离散数学课本定义和定理.docx
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离散数学课本定义和定理
..
第1章集合
1.1集合的基本概念
1.集合、元（元素）、有限集、无限集、空集
2.表示集合的方法：
列举法、描述法
3.定义1.1.1（子集）：
给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则
称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。
如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，
并且称A为B的一个真子集。
4.定义1.1.2（幂集）：
给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为
A的幂集，记为或
1.2集合的运算
定义1.2.1
（并集）：
设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集
合，称为A和B的并集，记为
.
定义1.2.2（交集）：
A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，
称为A和B的交集，记为
.
定义1.2.3
（不相交）：
A和B是两个集合，如果它们满足
，则称集合A和B是不
相交的。
定义1.2.4
（差集）：
A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为
A和B
的差集，记为.
定义1.2.5
（补集）：
若A是空间E的集合，则E中所有不属于
A的元构成的集合称为
A的
补集，记为.
定义1.2.6（对称差）：
A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为
1.3包含排斥原理
定理1.3.1设为有限集，其元素个数分别为，则
定理1.3.2设为有限集，其元素个数分别为，则
定理1.3.3设为有限集，则
重要例题P11例1.3.1
...
..
第2章
二元关系
2.1
关系
定义2.1.1
（序偶）：
若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为
，则
成为一个序偶。
※对于序偶
和
，当且仅当
并且
时，才称
和
相等，记为
定义2.1.2
（有序元组）：
若
是个元，将它们按前后顺序排列，记为
，则成为一个有序元组
（简称元组）。
定义2.1.3
（直接积）：
和
是两个集合，则所有序偶
的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为
.
定义2.1.4
（直接积）：
设
是个集合，
，则所有
元组
的集合，称为
的笛卡尔积（或直接积），记为
.
定义2.1.5
（二元关系）
若和是两个集合，则
的任何子集都定义了一个二元关系，称为
上的二元
关系。
如果
，则称为
上的二元关系。
定义2.1.5
（恒等关系）：
设是上的二元关系，
，则称
是上的恒等关系。
定义2.1.7
（定义域、值域）：
若是一个二元关系，则称
为的定义域。
为的值域。
定义2.1.8
（自反）：
设
是集合上
的关系，若对于任何
，都有
即
则称
．．
关系是自反的。
定义2.1.9
（反自反）：
设
是集合上
的关系，若对于任何
，都满足
即
对
任何
都不成立，则称关系
是反自反的。
定义2.1.10（对称）：
设
是集合上
的关系，若对于任何
，只要
就有
那
么称关系
是对称的。
定义2.1.11（反对称）：
设
是集合上
的关系，若对于任何
，只要
并且
时,
就有
，那么称关系
是对称的。
定义
2.1.11（传递）设
是集合上
的关系，若对于任何
，只要
并且
时，
就有
，则称关系
是传递的。
定理2.1.1
设是集合上
的关系，若是反自反的和传递的，则
是反对称的。
2.2
关系矩阵和关系图
定义
无定理无
2.3
关系的运算
定义2.3.1
（连接）：
设
为
上的关系，
为
上的关系，则定义关系
...
..
称为关系和的连接或复合，有时也记为.
定义2.3.2（逆关系）：
设为上的关系，则定义的逆关系为为上的关系：
.
定理2.3.1
设和都是
上的二元关系，则下列各式成立
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
定理2.3.2设为上的关系，为上的关系，则
2.4闭包运算
定义2.4.1
（自反闭包）：
设是集合
上的二元关系，如果
是包含
的最小自反关系，则
称是关系
的自反闭包，记为
.
定义2.4.2（对称闭包）：
设
是集合
上的二元关系，如果
是包含
的最小对称关系，则
称是关系
的对称闭包，记为
.
定义2.4.3（传递闭包）：
设
是集合
上的二元关系，如果
是包含
的最小传递关系，则
称是关系
的传递闭包，记为
或.
定理2.4.1
设是集合上的二元关系，则
（1）
是自反的，当且仅当
.
（2）
是对称的，当且仅当
.
（3）
是传递的，当且仅当
.
定理2.4.2
设是集合
上的二元关系，则
.
“
恒等关系”
定理2.4.3
设是集合
上的二元关系，则
.
“
逆关系”
定理2.4.4
设是集合
上的二元关系，则
.
“幂集”
定理2.4.5
设是一个
元集，是上的二元关系，则存在一个正整数
，使得
.
2.5等价关系和相容关系
定义2.5.1（覆盖、划分）：
是一个集合，,如果，则称
...
..
是的一个覆盖。
如果
，并且
，则称是
的一个划分，
中的元称为
的划分块。
定义2.5.2
（等价关系）：
设是上的一个关系，如果
具有自反性、对称性和传递性三个
性质，则称
是一个等价关系。
设
是等价关系，若
成立，则称
等价于.
定义2.5.3（等价类）：
设是上的一个等价关系，则对任何
，令
，
称
为关于
的等价类，简称为
的等价类，
也可以简记为.
