双曲余弦窗系列在FIR滤波器设计中的应用.docx

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双曲余弦窗系列在FIR滤波器设计中的应用

双曲余弦窗系列在FIR滤波器设计中的应用

摘要：

本文根据双曲余弦函数功能提出了一种新的可调窗口界面；该界面简称为cosh窗口。

他的推导过程和凯塞窗的推导一样，但是他们优点是在其时域功能上没有幂级数的展开式，在此我们对cosh窗口的频谱特性进行研究，它的性能和凯塞窗在纹波比和副瓣滚降特性比

方面有相同的长度和归一化的主辩宽度。

仿真结果表明，cosh窗口提供更好的副瓣衰减的特性，这可能是有用的某些应用，如过滤器的设计和波束形成。

它也表明，建议的窗口与海明窗的结合，可以进行更好的纹波与Kaiser窗和海明窗的结合相比。

该窗口最后的频谱对比是通过超级窗口设计同一窗口长度来完成的。

主辨宽度和副辩滚降比，结果表明，该窗口的纹波比性能更好比较三个参数的超级窗口来说，具有较宽的主辨宽度和较高的副辩滚降比。

此外本文介绍了该窗口在设计FIR滤波器中的应用。

COSH窗口过滤器的设计公式，以满足给定的低通滤波器规范的建立，并Kaiser窗进行对比。

结果表明，cosh窗口设计的滤波器比Kaiser窗设计的滤波器提供更好的远端阻带衰减。

关键词：

双曲余弦窗、凯塞窗、海明窗、超级窗、窗口功能、FIR滤波器设计

1介绍

窗口功能（或简称为窗口）被广泛应用于数字信号处理，信号分析和估计，数字滤波器设计及语音处理中的应用。

在许多窗口文献上都有提到过，但由于他们是最理想的解决方案，最好的窗口是根据实际应用而定。

凯塞窗[3]是一个众所周知的灵活的窗口，并广泛用于频谱分析和FIR滤波器设计应用，因为它实现无限接近离散长球功能，有最大的能量集中在主瓣。

通过调整两个独立的参数，它可以控制的光谱参数，如主瓣宽度和纹波比为各种应用[3,4]。

旁瓣衰减比在一些应用程序中作为另一个重要的频谱参数。

对于波束成形的应用，较高的旁瓣衰减比意味着，它可以抑制远端干扰[2]，而在滤波器的应用中，他可以通过抑制频带的的衰减来减少远端的衰减【5】。

而对于语音处理，它减少了从一个波段到另一个[波段的能量泄漏6]

本文提出了基于余弦双曲函数的一个新窗口的建立，与Kaiser窗相比具有较高的副瓣滚降比特性。

该窗口在光谱参数方面和Kaiser窗、超级窗对比，随后得出使用该窗口设计滤波器。

2该窗口的推导

A窗口的光谱特性

窗口的W（nT）是一个以N为变量的时域函数在N不为零时n=（N-1）/2，在N为零时为其他参数，而W（nT）可以有以下给出的方程求出：

在这里T是采样周期

一个典型的窗口都有一个标准化的振幅谱在一定的分贝范围内，如图1所示：

图一一个典型的窗口标准化的振幅谱

图一中的标准化振幅谱是通过以下给出的方程求出：

具有共同频谱特性参数的窗口是通过主频宽度（WM）来区分开的。

纹波比（R）和旁瓣滚降比（S）从图1可以显示出，这些参数可以被定义为:

WM=两倍半的主辨宽度=2WR

R=大的旁瓣幅值-主瓣幅值在=S1

S=最大副辩幅值-最小副辩幅值=S1-SL

在实际应用中，它需要一个窗口同时满足有较小的纹波比和较窄的主辨宽度，但是这一要求显然是相互矛盾的[1].

