线段BA上以每秒
cm的速度由点B向点A运动．同时，动点Q在线段AC上由点N向点C
运动，且始终保持MQ⊥MP．一个点到终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为t秒（t>0）．
（1）△PBM与△QNM相似吗？
请说明理由；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4
cm．
①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为s（cm2），求S与t的函数关系式．（不必写出t的取值范围）（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，请说明理由．
例8如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE－EF－FC－CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC－CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t>0）．
（1）D，F两点间的距离是▲；
（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？
若能，求出t的值．若不能，说明理由；
（3）当点P运动到折线EF－FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；（4）连结PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．
例9已知：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.
（1）当P点在BC边上运动时，求证：
△BOP∽△DOE；
（2）设
（1）中的相似比为k，若AD︰BC=2︰3.请探究：
当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？
①当k=1时，是；②当k=2时，
是；③当k=3时，是.并．证．明．k=2时的结论.
AED
O
BPC
例10如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：
s）．
（1）当t=（）s时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
练习
1.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：
△PQE∽△PMF；
（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA
的大小有怎样的关系？
并证明你的猜想；
2.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm．BC=4cm，CD=5cm．动
点P从点B开始沿折线BC﹣CD﹣DA以1cm/s的速度运动到点A．设点P运动的时间为t
（s），△PAB面积为S（cm2）．
（1）当t=2时，求S的值；
（2）当点P在边DA上运动时，求S关于t的函数表达式；
（3）当S=12时，求t的值．
3.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值
（3）试证明：
PQ的中点在△ABC的一条中位线上
考点2翻折中的相似三角形
例1已知矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6．
（1）如图1，点E是BC边上的一点，BE＝2，AE、BD交于点F．
①求AF：
FE的值；②求△BEF的面积；
（2）如图2，将矩形纸片沿MN折叠，使点B与边CD的中点重合，点A、B的对应点为A1、B1，A1B1与DN交于点G，求△MCB1和△B1DG的周长之比．
例2如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，拆痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．
（1）若△CEF与△ABC相似，
①当AC＝BC＝2时，AD的长为；
②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？
请说明理由．
例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是
A．63B．123C．183D．243
考点3旋转中的相似三角形
例1如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q；
（1）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，求证：
OA·BQ＝AP·BP；
（2）在
（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l，写出，关于m的函
数解析式；
（3）直线AB上是否存在点P，使△POQ为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例2如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．AO⊥BC于点O，F是线段AO上的点（与A、O不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连结FE，FC，BF．
（1）求证：
BE＝BF；
（2）如图，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．
①求证：
△AGC∽△KGB；
②当△BEF为等腰直角三角形时，请直接写出AB：
BF的值．
例3如图，Rt△AB'C'是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC'交斜边于点E，CC'的延长线交BB'于点F．
（1）试说明：
△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC＝α，∠CAC'＝β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．
考点4相似三角形与函数的关系
例1如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－4+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
3
点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当点P、Q运动时，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止，设点P、Q运动的时间为t秒（t>0）．
（1）点Q的坐标是（▲，▲）（用含t的代数式表示）；
（2）当点E在BO上时，四边形QBED能否为直角梯形？
若能，求出t的值；若不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，直线DE经过点O．
例2在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以
OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点
F．求直线DE的解析式；
（3）点M是
（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？
若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
例3探究与应用：
在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：
（1）请就图①证明上述“模块”的合理性；
（2）请直．接．利．用．上述“模块”的结论解决下面两个问题：
①如图②，已知点A（－2，1），点B在直线y＝－2x＋3上运动，若∠AOB＝90°，求此
时点B的坐标；
②如图③，过点A（－2，1）作x轴与y轴的平行线，交直线y＝－2x＋3于点C、D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标．
例4如图①，将直角梯形OABC放在平面直角坐标系中，已知OA＝5，OC＝4，BC∥OA，BC
＝3，点E在OA上，且OE＝1，连结OB、BE．
（1）求证：
∠OBC＝∠ABE;
（2）如图②，过点B作BD⊥x轴于D，点P在直线BD上运动，连结PC、P、PA和CE．
①当△PCE的周长最短时，求点P的坐标；
②如果点P在x轴上方，且满足S△CEP：
S△ABP＝2：
1，求DP的长．
如图1，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
（1）如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
（2）如图3，在△ABC中，∠A<∠B<∠C．若△ABC的三个内角平分线的交点P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
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