概率论与数理统计课后习题答案完整校对版.docx
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概率论与数理统计课后习题答案完整校对版
复旦大学
习题一
1．略.见教材习题参考答案.
2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：
（1）A发生，B，C都不发生；
（2）A与B发生，C不发生；
（3）A，B，C都发生；
（4）A，B，C至少有一个发生；
（5）A，B，C都不发生；
（6）A，B，C不都发生；
（7）A，B，C至多有2个发生；
（8）A，B，C至少有2个发生.
【解】
（1）ABC
（2）ABC（3）ABC
（4）A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC
（5）ABC=ABC（6）ABC
（7）ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C
（8）AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC
3.略.见教材习题参考答案
4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P（AB）=0.3，求P（AB）.
【解】P（）=1P（AB）=1[P（A）P（AB）]
=1[0.70.3]=0.6
5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P（B）=0.7,求：
（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？
（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？
【解】
（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.
（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.
6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，
P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.
1
【解】P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）P（AB）P（BC）P（AC）+P（ABC）=11113++=443124
7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率
是多少？
5332【解】p=C13C13C13C13/C13
52
8.对一个五人学习小组考虑生日问题：
（1）求五个人的生日都在星期日的概率；
（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；
（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】
（1）设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）=115=（）（亦可用独立性求解，下同）757
（2）设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
6565P（A2）=5=（）77（3）设A3={五个人的生日不都在星期日}
P（A3）=1P（A1）=1（15）7
9.略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n<N）.试求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.如果：
（1）n件是同时取出的；
（2）n件是无放回逐件取出的；
（3）n件是有放回逐件取出的.
nmn【解】
（1）P（A）=Cm
MCNM/CN
n
（2）由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m
次为正品的组合数为Cm
n种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正
mnm品中取m件的排列数有PM种，从NM件次品中取nm件的排列数为PNM种，
故
mnmCmPPP（A）=nM
nNMPN
由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成
nmCm
MCNMP（A）=Cn
N
可以看出，用第二种方法简便得多.
（3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n2
次抽取中有m次为正品的组合数为Cm对于固定的一种正、次品的抽取次序，n种，
m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，nm次取得次品，每次都有
NM种取法，共有（NM）nm种取法，故
mnmP（A）Cm/NnnM（NM）
此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为
m件正品的概率为M，则取得N
MMP（A）Cm
n1NNmnm
11.略.见教材习题参考答案.
12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆
钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？
【解】设A={发生一个部件强度太弱}
33P（A）C1
10C3/C5011960
13.一个袋P（A2A3）P（A2）P（A3）
14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：
（1）两粒都发芽的概率；
（2）至少有一粒发芽的概率；
（3）恰有一粒发芽的概率.
【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）
（1）P（A1A2）P（A1）P（A2）0.70.80.56
（2）P（A1A2）0.70.80.70.80.94（3）P（A1A2A1A2）0.80.30.20.70.38
15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.
（1）问正好在第6次停止的概率；
（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.
11131C4（）（）52121312【解】
（1）p1C5（）（）
（2）p2222325/325
3
16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球
数相等的概率.
【解】设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则
212P（AiBi3）（0.3）3（0.4）3C1
30.7（0.3）C30.6（0.4）i03
22C3（0.7）20.3C3（0.6）20.4+（0.7）3（0.6）3
=0.32076
17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.
41111C5C2CC2C2213【解】p14C1021
18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：
（1）在下雨条件下下雪的概率；
（2）这天下雨或下雪的概率.
【解】设A={下雨}，B={下雪}.
（1）p（BA）P（AB）0.10.2P（A）0.5
（2）p（AB）P（A）P（B）P（AB）0.30.50.10.7
19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男
为女是等可能的）.
【解】设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故
P（BA）P（AB）6/86P（A）7/87
67或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.P（BA）
20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是
男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.
【解】设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式
P（A）P（BA）P（AB）P（AB）P（B）P（A）P（BA）P（A）P（BA）
0.50.05200.50.050.50.002521
21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.4
题21图题22图
【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy|>30.