B.Kaiser窗

在离散时间域，Kaiser窗被定义为（3）：

其中αk为可调参数，I0（X）是修正Bessel函数的第一项为零的扩张幂级数，

虽然存在一个收敛的近视值可以用来计算Kaiser窗频谱。

精确的Kaiser频谱可以从

（1）获得。

而我们所知道的固定窗口中，虽然可以通过增加窗口长度来减小主辨宽度，但是纹波比几乎保持不变。

而对于调节可调参数的值，其值越大主辨宽度也就越宽，纹波比也就越小。

C模拟的窗口

X的双曲余弦函数可以表示为：

从图二中可以看出双曲cosh（x）函数与Io（x）函数具有相同的形态特征。

因此我们可以提出一个新的窗口简称为cosh窗。

图2cosh（x）函数与Io（x）函数的比较

由

（1）中我们可以知道cosh（x）窗在αC=0的窗口为矩形。

而对于Kaiser窗，可以通过公式

（1）获得确切的频谱值。

图3显示了在N=31、不同的Ac值下cosh窗的频率特性。

这些数字显示中我们很容易观察到ac的增加对主辨宽度和纹波比的影响，分别加宽了主辨宽度和减小了纹波比。

图4中显示建议的窗口在N=101和51时可调的形状参数和纹波比率之间的关系。

从图中可以看出随着N的变化纹波比几乎保持不变。

对于某些应用，如频谱分析，我们定义了方程为了满足窗口设计的频谱参数设计要求。

研究表明ac和R可以通过一些近似关系表示出来，我们可以通过使用二次多项式曲线拟合方法：

图3cosh窗在ac=0、2、4而N=31时的频谱。

图4在cosh窗当N=51和101时ac与R的关系曲线

第二种设计方程的关系是窗口长度和纹波比，来预测一个给定数量的窗口长度R和WR，标准化的宽度D=2wR（N-1）是试用[3].D和R之间双曲余弦窗口的关系Alpha

。

的是由图5得出的。

Alpha

为上述图使用二次多项式曲线拟合方法，D和R之间的近似设计的关系，可以建立为

可以预见一个窗口长度为N的整数值[5]

通过（9）使用（7），

一个双曲余弦窗口可以被设计为满足纹波比和主瓣宽度的规定值。

图5.双曲余弦窗口在N=51和101的D和R之间的关系

图6.双曲余弦在N=51和101时D和S之间的关系。

图6显示了在双曲余弦窗口旁瓣滚动比率依据规范化宽度参数为N=51和101的变化。

从图中可以观察，旁瓣滚降比增加且归一化宽度增加。

并相对于纹波比，N的一个变化影响到旁瓣滚降的比例

三窗口谱之比较

A.Kaiser窗的比较

双曲余弦和Kaiser窗在在N=101时纹波比的比较示于图7，可以看出，Kaiser窗口中更好地执行比双曲余弦窗口纹波比，并且差异成为更大当归一化的宽度增加。

双曲余弦和Kaiser窗旁瓣滚降比的另一个比较与归一宽度在图8。

并且这个图表明，双曲余弦的比凯泽窗口执行更好的滚降率，而且归一化宽度增加和差异变得更大。

图7。

在N=101时纹波双曲余弦和Kaiser窗口之间的比例比较

结合窗口的目的是为单独使用的每个组合提供一个更好的窗口光谱特征。

从上一节中，有人认为，双曲余弦窗口纹波比

比Kaiser窗口的更差。

为了提高其纹波率，建议组合hamming窗口[1]。

图9显示了双曲余弦和Kaiser窗口还有海明窗口的组合，包括一个固定的窗口长度和主瓣宽度之间的比较。

在这个图中，应该注意到，最高旁瓣的幅度，给出纹波比的窗口发生在第一旁瓣，除了之外发生在Kaiser

海明的窗口结合得第三旁瓣。

上述数字与hamming窗的额外信息的数据结果列于表一。

图9，双曲余弦与海明，Kaiser组合在N=51和WR=0.272弧度/秒时的窗口的比较；

表一，N=51时对于各窗口的数据比较

从上述表中，可以看出，双曲余弦和海明窗的结合具有最小的纹波比。

这个例子表明，双曲余弦的窗口比在凯泽纹波比窗可以获得更好的效果，如果它可以使用一个合适的窗口，如海明窗。

C.与超球窗口的比较

作为一个超球窗口的比较，两个具体的例子在N=51时给出。

为WR和S给固定值时双曲余弦和超球窗口的纹波比特性将被比较。

首先比较的例子是窄的主瓣宽度和更小的旁瓣滚降比，

对于WR=0.1501为rad/s和S=22.242分贝，仿真结果如图10和相应的数据表二。

可以看出，超球窗口提供比双曲余弦窗口更好一点的纹波比。

这个例子的超球的窗口参数为μ=1.07374和xμ=1.00151。

第二个比较的例子是，比在WR=0.3095为rad/s和S=60.35dB时，更大的主瓣宽度和较大的旁瓣滚降。

仿真结果如图11，相应的数据在表三。

图10：

当WR=0.1501为rad/s和S=22.242DB与N=51时双曲余弦和超球窗口之间的比较。

表2。

双曲与超球在WR=0.1501弧度/S和S=22.242DB与N=51时Windows之间的比较。

图11。

双曲余弦和超球窗口之间的比较：

WR=0.3095R/S和S=60.35分贝，N=51。

表三。

双曲与超球窗的比较研究，当WR=0.3095为rad/s，S=60.35dBN=51

从图。

11和表三，可以看到，双曲余弦窗口提供了一个比超球窗口显着较好的纹波比。

这个例子的超球的窗口参数为μ=3.65266和xμ=1.00547。

从上述两个具体的例子，我们可以得出结论超球窗口窄的主瓣宽度和更小的旁瓣滚降率比其他窗口有更好的纹波比，但双曲余弦窗口更大的主瓣宽度和较大旁瓣滚降比提供更好的结果。

