初中数学备课攻略人教新课标八年级全册初中数学八年级下册《平行四边形》备课攻略.docx

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初中数学备课攻略人教新课标八年级全册初中数学八年级下册《平行四边形》备课攻略

人教版八年级下册数学

第十八章《平行四边形》备课攻略

【课程标准解读】

课程标准对本章节内容要求掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念和性质，了解它们之间的关系，了解四边形的不稳定性；探索并掌握平行四边形的有关性质；探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质；探索并了解平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法并能运用；把握中位线定理和直角三角形斜边的中线推论。

【知识要点解析】

（一）平行四边形

1．平行四边形：

（1）平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“

”表示．平行四边形ABCD记作

，读作平行四边形ABCD．

2．平行四边形的性质：

（1）平行四边形的对边平行且相等．

（2）．平行四边形的对角相等，邻角互补。

（3）平行四边形的对角线互相平分．

（4）若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．

【典型例题】．（泰安中考，19，3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为（　　）

A．2

B．4

C．4D．8

【分析】：

由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD＝DF，由F为DC中点，AB＝CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．

【解答】：

解：

∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，

∵DC∥AB，∴∠BAE＝∠DFA，∴∠DAE＝∠DFA，∴AD＝FD，

又F为DC的中点，∴DF＝CF，∴AD＝DF＝

DC＝

AB＝2，

在Rt△ADG中，根据勾股定理得：

AG＝

，则AF＝2AG＝2

，

在△ADF和△ECF中，

，

∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF＝EF，则AE＝2AF＝4

．

【点评】：

此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．　

【变式训练】．（泰安中考，8，3分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于（　　）

A．90°B．180°C．210°D．270°

【分析】：

本题考查平行线的性质．根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B＋∠C＝180°，从而得到以点B．点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．

【解答】：

解：

∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，

∴∠4＋∠5＝180°，

根据多边形的外角和定理，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，

∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－180°＝180°．故选B．

【点评】：

本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．　

3．两条平行线间的距离：

（1）定义：

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．

（2）两平行线间的距离处处相等．

【典型例题】，将度相同（对边平行）交叉，你认为是什么图形，为什么？

【答案】是菱形

【解答】解：

依题意可知AB∥CD，AD∥BC

所以四边形ABCD是平行四边形

分别作CD，BC边上的高为AE，AF，

因为两纸条相同，所以纸条宽度AE=AF．

因为平行四边形的面积为AE×CD=BC×AF，

所以CD=BC．

所以平行四边形ABCD为菱形．

【点评】熟练掌握菱形的性质及判定，考查菱形的判定，四条边相等的四边形即为菱形．

【变式训练】．如图，平行四边形ABCD的相邻边AD：

AB=5：

4，过点A作AE

BC，AF

CD，垂足分别为E、F，AE=4

，求AF的长．

【答案】5

【解答】用等面积法做因为AD比AB=5比4所以设AD=5xAB=4xAF=a∵AE*BC=AF*CD∴5X*4=4X*a∴a=5

【点评】本题主要考查了平行四边形两平行线之间距离问题。

已知两边的比，求一高，可考虑利用面积法。

4．平行四边形的周长、面积：

（1）平行四边形的周长=四条边长之和。

（2）如图①，

．

（2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．

如图②，

有公共边BC，则

．

【典型例题】（四川泸州，16，3分）如图，在平行四边形ABCD中，若AB=5cm，BC=4cm，则，平行四边形ABCD的周长为cm.

【答案】：

18.

【解析】：

根据平行四边形性质，找出对边长度，再求

四边的和即为平行四边形周长.周长为（5+4）×2=18（cm）　.

【点评】：

平行四边形周长等于两邻边和的2倍.

【变式训练】、平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，对边AD和BC间的距离是4cm，则对边AB和CD间的距离是_________．

【答案】8cm.

