弧长公式扇形面积公式及其应用含经典习题.docx
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弧长公式扇形面积公式及其应用含经典习题
弧长公式、扇形面积公式及其应用（含经典习题）
【本讲教育信息】
1.教学内容：
弧长及扇形的面积
圆锥的侧面积
2.教学要求
1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。
2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。
3.重点及难点
重点：
1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。
2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。
难点：
1、弧长公式、扇形面积公式的推导。
2、圆锥的侧面积、全面积的计算。
［知识要点］
知识点1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C2兀R冃口zR
=2R，所以1°的圆心角所对的弧长是工厂二，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的
1nicR
弧长I的计算公式：
亠，
说明：
（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长I时，不要错写成'=订W。
（2）在弧长公式中，已知I,n,R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
知识点2、扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积N，所以圆心角为1°的扇形面积是77,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是'：
。
又因为扇形的弧长l-u,扇形面积2
生1-
，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：
*―
知识点3、弓形的面积
（1）弓形的定义：
由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（2）弓形的周长=弦长+弧长
（3）弓形的面积
图示
Q
ww
m
o
w
面积
%=%聘■並
%=*砌
%=仏+禺
知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为I，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为I，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积>J_*'''，圆锥的全面积''<"''■'■'''
说明：
（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。
知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积阳二历“，圆柱的全面积碌=片+矢胡肝讪+2新“吨+F）
A
知识小结:
圆锥与圆柱的比较
名称
圆锥
圆柱
图形
1
1
D
C
图形的形成过程
由一个直角三角形旋转得到的，女口Rt△
SOA绕直线
SO旋转周。
由一个矩形旋转得到的，如矩形
ABCD绕直线AB旋转周。
图形的组成
一个底面和一个侧面
两个底面和一个侧面
侧面展开
图的特征
扇形
矩形
面积计算方法
=Till
呂设.■曽.4宮處■th!
+個立
2Sk■Jjcrii4-Era■之
例1.（2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，
两圆的半径分别为2,1,ZAOB=120°,则阴影部分的面积是（）
4
A.B.xC._D.\、
例2.（2003福州）如图所示，已知扇形AOB
的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形
AOB，点C，E，D分别在OA，OB及AB弧上,过点A作AF丄ED交ED的延长线于F，垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为（）
例3.如图所示，直角梯形ABCD中，/B=90°，ADIIBC，AB=2，BC=7，AD=3，以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。
例4.（2003.宁波）已知扇形的圆心角为120面积为300平方厘米
（1）求扇形的弧长。
（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？
A
o
模拟练习题
一、选择题
1.若一个扇形的圆心角是45°,面积为2刀,
则这个扇形的半径是（）
A.4B.2C.47刀D.2刀
2.扇形的圆心角是60°,则扇形的面积是所在图面积的（）
11^丄
A.:
B.C.D.二
3.扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（）
130°360°
A.90°B.C.D.180°
4.两同心圆的圆心是O,大圆的半径是以OA,OB分别交小圆于点M,N•已知大圆半径是小圆半径的3倍,则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（）
A.2倍B.3倍C.6倍D.9倍
5.半圆O的直径为6cm,/BAC=30°,则阴影部分的面积是（）.
A.JB.
6用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥
的侧面，则此圆锥的底面半径为（）
A.2cmB.3cmC.4cmD.
6cm
7.圆锥的全面积和侧面积之比是3:
2,这个圆锥的轴截面的顶角是（）
A.30°B.60°C.
90°D.120°
8.已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰
好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1:
2,则它们的高之比为（）
A.2:
1B.3:
2C.2匸：
］D.5:
2庞
9.如图，在厶ABC中，/C=RtZ,AC>BC,若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥的侧面积为Si,以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S2,则（）
A.Si=S2B.Si>S2C.Si：
、填空题
1.扇形的弧长是12刀cm,其圆心角是90,
则扇形的半径是cm,扇形的面积
是cm2.
2.扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是
3.已知扇形面积是12cm2,半径为8cm，则扇形周长为
4在厶ABC中，AB=3,AC=4,ZA=90°,把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为Si；把Rt△ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2,则Si：
S2=。
5.一个圆柱形容器的底面直径为2cm,要用一
块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有cm。
6.如图，扇形AOB的圆心角为60°,半径为
6cm,C,D分别是」上的三等分点，则阴影部分的面积是。
7.如图正方形的边长为2,分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部分面积为。
二、计算题
1.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,以A为圆心画弧「，交AB于点D，交AC延长线于点F，交BC于点E，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比（刀取3）。
2.一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是Si,另一个圆锥的侧面积是S2,如果
A
圆锥和圆柱等底等高，求二.
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