四FIR滤波器设计中的应用

A.滤波器设计使用窗口方法

设计FIR滤波器傅立叶级数与窗口的方法是最简单的技术，与计算优化方法相比涉及少量的步骤。

使用一个窗口，在傅里叶级数法的目的是截断和平滑

无限长理想的原型滤波器的冲激响应。

关于一个非偶然的滤波器的脉冲突变，使用一个窗口函数W（nt）将得到；

对于一个截止频率的低通滤波器，

是无限长理想滤波器的冲激响应

和

采样频率是可以从下面得到；

延迟非偶然脉冲

在一个周期

可以得到一个临时过滤器：

设计的滤波器在通带和阻带地区的窗口方法的波纹近似相等[4]。

B.滤波的余弦窗口设计方程

为了找到合适的窗口，满足给定的规定过滤器规范，它要获取的窗口参数和滤波器参数之间的关系。

图12显示了双曲余弦窗口，αC参数，最小阻带衰减之间的关系，因此，因为N=127，从图中可以看出，作为窗口的参数增加时最小阻带衰减也增加。

使用二次多项式曲线拟合方法，作为第一个过滤器的设计方程的近似表达式可以被发现从21≤As≤100分贝。

作为第二个过滤器的设计方程，最小阻带衰减和归一化宽度，D之间的关系需要找到满足给定的过滤器规格的过滤器的最小长度。

归一化的宽度参数，可以计算由下列公式[5]

其中，ΔW是过渡带宽。

D和AS之间的关系如图13。

在相同的图里，双曲余弦和Kaiser窗设计的过滤器之间的比较也给出了。

使用二次多项式曲线拟合方法，为D的近似表达式可以发现21≤As≤100dB

图12，双曲余弦窗口αC与N=127之间，最小阻带衰减的关系

图13。

由双曲线窗和Kaiser窗设计的滤波器最小阻带衰减比较，N=127

利用（15），最小的奇数滤波器长度需要满足一个给定的As和Δw可确定。

因此，使用过滤器的设计公式中（13），（15）和（16）双曲余弦窗口可以设计以满足规定的滤波器的特性As和ΔW。

图第13条指出，Kaiser窗设计的滤波器比由双曲余弦窗口设计的过滤器具有更好的最小阻带衰减特性

因为另一个比较Kaiser窗的缘故，远端阻带衰减，这也给了最大的阻带衰减，作为一个数字的好坏。

归一化转换宽度，D

图14双曲余弦和Kaiser窗设计的最大阻带衰减的过滤器的比较，N=127

在阻带的尽头的衰减是很重要的一些应用[6]。

比较结果如图14，可以得出结论，作为过渡宽度的增加，由双曲余弦窗口设计的过滤器比Kaiser窗设计的过滤器，更好地执行远端抑制。

五，结论

在本文提出了一种基于余弦双曲函数的家庭可调窗口的一类新建议。

已拟议双曲余弦窗口和Kaiser窗的推导方式相同，但它有在没有其时域函数的幂级数展开的优势。

双曲余弦窗口得到频谱设计方程，Kaiser窗在同一窗口长度和归一化的宽度比较表明，双曲余弦窗口提供更好的旁瓣滚降率的特点，这可能对于某些应用是很有用的。

此外，建议的窗口与Hamming窗的组合纹波被建议与某些波纹比更更重要的的设计。

结果表明，建议的窗口与Hamming窗的组合比Kaiser窗与海明窗的组合，可以执行更好的纹波比。

最后的频谱比较与超球窗口，两个具体的例子表明，窄的主瓣宽度和更小的旁瓣滚降率是超球窗口的纹波比好一点，但更广泛的主瓣宽度和旁瓣滚降越大，双曲余弦窗口明显提供了更好的结果。

此外，提出建议的窗口，在FIR滤波器设计领域中的应用。

建议窗口过滤器的设计公式，以满足给定的低通滤波器规范，建立窗和Kaiser窗的比较讨论。

仿真结果表明，建议的窗口设计的过滤器提供更差的最小阻带衰减，但他们的表现明显优于由Kaiser窗设计的过滤器的最大阻带衰减。