定义2.5.4
（同余）：
对于整数
和正整数
有关系式：
如果
，则称
对于模
同余的，记作
定义2.5.5
（商集）：
设是上的一个等价关系，由
引出的等价类组成的集合
称
为集合上由关系产生的商集，记为
.
“等价类的集合”
定理2.5.1
若是
上的一个等价关系，则由
可以产生唯一的一个对
的划分。
“商集”
定义2.5.6
（相容关系）：
设是上的一个关系，如果
是自反的和对称的，则称
是一个相
容关系。
相容关系可以记为.
所有的等价关系都是相容关系，但相容关系却不一定是等价关系。
定义2.5.7
（最大相容块）：
设
是一个集合，
是定义在
上的相容关系。
如果
中
的任何两个元都有关系
，而
的每一个元都不能和
中所有元具有关系
，则称是的
一个最大相容块。
2.6
偏序关系
定义2.6.1
（偏序关系）：
是定义在集合
上的一个关系，如果它具有自反性、反对称性和
传递性，则称
是上的一个偏序关系，简称为一个偏序，记为
.更一般地讲，若
是一个
集合，在上定义了一个偏序
，则我们用符号
来表示它，并称
是一个偏序集。
定义2.6.2
（全序/链）：
是一个偏序集，对任何
，如果
或
这两者中至
少有一个必须成立，则称
是一个全序集或链，而称
是上的一个全序或线性序。
定义2.6.3
（盖住）：
是一个偏序集，
，若
，并且不存在
使
并
且
，则称
盖住.“紧挨着”
定义2.6.4
（最小元、最大元）：
是一个偏序集，如果
中存在有元
，对任何
都
满足
，则称是
的最小元。
如果
中存在有元
，对任何
都满足
，则称
是
的最大元。
定义2.6.5（极小元、极大元）：
是一个偏序集，如果
而中不存在元
，使
则称是
的极小元。
如果
而中不存在元
使
则称是
的极大元。
定义2.6.6
（上界、下界、上确界、下确界
）：
是一个偏序集，
如果对
于所有的
都有
则称是的一个上界。
如果对于所有的
都有
则称是
的一个下界。
如果
是的一个上界，对于
的任一上界
都有
则称是的最小上界
（上确界）.
如果是的一个上界，对于
的任一上界
都有
则称是的最大下界
（下确界）.
定义2.6.5
（良序集）：
设
是一个偏序集，对于偏序
，如果
的每个非空子集都具有
最小元，则称
是一个良序集，而称
是上的一个良序。
...
..
每个良序集都是全序集。
第3章函数和运算
3.1函数
定义3.1.1（映射、象）：
关系定义在上，如果对于每一个，都有唯一的一个，
．．．．．．．．
使，则称是从到的一个函数（或映射），记为.称为函数的变元，称
为变元在下的值（或象），记为.
注意：
（1）定义域，而不是.
（2）每一个，有唯一的，使.多值函数不符合定义
（3）值域.
定义3.1.2
（受限、扩展）：
若是从
到的一个函数，
，则
也是一个函数，
它定义于
到，我们称它是
在上的受限。
如果是函数
的一个受限，则称
是的一个扩
展。
★定义3.1.3（映上、映、一对一、一一对应
）：
若
，则的值域
时，称函
数是映上的（或满射）。
如果的值域
时，则称函数
是映的。
如果
，
则有
则称是一对一的（单射）（即
时，有
）.
如果映上的，又是一对一的，则称
是一一对应的（或双射）。
定义3.1.4
（复合运算）：
若
，则定义和的复合运算
为：
即
.
注：
逆函数
若要存在需要满足以下条件：
（1）函数
是映上的
（2）函数必须是一对一的
定义3.1.5
（恒等函数）函数
称为恒等函数。
定理3.1.1
，则
的充分必要条件是
，并且
3.2运算
定义3.2.1
（二目运算）：
若是一个集合，
是从
到的一个映射（函数），则称为
一个二目运算。
一般地，若
是从
到的一个映射（
是正整数），则称是一个目运算。
运算的封闭：
运算的结果总是集合
中的一个元，因此这个定义保证了运算的施行，这
种情况又称为集合
对于该种运算是封闭的。
定义3.2.2
（可交换）：
若
是一个运算，对于任何
，都有
，
则称运算
是可交换的（或者说，
服从交换律）.
定义3.2.3（可结合）：
若
是一个运算，对于任何
都有
，则称运算
是可结合的（或者说，
服从结合律）.
定义3.2.4（可分配）：
若
是一个运算，
是一个运算，对于任何
，
都有
，则称运算
对于运算
是可分配的（或者说，
对于服从
分配律）
...
..
定义3.2.5
（左单位元、右单位元
）：
设
是上的一个运算，如果
中存在有一个元
，对
于任何
，有
，则称
是运算
的左单位元；如果
中存在有一个元
，对于任
何
，有
，则称
是运算
的右单位元。
定理3.2.1
若是
上的一个运算，
和
分别是它的左、右单位元，则
，并且是
唯一的（因此，称
为运算
的单位元）.
