高三数学基础知识手册.docx
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高三数学基础知识手册
《高三数学基础知识手册》
引言
1.课程内容：
必修课程由5个模块组成：
必修1:
集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幕函数）
必修2:
立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3:
算法初步、统计、概率。
必修4:
基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。
必修5:
解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。
不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程有4个系列：
系列2:
由3个模块组成。
选修2—1:
常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2:
导数及其应用，推理与证明、数
系的扩充与复数
选修2—3:
计数原理、随机变量及其分布
列，统计案例。
系列4:
由4个专题组成。
选修4—2:
矩阵与变换。
选修4—4:
坐标系与参数方程。
选修4—5:
不等式选讲。
高中数学解题基本方法
一、配方法
二、换元法
三、待定系数法
四、
定义法
五、
数学归纳法
六、
参数法
七、
反证法
八、
消去法
九、
分析与综合法
十、
特殊与一般法
十一、
类比与归纳法
十二、
观察与实验法
高中数学常用的数学思想
、
数形结合思想
、
类讨论思想
三＞
函数与方程思想
四转化（化归）思想
2.重难点及考点：
重点：
函数，
数列，三角函数，平面向
量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：
函数、圆锥曲线高考相关考点：
⑴集合与简易逻辑：
集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件
⑵函数：
映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用
⑶数列：
数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数：
有关概念、同角关系与诱导公式、和、
差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用
⑸平面向量：
有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用
⑹不等式：
概念与性质、均值不等式、不等式的证
明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用
⑺直线和圆的方程：
直线的方程、两直线的位置关
系、线性规划、圆、直线与圆的
/亠护¥方
位置关糸
⑻圆锥曲线方程：
椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用
⑼直线、平面、简单几何体：
空间直线、直线与平
面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、
空间向量
⑽排列、组合和概率：
排列、组合应用题、二项式定
理及其应用
（11）概率与统计：
概率、分布列、期望、方差、抽样、
正态分布
（12）导数：
导数的概念、求导、导数的应用
（13）复数：
复数的概念与运算
选修4—2:
矩阵与变换。
选修4—4:
坐标系与参数方程。
选修4—5:
不等式选讲。
必修1数学知识点
第一章：
集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、把研究的对象统称为元素，把一些元素
组成的总体叫做集合。
集合三要素:
确定性、互异性、无序性。
2、只要构成两个集合的元素是一样的，就
称这两个集合相等。
3、常见集合：
正整数集合：
N*或N,整
数集合:
Z,有理数集合：
Q,实数集合:
R.
4、集合的表示方法：
列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、一般地，对于两个集合AB,如果集合
A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。
记作AB.
2、如果集合AB,但存在元素XB,且
XA,则称集合A是集合B的真子集.
记作：
AB.
3、把不含任何元素的集合叫做空集.记
作：
•并规定：
空集合是任何集合的
子集.
4、如果集合A中含有n个元素，则集合A
有2n个子集，2n1个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、一般地，由所有属于集合A或集合B的
元素组成的集合，称为集合A与B的并
集.记作：
AB.
2、一般地，由属于集合A且属于集合B的
所有元素组成的集合，称为A与B的交
集.记作：
AB.
3、全集、补集？
CUA{x∣xU,且XU}
§1.2.1、函数的概念
1、设AB是非空的数集，如果按照某种确
定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数X,在集合B中都有惟一确定的数fX和它对应，那么就称f:
AB为集合A到集合B的一个函数,记作：
yfX,XA.
2、一个函数的构成要素为：
定义域、对应
关系、值域.如果两个函数的定义域相
同，并且对应关系完全一致，则称这
两个函数相等.
§122、函数的表示法
1、函数yf（χ）在点X0处的导数的几何意
1、函数的三种表示方法：
解析法、图象
法、歹y表法.
§1.3.1、单调性与最大（小）值
1、注意函数单调性的证明方法：
（1）定义
法:
设X1、：
x2[a,b],x1x2那么
f（xj
f（X2）0
f（X）在［a,b］上是增函
数；
f（X1）
f（X2）0
f（X）在［a,b］上是减函
数.
