概率论与数理统计公式大全2.docx
《概率论与数理统计公式大全2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计公式大全2.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
概率论与数理统计公式大全2
随机变量的数字特征
（1）一维随机变量的数字特征
离散型
连续型
期望
期望就是平均值
设X是离散型随机变量，其分布律为P（）＝pk，k=1,2,…,n，
（要求绝对收敛）
设X是连续型随机变量，其概率密度为f（x），
（要求绝对收敛）
函数的期望
Y=g（X）
Y=g（X）
方差
D（X）=E[X-E（X）]2，
标准差
，
矩
①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即
νk=E（Xk）=,k=1,2,….
②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即
=，k=1,2,….
①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即
νk=E（Xk）=
k=1,2,….
②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即
=
k=1,2,….
切比雪夫不等式
设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式
切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率
的一种估计，它在理论上有重要意义。
（2）期望的性质
（1） E（C）=C
（2） E（CX）=CE（X）
（3） E（X+Y）=E（X）+E（Y），
（4） E（XY）=E（X）E（Y），充分条件：
X和Y独立；
充要条件：
X和Y不相关。
（3）方差的性质
（1） D（C）=0；E（C）=C
（2） D（aX）=a2D（X）； E（aX）=aE（X）
（3） D（aX+b）=a2D（X）； E（aX+b）=aE（X）+b
（4） D（X）=E（X2）-E2（X）
（5） D（X±Y）=D（X）+D（Y），充分条件：
X和Y独立；
充要条件：
X和Y不相关。
D（X±Y）=D（X）+D（Y）±2E[（X-E（X））（Y-E（Y））]，无条件成立。
而E（X+Y）=E（X）+E（Y），无条件成立。
（4）常见分布的期望和方差
期望
方差
0-1分布
p
二项分布
np
泊松分布
几何分布
超几何分布
均匀分布
指数分布
正态分布
n
2n
t分布
0
（n>2）
（5）二维随机变量的数字特征
期望
函数的期望
＝
＝
方差
协方差
对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方差或相关矩，记为，即
与记号相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为与。
相关系数
对于随机变量X与Y，如果D（X）>0,D（Y）>0，则称
为X与Y的相关系数，记作（有时可简记为）。
||≤1，当||=1时，称X与Y完全相关：
完全相关
而当时，称X与Y不相关。
以下五个命题是等价的：
①；
②cov（X,Y）=0;
③E（XY）=E（X）E（Y）;
④D（X+Y）=D（X）+D（Y）;
⑤D（X-Y）=D（X）+D（Y）.
协方差矩阵
混合矩
对于随机变量X与Y，如果有存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为；k+l阶混合中心矩记为：
（6）协方差的性质
（i） cov（X,Y）=cov（Y,X）;
（ii） cov（aX,bY）=abcov（X,Y）;
（iii） cov（X1+X2,Y）=cov（X1,Y）+cov（X2,Y）;
（iv） cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）.
（7）独立和不相关
（i） 若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。
（ii） 若（X，Y）～N（），
则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。
第五章 大数定律和中心极限定理
（1）大数定律
切比雪夫大数定律
设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：
D（Xi）
特殊情形：
若X1，X2，…具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为
伯努利大数定律
设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有
伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即
这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
辛钦大数定律
设X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有
（2）中心极限定理
列维－林德伯格定理
设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：
，则随机变量
的分布函数Fn（x）对任意的实数x，有
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
棣莫弗－拉普拉斯定理
设随机变量为具有参数n,p（0
（3）二项定理
若当，则
超几何分布的极限分布为二项分布。
（4）泊松定理
若当，则
其中k=0，1，2，…，n，…。
二项分布的极限分布为泊松分布。
第六章样本及抽样分布
（1）数理统计的基本概念
总体
在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。
我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。
个体
总体中的每一个单元称为样品（或个体）。
样本
我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。
样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。
在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。
在泛指任一次抽取的结果时，表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，表示n个具体的数值（样本值）。
我们称之为样本的两重性。
样本函数和统计量
设为总体的一个样本，称
（）
为样本函数，其中为一个连续函数。
如果中不包含任何未知参数，则称（）为一个统计量。
常见统计量及其性质
样本均值
样本方差
样本标准差
样本k阶原点矩
样本k阶中心矩
，，
，,
其中，为二阶中心矩。
（2）正态总体下的四大分布
正态分布
设为来自正态总体的一个样本，则样本函数
t分布
设为来自正态总体的一个样本，则样本函数
其中t（n-1）表示自由度为n-1的t分布。
设为来自正态总体的一个样本，则样本函数
其中表示自由度为n-1的分布。
F分布
设为来自正态总体的一个样本，而为来自正态总体的一个样本，则样本函数
其中
表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。
（3）正态总体下分布的性质
与独立。
第七章 参数估计
（1）点估计
矩估计
设总体X的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成它的k阶原点矩中也包含了未知参数，即。
又设为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为
这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有
由上面的m个方程中，解出的m个未知参数即为参数（）的矩估计量。
若为的矩估计，为连续函数，则为的矩估计。
极大似然估计
当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中为未知参数。
又设为总体的一个样本，称
为样本的似然函数，简记为Ln.
当总体X为离型随机变量时，设其分布律为，则称
为样本的似然函数。
若似然函数在处取到最大值，则称分别为的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。
若为的极大似然估计，为单调函数，则为的极大似然估计。
（2）估计量的评选标准
无偏性
设为未知参数的估计量。
若E（）=，则称为的无偏估计量。
E（）=E（X），E（S2）=D（X）
有效性
设和是未知参数的两个无偏估计量。
若，则称有效。
一致性
设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有
则称为的一致估计量（或相合估计量）。
若为的无偏估计，且则为的一致估计。
只要总体的E（X）和D（X）存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。
（3）区间估计
置信区间和置信度
设总体X含有一个待估的未知参数。
如果我们从样本出发，找出两个统计量与，使得区间以的概率包含这个待估参数，即
那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度（或置信水平）。
单正态总体的期望和方差的区间估计
设为总体的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间。
具体步骤如下：
（i）选择样本函数；
（ii）由置信度，查表找分位数；
（iii）导出置信区间。
已知方差，估计均值
（i）选择样本函数
（ii）查表找分位数
（iii）导出置信区间
未知方差，估计均值
（i）选择样本函数
（ii）查表找分位数
（iii）导出置信区间
方差的区间估计
（i）选择样本函数
（ii）查表找分位数
（iii）导出的置信区间
第八章 假设检验
基本思想
假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。
为了检验一个假设H0是否成立。
我们先假定H0是成立的。
如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。
与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。
这里所说的小概率事件就是事件，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。
基本步骤
假设检验的基本步骤如下：
（i） 提出零假设H0；
（ii） 选择统计量K；
（iii） 对于检验水平α查表找分位数λ；
（iv） 由样本值计算统计量之值K；
将进行比较，作出判断：
当时否定H0，否则认为H0相容。
两类错误
第一类错误
当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。
这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即
P{否定H0|H0为真}=；
此处的α恰好为检验水平。
第二类错误
当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。
这时，我们把客观上H0。
不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即
P{接受H0|H1为真}=。
两类错误的关系
人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。
但是，当容量n一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变大。
取定要想使变小，则必须增加样本容量。
在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。
α大小的选取应根据实际情况而定。
当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如0.01，甚至0.001。
反之，则应把α取得大些。
单正态总体均值和方差的假设检验
条件
零假设
统计量
对应样本
函数分布
否定域
已知
N（0，1）
未知
未知
升级会员 