行列式与矩阵秩.docx

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行列式与矩阵秩

行列式与矩阵秩

行列式是n×n个元素的一种规定算法。

非数学专业的学生学习这一部分时，要重在结论与方法，不要太在意行列式定义及行列式性质证明等细节。

代数余子式与行列式展开定理是这部分的重点。

1.代数余子式

n阶行列式划去第i行第j列后得到的n－1阶行列式，称为其元素aij的余子式。

记为Δij；添加一个符号，又记Aij=（－1）的（i+j）次方Δij，称为其元素aij的代数余子式。

aij也有双重身份。

既表示位于行列式第案i行第j列交叉处的元素，又代表那个位置。

某一行（列）元数的代数余子式有下述两个特点：

（1）它们的“外加符号”（－1）的（i+j）次方是顺次交错的。

（2）即便在行列式中将第i行元素划掉，它们的代数余子式的信息仍然还全部保留着。

2.行列式展开定理

代数余子式的基本作用就是给n阶行列式一个展开式。

行列式展开定理已知n阶行列式D，则对第i行，1≤i≤n，有

ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=D

而i≠j时ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0

鉴于逆向思维的困难，我有意把第一个公式的左右端对调。

从右向左，叫n阶行列式D按第i行展开。

（拉普拉斯展开定理的特殊情形。

）

从左向右，强调第i行与自己的代数余子式行向量作内积，恰是原行列式。

定理的后式表明，第i行向量与别的任一行的代数余子式行向量正交。

思考

（1）连续使用行列式展开定理，最终可以把n阶行列式表示为若干个3阶或2阶行列式的线性组合。

如果你能利用行列式的性质，（即把行列式的某行的k倍加到另一行，行列式的值不变。

）先将n阶行列式D化为上（下）三角行列式，则D的值等于上（下）三角行列式主对角线上元素的连乘积。

思考

（2）已知n阶行列式D，问，线性组合c1Ai1+c2Ai2+------+cnAin=？

与行列式展开定理公式对比，这个线性合相当于用系数行c1，c2，---，cn代替了（或说，具体化了）D的第i行。

逆向思维，它等于D的第i行换成此系数行而得到的新行列式Di

例18已知四阶行列式D的第3行元数都是2，则A21+A22+A23+A24=0,为什么?