定义3.2.6（左零元、右零元
）：
设
是上的一个运算，如果
中存在有一个元
，对于任
何
，有
，则称
是运算
的左零元；如果中存在有一个元
，对于任何
，
有
，则称
是运算
的右零元.
定义3.2.7
（等幂）：
若是上的一个运算，
，对于运算
，有
，则称元
对
于运算
是等幂的。
定义3.2.8（左逆元、右逆元）：
若
是上的一个运算，它具有单位元
，对于任何一个
如果存在有元
，使
，则称
是的左逆元；如果存在有元
，使
，
则称
是的右逆元；
定理3.2.3
若是上的一个运算，它具有单位元
，并且是可结合的，则当元
可逆时，
．．．
它的左、右逆元相等，并且唯一的（此时称之为
的逆元，并且记为
）.
定义3.2.9
（可消去）：
若是上的一个运算，对于任何
，如果元满足：
则
；或
则
，则称元对于运算
是可消去的。
第4章无限集合
4.1基数
★定义4.1.1（等势）：
若和
是两个集合，如果在
和之间可以建立一个一一对应
．．．．
关系，则称集合
和等势，并记为
。
定理4.1.1
令
是由若干个集合为元所组成的集合，则
上定义的等势关系是一个等价关
系。
定义4.1.2
（有限集、无限集）：
若是一个集合，它和某个自然数集
等势，
则称是一有限集，不是有限集的集合称为无限集。
定理4.1.2
有限集的任何子集都是有限集
定理4.1.3
有限集不与其任何真子集等势
定理4.1.4
自然数集
是无限集
4.2可列集
定义4.2.1（可列集）：
若是一个集合，它和所有自然数的集合等势，则称是一个可列
...
..
集。
可列集的基数用符号
表示。
定理4.2.1
若是一个集合，
可列的充分必要条件是可以将它的元排列为
的
序列形式。
定理4.2.2
任何无限集必包含有可列子集。
定理4.2.3
可列集的子集是有限集或可列集（记为：
）
定理4.2.4
若是可列集，是有限集，并且
，则
是可列集（记为：
）.
定理4.2.5
若和都是可列集，并且
，则
是可列集（记为：
）
推论4.2.1
设
都是可列集，则
是可列集（记为：
）
定理4.2.6
设
都是可列集，并且
，则
是可
列集（记为：
）
推论4.2.1
设
都是可列集，则
是可列集.
定理4.2.7
所有有理数的集合是可列集。
4.3不可列集
定理4.3.1
区间
中所有实数构成的集合是不可列的。
定义4.3.1
（连续基数）：
开区间
中所有数组成集合的基数记为
，具有基数
的集合称
为连续统，
称为连续基数。
推论：
集合
的基数也是.
定理4.3.2
所有实数的集合是不可列的，它的基数是
.
定理4.3.3
对于任何数
，若
，则区间
以及
都具有连
续基数
定理4.3.4
一个无限集
和一个可列集作并集时，并集的基数等于集
的基数。
推论4.3.2
一个无限集
和一个有限集的并集，其基数等于集
的基数。
4.4基数的比较
定义4.4.1
（
）设集合
的基数是
.如果与的真子集等势，而
和不等势，则
称的基数小于
的基数，记为
.
定理4.4.1
：
是两个集合，若
与的某一子集等势，
与的某一子集等势，则
.
定理4.4.2：
是任意两个集合，
的基数为
的基数为
，则下列三个关系
：
中必有一个且只有个成立。
定理4.4.3
：
若是有限集
的基数，则
.
定理4.4.4
：
若
是无限集合，则
定理4.4.5：
若是可列个互不相交的集合，它们的基数都是，则的基
...
..
数是（记为：
）
定理4.4.6
：
可列集的幂集，其基数是
（记为：
）
定理4.4.7
：
若是一个集合，
是的幂集，则
.
此定理说明：
不存在最大的基数。
补充：
第5章形式语言
5.1文法和语言
定义5.1.1（产生式）：
一个产生式或重写规则是一个有序对
，通常写成
其中，
是一个符号，而
是一个符号的非空有限串，
是这个产生式的左部，而
是产生式的右部.
产生式将简称为规则。
定义5.1.2（非终极符号、字母表、终极符号、开始符号）：
一个文法
是一个四元组
.
其中，
是元语言的语法类或变元的集合，它生成语言的串，这些语法类或变元成为
非终
极符号，
是符号的非空有穷集合，称为字母表，
的符号称为终极符号.
是
之一，是
词汇表的一个识别元素，称为
开始符号.
是产生式的集合。
定义5.1.3
（直接产生、直接推导，直接规约
）：
设是一个文法，如果
，
而中有规则
，就称串
直接产生串
，或称是直接推导出来的，或
直接规约到,
记为.
定义5.1.4（产生、规约到、推导）：
设是一个文法，如果存在产生式序列
使得
，而
就说
产生（规约到
或是的推导），记为
.
定义5.1.5
（句型）：
令是一个文法，如果串
可从开始符号推导出来，即如果
，则
称为一个句型。
补充：
若
，则
其中
是空串，
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