

（2）（x+4）2+（y-2）2=7.

（3）x2+（y+1）2=16.

例3求以C（1,3）为圆心，并且和直线相切的圆的方程

解：

已知圆心坐标C（1,3），故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离根据点到直线的距离公式，得

因此，所求的圆的方程是

点评：

由本题可知，圆的标准方程是由圆心坐标和半径两因素决定的而且圆的半径与圆的切线有着非常密切的联系，解题要注意运用圆的切线的性质解题时画出草图可帮助思考

例4已知圆的方程，求经过圆上一点的切线方程

解：

分析

（一）：

如图，设切线的斜率为，半径OM的斜率为因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是

∵∴

经过点M的切线方程是，

整理得

因为点在圆上，所以，所求切线方程是

分析

（二）：

利用向量。

设P为切线上任意一点，则，所以：

，即（x0，y0）·（x-x0，y-y0）=0所以圆心在圆点切线方程为：

x0x+y0y=r2

点评：

用斜率的知识来求切线方程，这就是“代数方程”：

即设出圆的切线方程，将其代入到圆的方程，得到一个关于或的一元二次方程，利用判别式进行求解，但此法不如用几何方法简练实用，几何方法就是利用圆心到直线的距离等于半径（本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识），由此确定了斜率的，从而得到点斜式的切线方程，以上两种方法只能求出存在斜率的切线，若斜率不存在，则要结合图形配补

例5如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图.该圆拱跨度AB=20ｍ，拱高OP=4ｍ，在建造时每隔4ｍ需要用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m）.

例6已知圆心在x轴上，且距原点距离3个单位，半径为5的圆的方程.

y

O

四、课堂练习：

1．求下列各圆的标准方程：

（1）圆心在上且过两点（2，0），（0，-4）；

（2）圆心在直线上，且与直线切于点（2，-1）.

（3）圆心在直线上，且与坐标轴相切

分析：

从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数

解：

（1）设圆心坐标为（），则所求圆的方程为,

∵圆心在上，∴①

又∵圆过（2，0），（0，-4）∴②

③

由①②③联立方程组，可得

∴所求圆的方程为

（2）∵圆与直线相切，并切于点M（2，-1），则圆心必在过点M（2，-1）且垂直于的直线：

上，

，即圆心为C（1，-2），=,

∴所求圆的方程为：

（3）设所求圆的方程为,

∵圆与坐标轴相切，∴

又∵圆心（）在直线上，∴

由

，得

∴所求圆的方程为：

或

2.已知圆求：

（1）过点A（4，-3）的切线方程.

（2）过点B（-5，2）的切线方程

分析：

求过一点的切线方程，当斜率存在时可设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程，求出斜率k的值，斜率不存在时，结合图形验证；当然若过圆上一点的切线方程，可利用公式求得

解：

（1）∵点A（4，-3）在圆上

∴过点A的切线方程为：

（2）∵点点B（-5，2）不在圆上，当过点B（-5，2）的切线的斜率存在时，设所求切线方程为，即

由，得∴此时切线方程为：

当过点B（-5，2）的切线斜率不存在时，结合图形可知=-5，也是切线方程

综上所述，所求切线方程为：

或=-5

五、小结：

圆的标准方程的概念及推导；如何求圆的标准方程；待定系数法

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：

2019-2020年高二数学上第七章直线和圆的方程：

7.1直线的倾斜角和斜率教案

一、教学目标

（一）知识教学点

知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式．

（二）能力训练点

通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力．

（三）学科渗透点

分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想．

二、教材分析

1．重点：

通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．

2．难点：

一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了．

3．疑点：

是否有继续研究直线方程的必要？

三、活动设计

启发、思考、问答、讨论、练习．

四、教学过程

（一）.复习一次函数及其图象

在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+1的图象是什么？

怎样画出它的图象？

已知一次函数y=2x+1，试判断点A（1，3）

和点B（2，1）是否在函数图象上．

初中我们是这样解答的：

∵A（1，3）的坐标满足函数式，

∴点A在函数图象上．

∵B（2，1）的坐标不满足函数式，

∴点B不在函数图象上．

现在我们问：

这样解答的理论依据是什么？

（这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．）

讨论作答：

判断点A在函数图象上的理论依据是：

满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：

函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系．

（二）.直线的方程

引导学生思考：

直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？

直线都是一次函数的图象吗？

一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．

一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应．

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．

上面的定义可简言之：

（方程）有一个解（直线上）就有一个点；（直线上）有一个点（方程）就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．

显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念．

（三）.进一步研究直线方程的必要性

通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究．

（四）.直线的倾斜角

一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．

直线倾斜角角的定义有下面三个要点：

（1）以x轴正向作为参考方向（始边）；

（2）直线向上的方向作为终边；（3）最小正角．

按照这个定义不难看出：

直线与倾角是多对一的映射关系．

（五）.直线的斜率

倾斜角不是90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表示，即

直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率．

直线情况

平行于x轴

由左向右上升

垂直于x轴

由右向左上升

Α的大小

ｋ的范围

k=0

k>0

不