广东广州市第四十七中学届高三数学份高考模拟.docx

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广东广州市第四十七中学届高三数学份高考模拟

广州市第四十七中学2017届高三数学12月份高考模拟试题

满分150分．时120分钟．

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合

，集合

，则

等于

A．

B．

C．

D．

2．已知复数

的实部为

，且

，则复数

的虚部是

A．

B．

C．

D．

3．已知命题

：

，

，那么

是

A．

，

B．

，

C．

，

D．

，

4．为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：

cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是

A．30B．60

C．70D．80

5．函数

，

则

A．

为偶函数，且在

上单调递减;

B．

为偶函数，且在

上单调递增;

C．

为奇函数，且在

上单调递增;

D．

为奇函数，且在

上单调递减.

6．设等比数列

的前

项和为

，则“

”是“

”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7．已知幂函数

，当

时，恒有

，则

的取值范围是

A．

B．

C．

D．

8．设

、

是不同的直线，

、

、

是不同的平面，有以下四个命题：

①若

则

②若

，

，则

③若

，则

④若

，则

其中真命题的序号是

A．①④B．②③C．②④D．①③

9．直线

与不等式组

表示平面区域的公共点有

A．0个B．1个C．2个D．无数个

10．已知平面上的线段

及点

，在

上任取一点

，线段

长度的最小值称为点

到线段

的距离，记作

．设

是长为2的线段，点集

所表示图形的面积为.

A.

B.

C.

D.

二、填空题：

本大共5小题．考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．已知向量

满足

则向量

与

的夹角为.

12．已知圆

经过点

和

且圆心

在直线

上,则圆

的方程为.

13．将集合{

|

且

}中的元素按上小下大，

左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于

第

行第

列的数记为

（

）,则

=.

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线

与

的交点分别为

，则线段

的垂直平分线的极坐标方程为．

15．（几何证明选讲）如图，圆

的直径

，

直线

与圆O相切于点

，

于D，

若

，设

，则

______．

三、解答题：

本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

在平面直角坐标系

中，以

为始边，角

的终边与单位圆

的交点

在第一象限，

已知

.

（1）若

求

的值.

（2）若

点横坐标为

求

.

17．（本题满分12分）

市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班，

（1）写出李生可能走的所有路线；（比如DDA表示走D路从甲到丙，再走D路回到甲，然后走A路到达乙）;

（2）假设从甲到乙方向的道路B和从丙到甲方向的

道路D道路拥堵，其它方向均通畅，但李生不知道

相关信息，那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少？

.

18．（本题满分14分）

如图，在四棱柱

中，已知底面

是边长为

的正方形，侧棱

垂直于底面

，且

．

（1）点

在侧棱

上，若

，

求证：

平面

；

（2）求三棱锥

的体积

．

19．（本题满分14分）

已知椭圆

和抛物线

有公共焦点

的中心和

的顶点都在坐标原点，直线

过点

.

（1）写出抛物线

的标准方程；

（2）若坐标原点

关于直线

的对称点

在抛物线

上，直线

与椭圆

有公共点，求椭圆

的长轴长的最小值.

20．（本题满分14分）

环保刻不容缓，或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张，且受工业污染严重，预计

年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为

，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积

，前四年每年以

的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加

.设第

）年新城区的住房总面积为

，该地的住房总面积为

.

（1）求

的通项公式；

（2）若每年拆除

，比较

与

的大小.

21．（本题满分14分）

已知函数

，

，

是常数.

（1）求

的单调区间；

（2）若

有极大值，求

的取值范围.

参考答案

一、填空题BDBCACBDBD

二、填空题

11．

12．

13．

14．

（或

）15．

三、解答题

16．⑴解法1、

由题可知：

，

，……1分

，

……2分

，得

……3分

∴

，

……4分

解法2、

由题可知：

，

……1分

，

……2分

∵

，∴

……3分

，得

……4分

解法3、

设

，（列关于x、y的方程组2分，解方程组求得x、y的值1分，求正切1分）

⑵解法1、

由⑴

，记

，

∴

，

（每式1分）……6分

∵

，得

（列式计算各1分）……8分

（列式计算各1分）……10分

∴

（列式计算各1分）……12分

解法2、

由题意得：

的直线方程为

……6分

则

即

（列式计算各1分）……8分

则点

到直线

的距离为

（列式计算各1分）……10分

又

，∴

（每式1分）…12分

解法3、

即

（每式1分）……6分

即：

，

，……7分

，

，

……9分

（模长、角的余弦各1分）

∴

……10分

则

（列式计算各1分）……12分

解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）

17．⑴李生可能走的所有路线分别是：

DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB，EEC，EDA，EDB，EDC（1-2个1分，3-5个2分，5-7个3分，7-11个4分，）……5分

