数学分析解答.docx
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数学分析解答
数学分析解答
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ﻩ
大连理工大学2005攻读硕士研究生考试试题
数学分析试题解答
一、计算题
1、求极限:
解:
ﻩ2、求极限:
解:
3、证明区间(0,1)和(0,+
)具有相同的势。
ﻩ证明:
构造一一对应y=arctanx。
4、计算积分
其中D是x=0,y=1,y=x围成的区域
ﻩ解:
5、计算第二类曲线积分:
,
方向为逆时针。
解:
6、设a>0,b>0,证明:
。
证明:
二、设f(x)为[a,b]上的有界可测函数,且
证明:
f(x)在[a,b]上几乎处处为0。
证明:
反证法,假设A={x|f(x)≠0},那么mA>0。
三、设函数f(x)在开区间(0,+
)内连续且有界,是讨论f(x)在(0,+
)内的一致连续性。
讨论:
非一致连续,构造函数:
四、设
讨论函数的连续性和可微性。
解:
1)连续性:
连续
ﻩ
ﻩ2)可微性:
可微
五、设f(x)在(a,b)内二次可微,求证:
证明:
六、f(x)在R上二次可导,
,证明:
f(x)在R上恰有两个零点。
证明:
七、设函数f(x)和g(x)在[a,b]内可积,证明:
对[a,b]内任意分割
证明:
八、求级数:
解:
九、讨论函数项级数
在(0,1)和(1,+∞)的一致收敛性
讨论:
1)02)x>1
一十、计算
为圆锥曲面
被平面z=0,z=2所截部分的外侧。
解:
十一、设f(x)在[0,1]上单调增加,f(0)>=0,f
(1)<=1,证明:
ﻩ证明:
十二、设f(x)在[0,+∞]上连续,
绝对收敛,证明:
ﻩ
证明:
十三、设
,证明:
ﻩﻩ当下极限
时,级数
收敛
ﻩ当上极限
时,级数
发散
ﻩ证明:
(1)
(2)