整合函数与方程教案.docx
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整合函数与方程教案
整合函数与方程教案
本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第三章
单元小结
（一）
（一）教学目标
．知识与技能
整合函数与方程的基本知识和基本方法，进一步提升函数与方程思想.
2．过程与方法
通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系
3．情感、态度与价值观
在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质.
（二）教学重点与难点
重点：
整合单元知识；难点：
提升综合运用单元知识的能力.
（三）教学方法
动手练习与合作交流相结合，在整合知识中构建单元知识体系，在综合练习中提升综合运用单元知识的能力.
（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
回顾反思构建体系
．函数与方程单元知识网络
2．知识梳理
①二次函数的零点与一元二次方程根的关系
对于二次函数f=ax2+bx+c，当f=0时，就是一元二次方程ax2+bx+c=0，因此，二次函数f=ax2+bx+c的零点就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；也即二次函数f=ax2+bx+c的图象——抛物线与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
②函数的零点的理解
（1）函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.
根据函数零点定义可知，函数f的零点就是f=0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f=0是否有实根，有几个实根.
③函数零点的判定
判断一个函数是否有零点，首先看函数f在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f•f＜0，若满足，那么函数y=f在区间（a，b）内必有零点.
④用二分法求方程的近似解要注意以下问题：
（1）要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束.
（2）初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大.
（3）在二分法的第四步，由|a–b|＜，便可判断零点近似值为a或b.
⑤用二分法求曲线的近似交点应注意以下几点：
（1）曲线的交点坐标是方程组的解，最终转化为求方程的根；
（2）求曲线y=f和y=g的交点的横坐标，实际上就是求函数y=f–g的零点，即求方程f–g=0的实数解.
．师生合作，绘制单元知识网络图
2．学生回顾口述知识要点，老师总结、归纳，师生共同进行知识疏理.
整理知识，培养归纳能力；师生共同回顾、再现知识与方法.
经典例题剖析
例1
利用计算器，求方程2x+2x–5=0的近似解.
例2确定函数f=+x–4的零点个数.例3
（1）试说明方程2x3–6x2+3=0有3个实数解，并求出全部解的和（精确到0.01）
（2）探究方程2x3–6x2+5=0，方程2x3–6x2+8=0全部解的和，你由此可以得到什么结论？
1．学生自主完成例1、例2、例3，求解学生代表板书解答过程，老师点评，总结.
例1【解析】设f=2x+2x–5，由于函数在R上是增函数，所以函数f在R上至多一个零点.
∵f=–1＜0，f=3＞0，
∴ff＜0，
∴函数f=2x+2x–5在内有一个零点，则二分法逐次计算，列表如下：
取区间
中点值
中点函数值
.5
0.83
.25
–0.12
.375
0.34
.3125
0.11
∵|1.3125–1.25|=0.0625＜0.1，
∴函数f的零点近似值为1.3125.
∴方程2x+2x–5=0的近似解是1.3125.
例2【解析】设，则f的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象如图.
由图知，y1与y2在区间内有一个交点，
当x=4时，y1=–2，y2=0，
当x=8时，y1=–3，y2=–4，
∴在内两曲线又有一个交点，又和y2=x–4均为单调函数.
∴两曲线只有两个交点，
即函数有两个零点.
例3【解析】
（1）设函数f=2x3–6x2+3，
∵f=–5＜0，f=3＞0，f=–1＜0，
f=–5＜0，f=3＞0，函数y=f的图象是连续的曲线，∴方程2x3–6x2+3=0有3个实数解．
首先以区间[–1，0]为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点的横坐标
a0=–1，b0=0
x0=/2=–0.5
x1=/2=–0.75
x2=/2=–0.625
x3=/2=–0.6875
x4=/2=–0.65625
x5=/2=–0.640625
x6=/2
=–0.6484375
x7=–0.64453125
计算端点或中点的函数值
定区间
f=–5，f=3
[–1，0]
f=f
=1.25＞0
[–1，–0.5]
f=f＜0
[–0.75，–0.5]
f=f＞0
[–0.75，–0.625]
f=f＜0
[–0.6875，–0.625]
f=f＜0
[–0.65625，–0.625]
f=f＞0
[–0.65625，–0.640625]
f=f＜0
[–0.6484375，–0.640625]
f＜0
[–0.64453125，–0.640625]
由上表计算可知，区间[–0.64453125，–0.640625]的左、右两端点精确到0.01所取的近似值都是–0.64，所以–0.64可以作为方程2x3–6x2+3=0在区间[–1，0]上的一个近似解．
同理可求得方程2x3–6x2+3=0在区间[0，1]和[2，3]内且精确到0.01的近似解分别为0.83，2.81．所以方程2x3–6x2+3=0全部解的和为–0.64+0.83+2.81=3．
（2）利用同样方法可求得方程2x3–6x2+5=0和方程2x3–6x2+8=0全部解的和也为3．
由于3只与未知数的系数比相等，即–=3，所以猜想：
一般地，对于一元三次方程ax3+bx3+cx+d=0有三个根xl，x2，x3，则和为x1+x2+x3=．
动手尝试练习提升综合应用知识的能力.
备选例题
例1
求函数y=x3–2x2–x+2的零点，并画出它的图象.
【解析】因为x3–2x–x+2=x2–==，
所以已知函数的零点为–1，1，2.
3个零点把x轴分成4个区间：
，[–1，1]，[1，2]，.
在这4个区间内，取x的一些值，列出这个函数的对应值表：
x
…
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
.5
2
2.5
…
y
…
–4.38
0
.88
2
.13
0
–0.63
0
2.63
…
在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.
例2求函数f=x3+x2–2x–2的一个为正实数的零点（误差不超过0.1）.
【解析】由于f=–2＜0，f=6＞0，可以取区间[1，2]作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
端点（中点）坐标
计算中点的函数值
取区间
|an–bn|
[1，2]
x0=/2=1.5
f=0.625＞0
[1，1.5]
0.5
x1=/2=1.25
f=–0.984＜0
[1.25，1.5]
0.25
x2=/2=1.375
f=–0.260＜0
[1.375，1.5]
0.125
x3=/2=1.438
由上表的计算可知，区间[1.375，1.5]的长度小于0.2，所以这个区间的中点x3=1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值.
函数f=x3+x2–2x–2的图象如图所示.
实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.
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