步骤:
取值一作差
—变形一定号一判
断
格式:
解：
设X1,
x2a,b且x1x2,
贝y：
fX1fX2:
二・・・
（2）导数法：
设函数yf（x）在某个区间
内可导，若f（X）0，则f（x）为增函
数；
若f（X）0』f（x）为减函数.
§1.3.2、奇偶性
1、一般地，如果对于函数fX的定义域内
任意一个X,都有fXfX,那么就称函数fX为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.
2、一般地，如果对于函数fX的定义域内
任意一个X,都有fXfX,那么就称函数fX为奇函数.奇函数图象关于原点对称.
义：
函数yf（x）在点Xo处的导数是曲线
yf（x）在P（xo,f（Xo））处的切线的斜率
f（Xo）,相应的切线方程是
yyof（XO）（XXo）.
2、几种常见函数的导数
①C'o:
②（xn）'nxn1;
3（Sinx）'CoSX；
4（COSx）'SinX；
5（ax）'axina;®（ex）'ex;
⑦（Iogax）'-:
⑧（Inx）'-
XlnaX
3、导数的运算法则
（1）（UV）UV.
III
（2）（UV）UVUV.
II
（3）,U∖'UVUVZ
（3）（―）2（VO）.
VV
4、复合函数求导法则
复合函数yf（g（x））的导数和函数
yf（u）,ug（x）的导数间的关系为yxyuux,即y对X的导数等于y对U的
导数与U对X的导数的乘积.
解题步骤:
分层一层层求导一作积还原.
5、函数的极值
（1）极值定义：
极值是在Xo附近所有的点，都有f（x）V
f（Xo）,则f（Xo）是函数f（x）的极大值；
极值是在Xo附近所有的点，都有f（X）>
1如果在X0附近的左侧f（X）>0,右侧
f'（x）V0,那么f（xo）是极大值；
2如果在Xo附近的左侧f（x）V0,右侧
f（X）>0,那么f（Xo）是极小值.
6、求函数的最值
（1）求yf（x）在（a,b）内的极值（极大或者极小值）
⑵将yf（X）的各极值点与f（a）,f（b）比
较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
注：
极值是在局部对函数值进行比较
（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较（整体性质）。
第二章：
基本初等函数（I）
§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、一般地，如果Xna,那么X叫做a的n
次方根。
其中n1,nN.
2、当n为奇数时，nana;
当n为偶数时，纭Ia.
3、我们规定：
n
⑴ammana0,m,nN*,m1;
⑵an^n0；
a
4、运算性质：
⑴arasarSa0,r,sQ;
⑵arSarsa0,r,SQ;
图象
性
质
（1）定义域：
R
（2）值域：
（0,+∞）
（3）过定点（0,1）,即x=0时，y=1
（4）在R上是增函数
（4）在R上是减函数
（5）X0,ax1；
（5）X0,0ax1
J
⑶abrarbra0,b0,rQ
§2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象：
yaxa0,a
y
2、性质:
y=ax
1、指数与对数互化式:
axNXlogaN;
2、对数恒等式：
a'o9aNN.
3、基本性质：
loga10,logaa1.
4、运算性质：
当a0,a1,M0,N0
时：
⑴logaMN
IOgaM
logaN;
⑵logaM
N
IOgaM
logaN;
⑶logaMn
nlogaM
.
5、换底公式：
logab
logcb
logca
a0,a1,c
0,c1,b
0.
6、重要公式:
Ioganbmm∣ogab
n
7、倒数关系：
1
logaba0,a1,b0,b1∙
Iogba
§2∙22、对数函数及其性质
1、记住图象：
ylogaxa0,a1
y
2、性质:
y=logax
0"a^
oλ
Z-1
a>1
―^x
图
象
a>ι
性
质
（1）定义域：
（0,+∞）
（2）值域：
R
（3）过定点（1，0）,即卩x=1时，y=0
（4）在（0,+∞）上是增函数
（4）在（0,+∞）上是减函数
（5）X1,logaX0
（5）X1,logaX0
§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
第三章：
函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程fX0有实根
函数yfX的图象与X轴有交点
函数yfX有零点.
2、零点存在性定理：
如果函数yfX在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，那么函数yfX在区间a,b内有零点，即
存在Ca,b,使得fc0，这个C也就是
方程fX0的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
§3.2.1、几类不同增长的函数模型
§3.2.2、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法：
先画散点图，再
用适当的函数拟合，最后检验.