如图阴影部分所示.
3021P2604
22.从（0，1）中随机地取两个数，求：
6的概率；5
1
（2）两个数之积小于的概率.4
（1）两个数之和小于
【解】设两数为x,y，则0<x,y<1.
（1）x+y<6.5
144
17p110.68125
1
（2）xy=<.4
p21111dxdy11ln24x4421
23.设P（A）=0.3,P（B）=0.4,P（AB）=0.5，求P（B｜A∪B）
【解】P（BAB）P（AB）PA（）PAB（）P（AB）P（A）P（B）P（AB）
5
0.70.510.70.60.54
24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比
赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.
【解】设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新
球}
由全概率公式，有
P（B）P（BAi）P（Ai）
i03
2321C3C3C1C8C9C6C3C3C3
699C679333333336C15C15C15C15C15C15C15C15
0.089
25.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学
生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：
（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？
（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？
【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P
（A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知
P（A）P（BA）P（AB）
（1）P（AB）P（B）P（A）P（BA）P（A）P（BA）
0.20.110.027020.80.90.20.137
即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
（2）P（AB）P（A）P（BA）P（AB）P（B）P（A）P（BA）P（A）P（BA）
0.80.140.30770.80.10.20.913
即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.
26.将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而
B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？
【解】设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}
C={收到信息是A}，则={收到信息是B}
由贝叶斯公式，得
6
P（AC）
P（A）P（CA）P（A）P（CA）P（A）P（CA）2/30.980.994922/30.981/30.01
27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱
子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）
【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=
出一球为白球}.由贝叶斯公式知1,i=0,1,2.又设B={抽3
P（A1B）P（BA1）P（A1）P（A1B）2P（B）P（BAi）P（Ai）
i0
2/31/311/31/32/31/311/33
28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率
为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.
【解】设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}
由贝叶斯公式得
P（AB）
P（A）P（BA）P（AB）P（B）P（A）P（BA）P（A）P（BA）0.960.980.9980.960.980.040.05
29.某保险公司把被保险人分为三类：
“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上
述三种人在一年设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，
C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故}
则由贝叶斯公式得
P（A|D）
P（AD）P（A）P（D|A）P（D）P（A）P（D|A）P（B）P（D|B）P（C）P（D|C）0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3
30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为
0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.
【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.
P（Ai）1P（A1A2A3A4）i14
1P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）
7
10.980.970.950.970.124
31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概
率不小于0.9?
【解】设必须进行n次独立射击.
1（0.8）n0.9
即为（0.8）n0.1
故n≥11
至少必须进行11次独立射击.
32.证明：
若P（A｜B）=P（A｜B），则A，B相互独立.
【证】P（A|B）即P（A|B）P（AB）P（AB）P（B）P（B）
亦即P（AB）P（B）P（AB）P（B）
P（AB）[1P（B）][P（A）P（AB）]P（B）
因此P（AB）P（A）P（B）
故A与B相互独立.
33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为
的概率.
【解】设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则111，，，求将此密码破译出534
P（Ai）1P（A1A2A3）1P（A1）P（A2）P（A3）i13
14230.6534
34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人
击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：
飞机被击落的概率.
【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3
由全概率公式，得
P（A）P（A|Bi）P（Bi）
i03
=（0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7）0.2+
（0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7）0.6+0.4×0.5×0.7
=0.458
35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，
且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：
（1）虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.
8
（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.
【解】
（1）p1C
k0
k
103k10（0.35）k（0.65）10k0.5138
（2）p2C
k410（0.25）k（0.75）10k0.2241
36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：
（1）A=“某指定的一层有两位乘客离开”；
（2）B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；
（3）C=“恰有两位乘客在同一层离开”；
（4）D=“至少有两位乘客在同一层离开”.
【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.