【解答】解：

设对边AB和CD间的距离是xcm，根据平行四边形的面积公式可得：

6x=12×4，可得x=8．

故答案为8．

【点评】“等面积法”是数学中的重要解题方法．在三角形和四边形中，以不同的边为底其高也不相同，但面积是定值，从而可以得到不同底的高的关系．根据平行四边形的面积公式求解即可．

5．平行四边形的判别方法：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

【典型例题】（四川泸州中考，6，2分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A．AB//DC，AD//BCB．AB＝DC，AD＝BC

C．AO＝CO，BO＝DOD．AB//DC，AD＝BC

【答案】D

【解析】根据平行四边形的定义，选项A中的条件能判定这个四边形是平行四边形；根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，选项B中的条件能判定这个四边形是平行四边形；根据“对角线互相平的四边形是平行四边形”，选项C中的条件能判定这个四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，选项D中的条件不能判定这个四边形是平行四边形．所以答案选D．

【点评】平行四边形的判定是本题的考查目标，关键要熟悉平行四边形的判定方法，并且结合图形判断．

【变式训练】（江苏泰州市，23，本题满分10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF.求证：

四边形ABCD是平行四边形．

【解析】要证四边形ABCD是平行四边形．只要证AD=CB，需证△AED≌△FCB，结合易知证明就较为简单．

【答案】∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF，又∠DAE=∠BCF=900，∴△AED≌△FCB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．

【点评】本题是一个简单的考查平行四边形的判定的证明题，平行四边形的相关知识是初中阶段必须掌握的．这类中考题目一般并不难，侧重考查对课本知识的掌握和理解运用．

6．平行四边形知识的运用：

（1）直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．

（2）识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．

（3）先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．

【典型例题】（浙江省湖州市，20，8分）已知，如图，在□ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF=AB，连接FD交BC于点E。

（1）说明△DCE≌△FBE的理由；

（2）若EC=3，求AD的长。

【解析】

（1）分析图形，在△DCE和△FBE中，

隐含∠DEC=∠FEB,结合平行四边形的性质，应用

“AAS”可证得；

（2）根据全等三角形的性质，可得EC=BE,即BC=6，

结合平行四边形的性质，可得AD=6.

【答案】

（1）在□ABCD中，AB=DC,AB∥DC,∴∠CDE=∠F,又∵BF=AB,∴DC=FB,

∵∠DEC=∠FEB,∴△DCE≌△FBE;

（2）∵△DCE≌△FBE,∴EB=EC,∵EC=3，∴BC=6，又□ABCD，∴AD=BC,∴AD=6.

【点评】本题主要考察了全等三角形的判定和性质，以及平行四边形的性质，解决问题的关键是从图中挖掘隐含条件：

对顶角，探求全等的判定方法，是中度题。

【变式训练】在等腰△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点，DE∥AC交直线AB于E，DF∥AB交直线AC于点F，解答下列各问：

（1）如图1，当点D在线段BC上时，有DE+DF=AB，请你说明理由；

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，请你参考

（1）画出正确的图形，并写出线段DE、DF、AB之间的关系（不要求证明）．

【点拨】

（1）由题意可得四边形AEDF时平行四边形，所以DF=AE，通过平行线可得到角相等，转化为线段相等，进而可得出结论．

（2）依据题意，作出图形即可，而对于线段DE、DF、AB之间的关系，由

（1）可得四边形AEDF时平行四边形，进而通过线段之间的转化即可得出结论．

【解答】：

（1）∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴DF=AE，

又AB=AC，

∴∠B=∠BCA，

DE∥AC，

∴∠BDE=∠BCA，

∴∠B=∠BDE，

∴BE=DE，

∴DE+DF=BE+AE=AB．

（2）如图，DE-DF=AB

∵四边形AFDE是平行四边形，

∴AE=DF，

∴∠B=∠BDE，

∴BE=DE，

∴DE-DF=AB．

【点拨】本题主要考查平行四边形的判定及性质以及等腰三角形的性质，能够熟练求解，并能作出简单的图形．

（二）矩形

1、矩形定义:

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形或正方形）.

矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；

2、矩形的性质:

（具有平行四边形的一切特征）

矩形性质1:

矩形的四个角都是直角．

矩形性质2:

矩形的对角线相等且互相平分．

3、推论：

直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

4、矩形的判定方法．

矩形判定方法1：

对角钱相等的平行四边形是矩形．

矩形判定方法2：

有三个角是直角的四边形是矩形．

矩形判定方法3：

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

矩形判定方法4：

（4）对角线相等且互相平分的四边形是矩形．

【典型例题】已知：

如图，矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

【解答】解：

设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：

，解得x=6．则AD=6cm．

（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：

AE×DB＝AD×AB，解得AE＝4.8cm．

【点评】：

本试题涉及到的知识点有矩形的性质、直角三角形的性质等，结合问题意境可知：

（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．

【变式训练】已知：

如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：

CE＝EF．

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，且AD∥BC．∴∠1=∠2．

∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．

∴∠B=∠AFD．又AD=AE，

∴△ABE≌△DFA（AAS）．

∴AF=BE．

∴EF=EC．

此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．

【点评】：

CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．

（三）菱形

1、菱形定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】　菱形

（1）是平行四边形；

（2）一组邻边相等．

2、菱形的性质

性质1菱形的四条边都相等；

性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

【典型例题】 已知：

如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：

∠AFD=∠CBE．

【解答】：

∵　四边形ABCD是菱形，∴　CB=CD，CA平分∠BCD．∴　∠BCE=∠DCE．又CE=CE，∴△BCE≌△COB（SAS）．∴　∠CBE=∠CDE．∵　在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC∴　∠AFD=∠CBE．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质以及菱形的判定方法，解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质．

【变式训练】：

在菱形ABCD中，M、N分别是BC、CD边上的点，若AM=AN=MN=AB，求∠C的度数。

【解答】因为ABCD为菱形，所以：

AB=BC=CD=AD已知：

AM=AN=MN=AB则，△AMN为等边三角形，△ABM和△ADN为等腰三角形设∠B=∠D=x那么，∠AMB=∠AND=x所以，∠BAM=∠DAN=180°-2x那么，∠BAD=2*（180°-2x）+60°=420°-4x因为AB//CD所以，∠BAD+∠ADC=180°即，（420°-4x）+x=180°===>420°-3x=180°===>x=80°所以，∠C=180°-∠D=180°-80°=100°

【点评】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键在于熟练掌握有关的性质定理，推出四边形AMND为菱形．

3、菱形的判定

菱形判定方法1:

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：

（1）是一个平行四边形；

（2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法2:

四边都相等的四边形是菱形．

【典型例题】已知：

如图

ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：

四边形AFCE是菱形．

证明：

∵　四边形ABCD是平行四边形，

∴　AE∥FC．

∴　∠1=∠2．

又　∠AOE=∠COF，AO=CO，

∴　△AOE≌△COF．

∴　EO=FO．

∴　四边形AFCE是平行四边形．

又　EF⊥AC，

∴　

AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

【变式训练】（漳州模拟）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，在AE上取一点D，使得AD=BC，连接CD和BD，BD交AC于点O．

（1）求证：

△AOD≌△COB；

（2）求证：

四边形ABCD是菱形．

【点拨】

（1）首先根据平行线的性质可得∠DAO=∠BCO，再有条件AD=BC，∠AOD=∠COB，可以利用AAS定理证明△AOD≌△COB；

（2）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明∠BAC=∠BCA，可利用等角对等边得到AB=BC，即可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证出结论．

【解答】证明：

（1）∵AE∥BF，

∵在△AOD和△COB中，

∴△AOD≌△COB（AAS）；

（2）∵AE∥BF，

∴AD∥BC，

∵AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC，

∵∠DAO=∠BCO，

∴∠BAC=∠BCA，

∴AB=BC，

∴平行四边形ABCD是菱形．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，菱形的判定，关键是掌握：

①全等三角形的判定定理：

SSS、SAS、AAS、ASA；②菱形的判定方法：

菱形定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【变式训练2】已知：

如图，△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧，AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF．求证：