必修2数学知识点
第一章：
空间几何体
1、空间几何体的结构
（⑴常见的多面体有:
棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体
有：
圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱:
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
⑶圆台侧面积：
S侧面rIRI
⑷体积公式：
⑸球的表面积和体积:
R3.
第二章：
点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1:
如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理2:
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4:
平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系：
平行、相交、异面。
7、线面位置关系：
直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
8、面面位置关系：
平行、相交。
9、线面平行:
⑴判定：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。
⑵性质：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行,则线线平行）。
10、面面平行:
⑴判定：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
⑵性质：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。
⑴定义：
如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂
直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。
⑶性质：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直:
⑴定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定：
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑶性质：
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线
的直线垂直于另一个平面直）。
（简称面面垂直，则线面垂
第三章：
直线与方程1、倾斜角与斜率：
ktan
X2X1
2、直线方程：
⑴点斜式：
y
y。
kXX0
⑵斜截式：
y
kx
b
⑶两点式：
y
y1
y2y1
X
X1
X2X1
⑷截距式：
X
丿
1
a
b
⑸般式：
AX
By
C0
3、对于直线：
I1:
yk1x
b1,l2
；:
y
k2Xb2有
⑴l1/∕∣2
k1
k2；
b1
b2
⑶lι和∣2重合klk2
bib2
⑷Ii12kik21.
4、对于直线：
Ii:
AiXBiyG0,有:
I2:
A2XB2yC20
⑴∣i∕∕∣2AIB2A2Bi；
BiC2B2Ci
⑵Ii和I2相交
AiB2
A2Bi;
⑶Ii
和J
重合
AB2
BiC2
A2Bi
B2Ci；
⑷Ii
〔2
AiA2
BiB2
0.
（Xa）2
（y
b）2
r2的位置关系有三种
d
r
相离
0;
d
r
相切
0;
d
r
相交
0.
弦长公式
；：
I2
Jr2d2
3、两圆彳
位置
关系
d
OQ2
⑴外离：
d
R
r；
⑵外切：
d
R
r；
⑶相交：
R
r
dR
「；
⑷内切：
d
R
r；
⑸内含：
d
R
r.
5、两点间距离公式：
6、点至U直线距离公式：
7、两平行线间的距离公式：
Ii:
AXByCi0与I2:
AXByC?
0平
行，则dCiC2
第四章：
圆与方程
i、圆的方程：
⑴标准方程：
Xa2yb2r2
其中圆心为（a,b）,半径为r.
⑵一般方程：
X2y2DXEyFO
其中圆心为（D,E）,半径为
22
r丄√D2E24F.
2
2、直线与圆的位置关系
3、空间中两点间距离公式：
必修3数学知识点
第一章：
算法
1、算法三种语言：
自然语言、流程图、程序语言；
2、流程图中的图框：
起止框、输入输出框、处理框、判断
框、流程线等规范表示方法；
3、算法的三种基本结构：
顺序结构、条件结构、循环结构
当型循环结构
直到型循环结构
⑴顺序结构示意图：
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为:
（图1）
⑵条件结构示意图：
①IF-THEN-ELSE格式：
IF条件THEN
语句1（图
ELSE2）
IF—THEN语句句勺一般格式为：
JENDlFU
IF条件THEN
⑤循环语句语一般格式是两种：
ENDIF（图
循环（WHlLE语3的一般格式:
当型;
②IF-THEN格式:
语句
是语句
I
2:
构满意i
条件
?
II
I
否
≡型）循环结语句意图：
WHILE条件
循环体
（图4）
WEND
直到型循环（UNTIL）语句的一般格式:
否
①当型（WHIL
DO
循环体
（图5）
LOOPUNTI条件
⑹算法案例：
②直到型
1f
（图4）
UNTIL
循环体__;
结构示意图:
是
①辗转相除法一结果是以相除余数为
0而得
!