24C69
（1）P（A），也可由6重贝努里模型：
106
21294P（A）C6（）（）1010
（2）6个人在十层中任意六层离开，故
6P10P（B）610
（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C1
10种可能结果，再从
2六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情
况，因此可包含以下三种离开方式：
①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余
3118层中任一层离开，共有C1
9C4C8种可能结果；②4人同时离开，有C9种可能结果；
③4个人都不在同一层离开，有P94种可能结果，故
2131146P（C）C1
10C6（C9C4C8C9P9）/10
（4）D=B.故
6P10P（D）1P（B）1610
37.n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：
（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；
（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；
（3）如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.
【解】
（1）p11n1
9
（2）p2
（3）p13!
（n3）!
n3（n1）!
（n1）!
13!
（n2）!
;p2,n3n!
nn!
38.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率
【解】设这三段长分别为x,y,axy.则基本事件集为由
0<x<a,0<y<a,0<axy<a所构成的图形，有利事件集为由
xyaxyx（axy）yy（axy）x
构成的图形，即
a0x20ya2axya2
如图阴影部分所示，故所求概率为p1.4
39.某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.
证明试开k次（k=1,2,„,n）才能把门打开的概率与k无关.
Pnk111【证】pk,k1,2,n,Pnn
40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出
一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.
【解】设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.
在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的
小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000（8+96+384）=512个P（A）P[A（BC）]P（ABAC）
P（AB）P（AC）P（ABC）
10
P（AB）P（AC）P（BC）
42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.
【解】设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.
将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故
C33!
3P（A1）4348
而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故
C114P（A3）3416
因此P（A2）1P（A1）P（A3）131981616
21C194C3C3或P（A2）4316
43.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】掷2n次硬币，可能出现：
A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，
C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.
可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以
P（A）1P（C）2
由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为
n1n1nP（C）C2n（）（）22
11n故P（A）[1C2n2n]22
44.掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知
P（A）=P（B）
（1）当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）
=0.5
（2）当n为偶数时，由上题知
n112P（A）[1Cn（）n]22
45.设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.
【解】令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.
乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数.
显然有
=（甲正≤乙正）=（n+1甲反≤n乙反）（甲正>乙正）
11
=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）
由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）
因此P（甲正>乙正）=12
46.证明“确定的原则”（Surething）：
若P（A|C）≥P（B|C）,P（A|）≥P（B|），则P（A）
≥P（B）.
【证】由P（A|C）≥P（B|C）,得
P（AC）P（BC）,P（C）P（C）
即有P（AC）P（BC）
同理由P（A|C）P（B|C）,
得P（AC）P（BC）,
故P（A）P（AC）P（AC）P（BC）P（BC）P（B）
47.一列火车共有n节车厢，有k（k≥n）个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,„,n）,则
（n1）k1kP（Ai）
（1）nkn
2P（AiAj）
（1）k
n
n1kP（Ai1Ai2Ain1）
（1）n
其中i1,i2,„,in1是1，2，„，n中的任n1个.
显然n节车厢全空的概率是零，于是
11kS1P（Ai）n
（1）kC1
（1）nnni1
22S2P（AiAj）Cn
（1）k
n1ijn
Sn1
Sn0
P（Ai）S1S2S3
（1）n1Sni1n1i1i2in1nnn1P（Ai1Ai2Ain1）Cn（1n1k）n
12
Cn
（1）Cn
（1）
（1）Cn（1
故所求概率为
n11nk22nknn1n1k）n1k2in1k2n1n11P（Ai）1C1
（1）C
（1）
（1）C
（1）nnni1nnn
48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：
不论ε>0如何小，只要不断地独
立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.
【证】
在前n次试验中，A至少出现一次的概率为
1
（1）n1（n）
49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，
将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？
【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}
B={这只硬币为正品}
由题知P（B）mn,P（B）mnmn
1P（A|B）r,P（A|B）12
则由贝叶斯公式知
P（B|A）P（AB）P（B）P（A|B）P（A）P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）
m1rmrm2n1mn2rmn
50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：
某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用
火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？
第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率
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