共12种情况……6分

⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：

DEA，DEC，EEA，EEC……7分

共4种情况，……8分

所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率

（文字说明1分）……12分

18．⑴解法1、

依题意，

，

，在

中，

……1分

同理可知，

，

（每式1分）……3分

所以

，……4分

则

，……5分

同理可证，

，……6分

由于

，

平面

，

平面

，……7分

所以，

平面

．……8分

解法2、

由

（或

）和

证明

平面

（证明任何一个线线垂直关系给5分，第二个线线垂直关系给1分）

⑵解法1、

如图1，易知三棱锥

的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即

（文字说明1分）……11分

……13分

……14分

解法2、

依题意知，三棱锥

的各棱长分别是

，

（每式1分）……10分

如图2，设

的中点为

，连接

，

则

，

，且

，

于是

平面

，……12分

设

的中点为

，连接

，则

，且

，

则三角形

的面积为

，……13分

所以，三棱锥

的体积

．……14分

19．⑴由题意，抛物线

的焦点

，则

……2分

所以方程为：

．……3分

⑵解法1、

设

，则

中点为

，……4分

因为

两点关于直线

对称，所以

（每方程1分）……6分

即

，解之得

，……7分

将其代入抛物线方程，得：

，所以

（列式计算各1分）……9分

联立

，消去

，得：

……11分

由

，得

，……12分

注意到

，即

，所以

，即

，……13分

因此，椭圆

长轴长的最小值为

..……14分

解法2、

设

，因为

两点关于直线

对称，则

，……5分

即

，解之得

.……6分

即

根据对称性,不妨设点

在第四象限，且直线与抛物线交于

如图.则

于是直线

方程为

（讨论、斜率与方程各1分）……9分

联立

，消去

，得：

……11分

由

，得

，……12分

注意到

，即

，所以

，即

，……13分

因此，椭圆

长轴长的最小值为

.……14分

20．⑴设第

年新城区的住房建设面积为

，则当

时，

；……1分

当

时，

.……2分

所以,当

时，

……3分

当

时，

（列式1分）……5分

故

……6分

⑵

时，

，

，显然有

……7分

时，

，

，此时

.……8分

时，

，

（每式1分）……10分

.……11分

所以,

时，

；

时，

.

时，显然

……13分

（对1-2种情况给1分，全对给2分）

故当

时，

；当

时，

.……14分

21．⑴

……1分

设

，其判别式

……2分

①当

时，

，

在定义域

上是增函数；……3分

当

时，由

解得：

（每个根1分）……5分

②当

时，

，

；又

，

，故

，即

在定义域

上有两个零点

在区间

上，

，

，

，

为

上的增函数

在区间

上，

，

，

，

为

上的增函数

在区间

上，

，

，

为

上的增函数.…6分

③当

时，

，在区间

上，

，

，

；在区间

上，

，

，

，……7分

④当

时，函数

的定义域是

，

，

在

上有零点

，在

上有零点

；在区间

和

上，

，

在

和

上为增函数；在区间

和

上，

，

在

和

上位减函数.……8分

综上:

当

时,函数

的递增区间是

；当

时,

的递增区间是

和

递减区间是

；当

时，

的递减区间是

；递增区间是

；当

时，

的递减区间

和

递增区间是

和

.……9分

⑵当

时，

的定义域是

，当

时，

的定义域是

，

，令

，则

（每个导数1分）……11分

在区间

上，

，

是增函数且

；

在区间

上，

，

是减函数且

；

当

时，

.……12分

故当

时，

，

无极大值；

当

时，

，方程

在区间

和

上分别有一解

，此时函数

在

处取得极大值；……13分

当

时，方程

在区间

上有