（⅛-5）
I
木
①输入语
是
4PUφ
4、基本算法语环体
“提示内
容”；变量
②输出语句的一般格式:
容”；表达式
③赋值语句的一般格式:
PRlNT“提示内
变量=表达式
（“仝有时也用“・”）
④条件语句的一般格式有两种:
到
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如
下：
i）:
用较大的数m除以较小的数n得到一个商SD和一个余数Rc;
ii）:
若RD=0,则n为mn的最大公约数；若RD≠0,则用除数n除以余数RD得到一个商S和一个余数Rl；
iii）:
若RI=0,则R为mn的最大公约数；若RI≠0,则用除数Ro除以余数RI得到一个商S2和一个余数R2；……
依次计算直至Rn=0,此时所得到的
RnI即为所求的最大公约数。
②更相减损术一结果是以减数与差相等而得到
利用更相减损术求最大公约数的步骤如
下：
i）:
任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。
若是，用2约简；若不是，执行第二步。
标准差：
S
ii）:
以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。
继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
③进位制
十进制数化为k进制数一除k取余法
k进制数化为十进制数
第二章：
统计
1、抽样方法：
1简单随机抽样（总体个数较少）
2系统抽样（总体个数较多）
3分层抽样（总体中差异明显）
注意：
在N个个体的总体中抽取出n个个体
组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）
均为n。
N
2、总体分布的估计：
⑴一表二图：
1频率分布表——数据详实
2频率分布直方图分布直观
3频率分布折线图——便于观察总体分布
趋势
注：
总体分布的密度曲线与横轴围成的面
积为1。
⑵茎叶图：
1茎叶图适用于数据较少的情况，从中便
于看出数据的分布，以及中位数、众位数
2个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：
⑴平均数：
XX1x2x3Xn；
n
取值为Xι,X2,,Xn的频率分别为Pl,P2,,Pn，
则其平均数为XlPlX2P2XnPn；
注意：
频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差：
一组样本数据X1,X2,,Xn
n_2
方差：
s2—（XiX）；
ni1
1
（XiX）
ni1
注：
方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑶线性回归方程
1变量之间的两类关系：
函数关系与相关
关系；
2制作散点图，判断线性相关关系
3线性回归方程：
ybxa（最小二乘法）注意：
线性回归直线经过定点（X,y）。
第三章：
概率
1、随机事件及其概率：
⑴事件：
试验的每一种可能的结果，用大
写英文字母表示；
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特
占；
八、、7
⑶随机事件A的概率：
P（A）m,0P（A）1.
n
2、古典概型：
⑴基本事件：
一次试验中可能出现的每一
个基本结果；
⑵古典概型的特点：
1所有的基本事件只有有限个；
2每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：
一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率
m
P（A）-.
n
3、几何概型：
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个;
②每个基本事件都是等可能发生
其中测度根据题目确定，一般为线段、角
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事
件；
⑵如果事件A1,A2,,An任意两个都是互斥事件，则称事件Ai,A2,,An彼此互斥。
⑶如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生
的概率，等于事件A，B发生的概率的和，
即:
P（AB）P（A）P（B）
⑷如果事件Ai,A2,,An彼此互斥，则有：
⑸对立事件：
两个互斥事件中必有一个要
发生，则称这两个事件为对立事件。
1事件A的对立事件记作A
2对立事件一定是互斥事件，互斥事件未
必是对立事件。
必修4数学知识点
第一章：
三角函数
§1.1.1、任意角
1、正角、负角、零角、象限角的概念.
2、与角终边相同的角的集合：
2k,kZ.
§1.1.2、弧度制
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫
做1弧度的角.
度、面积、体积等。
4、互斥事件：
2、
1_
r
3、弧长公式：
I
R.
2
4、扇形面积公式：
S"nR1∣R∙3602
§1.2.1、任意角的三角函数
1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Pχ,y,那么：
Siny,COSX）tan—
X
2、设点AX,y为角终边上任意一点,
那么：
（设rx2y2）
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
1、
平方关系：
sin2
2
cos1
2、
商数关系：
tan
Sin
cos
3、
倒数关系：
tan
cot1
§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为“奇变偶不变，符号看象限”
kZ）
1、诱导公式一：
cot
y
COS
X
一,tan
y
r
r
X
Sin
Xy
Sin
2k
Sin,
cos
2k
cos,
（其中：
kZ）
tan
2k
tan.
3、Sin，cos，
tan在四个
的符号和三
数线的
升级会员 