分析A21+A22+A23+A24等于将D的第2行元数全换为1而得到的新行列式。

显然，这个行列式的第2行与第3行成比例。

例19设A是个n阶方阵。

B是将A的第1行划去而得到的（n－1）×n阶矩阵。

作齐次线性方程组Bx=0，你能用代数余子式概念，给出它的一个解吗？

分析仅仅划去方阵A的第1行，那就还保留着|A|的第1行元素的代数余子式信息。

第1行元素的代数余子式组成的向量，与其它各行都正交。

因而它就是方程组Bx=0的一个解向量。

例20设n阶行列式D的第1行是n个可导函数，其它行的元都实数。

则D是这n个可导函数的线性组合。

为什么？

你能用行列式表示这个线性组合的导数吗？

分析你能左右运用行列式展开定理，“展开”“回收”自由，这类题就只是个小游戏。

对D按第1行展开，每个代数余子式就是一个实数。

展开式就是那n个可导函数的线性组合。

线性组合的导数，是这n个函数的导数的线性组合。

系数还是第1行元素的代数余子式。

逆向思维，导数的线性组合就是行列式D的第1行各函数，分别换成其导数后得到的n阶行列式。

（潜台词：

自己写个三阶情形，好好想想。

）

（3）格莱姆法则_利用代数余子式，可以用消元法解有n个未知量n个方程的线性方程组Ax=b

如果D=|A|≠0，则方程组有唯一的解

x=（D1/D，------，Dn/D）；Dj是将D的第j列换为常数列b而得到的行列式。

格莱姆法则的证明过程，是运用代数余子式的“正交消元法”。

值得一看。

由此推得：

n个未知量n个方程的齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是|A|≠0

n个n维向量线性无关的充分必要条件是，它们排成的行列式不为0

思考（4）设如果A是n阶方阵，且|A|=0，则由行列式展开定理知，A的任一行元素的代数余子式，与A的每个行向量都正交。

即

A的任一行元素的代数余子式，都是齐次线性方程组Ax=0的解向量。

遇到n个未知量n个方程的线性方程组的题目，要首先看看（3）与思考（4）能否用上。

3．n阶方阵A的伴随阵A*

每个n阶方阵A相应有行列式|A|；|A|有n×n个代数余子式，它们按转置方式排成n阶方阵A*，称为A的伴随阵。

由A*的构造设计得到“基本恒等式”AA*=A*A=|A|E

基本恒等式可以将格莱姆法则的证明过程大大简化。

即|A|≠0时，有

Ax=b—→A*Ax=A*b—→|A|x=A*b—→x=A*b∕|A|

考研试题围绕代数余子式与A*形成一个考点。

例21已知三阶方阵A的每一个元素都等于它的代数余子式。

且a33=－1，|A|=1，若b=（0，0，1）ˊ，则

方程组Ax=b的解是

（A）（3，5，2）ˊ；（B）（1，2，3）ˊ；（C）（0，0，－1）ˊ；（D）（1，0，－1）ˊ

分析由已知条件选第三列来展开|A|，得到方程a13·a13+a23·a23+a33·a33=1

因为a33·a33=1，所以a13=a23=0；A的第三列为（0，0，－1）

Ax=b是3个未知量3个方程的方程组。

先用格莱姆法则试试求解。

已知|A|的第3列（0，0，－1）ˊ。

若把|A|的第1或第2列分别换成

b=（0，0，1）ˊ，就会有两列成比列，故D1=D2=0，应选（C）。

4．矩阵的秩

从应用角度考虑，行向量组的秩表示齐次线性方程组中相互独立的方程个数。

应该就是系数矩阵的秩。

从研究矩阵出发，则要兼顾行与列。

定义——矩阵A的不为零的子式的最高阶数r，称为矩阵A的秩。

记为r（A）

理解

（1）已知矩阵A的为秩r→A至少有一个r阶子式不为0→

→排成该子式的r个r维的行（或列）向量线性无关→

→“线性无关，延长无关”。

这些r维行（或列）向量所在的，矩阵A的r个行（或列）向量线性无关。

→它们是A的行（或列）向量组的一个最大无关组。

（等价性原理（不证）——矩阵的秩，即是它的行（或列）向量组的秩。

）

→齐次线性方程组Ax=0相应的r个方程相互独立。

—→一个方程可以解出一个未知量。

r个相互独立的方程只能解出r个未知量。

方程组的通解中必定含有n－r个独立未知量。

只能把它们取为n－r个独立常数。

这表明：

齐次线性方程组Ax=0解向量集的秩=n－r（A）

（*画外音：

我称这个公式为“核心恒等式”。

它贯穿全课程，年年必考。

）

如果系数矩阵的列向量组线性无关，即秩r=n，则齐次线性方程组只有唯一的零（零向量）解向量。

n－n=0，完全一至

理解

（2）已知矩阵A的秩为r→A的所有r+1阶子式全为0→

→如果要计算矩阵内的参数值，选取含有参数的r+1阶子式列方程。

理解（3）A是m×n阶矩阵，则秩r（A）≤min（m，n）；

（画外音：

可以称为，矩阵秩的第一个“不超过”，“自然不超过”。

）

若A是非零阵，则r（A）≥1

非零列向量或行向量视为列矩阵或行矩阵，显然其秩为1

如果n阶方阵A的秩r（A）=n，就称A为满秩方阵。

或可逆的，非退化的；非奇异的。

*例22A*是n阶方阵A的伴随阵。

试讨论

（1）若|A|≠0，r（A*）=？

（2）r（A）＜n－1时r（A*）=？

分析

（1）若|A|≠0，由“基本恒等式”AA*=A*A=|A|E，即

AA*∕|A|=A*A∕|A|=E，A*满秩。

A*∕|A|与A互为逆阵。

（2）若r（A）＜n－1，则A的所有n－1阶子式全为0；

从而|A|的代数余子式都为0，A*是零矩阵。

r（A*）=0

**（3）r（A）=n－1的情形是一个高级问题。

（“核心恒等式”用于讨论矩阵的秩。

）

若r（A）=n－1，则A至少有一个n－1阶子式不为0，A*是非零阵，r（A*）≥1

又，|A|=0，由行列式展开定理看出，A的任一行元素的代数余子式，即A*的任意一个列向量，与A的各个行向量都正交。

这表明它们都是方程组Ax=0的解。

于是

A*的列向量组可以被方程组Ax=0的基础解系线性表示。

r（A*）≤方程组Ax=0的解集的秩=n－r（A）=n－（n－1）=1夹逼得r（A*）=1