四边形BFCE是菱形．

【点拨】根据SSS先证明△ABC和△DBC全等，再根据全等三角形的性质和等腰三角形的三线合一，得出BO=CO，所以四边形BFCE是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得证．

【解答】证明：

∵AB=DCAC=BDBC=CB，

∴△ABC≌△DCB，

∴∠DBC=∠ACB，

∴BE=CE，

又∵∠BEC的平分线是EF，

∴EO是中线（三线合一），

∴BO=CO，

∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分），

又∵BE=CE，

∴四边形BFCE是菱形．

【点评】本题主要考查了菱形的判定．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：

①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．

（四）正方形

1、正方形定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形（菱形）

②有一个角是直角的平行四边形（矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

2、正方形的性质总结如下：

边：

对边平行，四边相等；

角：

四个角都是直角；

对角线：

对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

注意：

正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

【典型例题】已知：

如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：

OE=OF．

【证明】：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．

又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．

∴∠EAO=∠FDO．

∴△AEO≌△DFO．

∴OE=OF．

【点评】：

要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．

【变式训练】（•东营，12，3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：

（1）AE=BF；

（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）

中正确的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】：

B

【解析】：

在正方形ABCD中，因为CE=DF，所以AF=DE，又因为AB=AD，所以

，所以AE=BF，

，

，因为

，所以

，即

，所以AE⊥BF，因为

S四边形DEOF，所以

S四边形DEOF，故

（1），

（2），（4）正确．

3、正方形的判定方法：

（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形．

注意：

1、正方形概念的三个要点：

（1）是平行四边形；

（2）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等．

2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

【典型例题】如图所示，已知四边形ABCD是正方形，分别过A，C两点作l1‖l2,作BM垂直l1于M，DN垂直l1于N，直线MB，ND分别交l2于Q，P，求证：

四边形PQMN是正方形

【分析】：

由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．

【解答】由L1‖L2，MQ⊥L1，NP⊥L1,∴MQ⊥L2,NP⊥L2,∴四边形PQMN是矩形，由∠MAB=∠NDA，∠MBA=∠NAD，AB=AD，∴△ABM≌DAN（A，S，A）∴AM=DN，AN=BM，同理可证AM=BQ=CP，BM=OQ=DP，∴MN=NP=PQ=QM，∴四边形PQMN是正方形。

证毕。

【变式训练】如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

（1）分别以AB，AC为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC交于点G，证明四边形AEGF是正方形；

【点拨】先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形；

【解答】证明：

由题意可得：

△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．

∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，

∴∠EAF=90°．

又∵AD⊥BC

∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．

∴四边形AEGF是矩形，

又∵AE=AD，AF=AD

∴AE=AF．

∴矩形AEGF是正方形．

【点评】本题考查图形的翻折变换，注意把握翻转变换前后线段及其角的相等关系。

【热点专题分析】

（一）运动变化问题：

【例题】如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）试探索OE与OF之间的数量关系．

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并给出说理过程．

（3）在

（2）的前提下，如果四边形AECF是正方形，那么△ABC将是什么三角形呢？

请说明理由．

【点拨】

（1）由直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，易证得△EOC与△FOC是等腰三角形，即可得OE=OF；

（2）由

（1）知，OE=OC=OF，当OC=OA，即点O为AC的中点时，可得OE=OC=OF=OA，即可证得四边形AECF是矩形；

（3）由正方形AECF可知，AC⊥EF，又由于EF∥BC，得∠ACB=90°，所以△ABC是∠ACB=90°的直角三角形．

【解答】：

（1）∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD．

又∵CE平分∠ACB，FC平分∠ACD．

∴∠ECB=∠OCE，∠OCF=∠FCD，

∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，

∴EO=OC，FO=OC，

∴EO=FO；

（2）由

（1）知，OE=OC=OF，

当OC=OA，即点O为AC的中点时，

∴OE=OC=OF=OA，

∴四边形AECF是平行四边形，AC=EF，

∴这时四边形AECF是矩