应用随机过程7布朗运动docx.docx
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第7章布朗运动
7.3布朗运动的鞅性质
7.4布朗运动的Markov性
7.5布朗运动的最大值变量及反正弦律
7.6布朗运动的几种变化
7.1基本概念与性质
定义7.1.1随机过程｛X⑴,t>0｝如果满足
（1）禺0）=0
（2）.｛x（0，r>0｝有独立的平稳增量
⑶.对每个r>0,x（r）服从正态分布“（0,/。
则称｛X（0,r>0｝为布朗运动，也称维纳过程。
常记为B（t）,tn0或w（t）,tno。
注：
如果cr=1,称之为标准布朗运动，如果CTHl,贝iJ｛X（r）/cr,r>0｝为标准布朗运动。
不失一般性，只考虑标准布朗运动的情形。
性质7.1.1布朗运动｛S（0,r>0｝具有如下性质:
（1）.增量具有正态性。
即—~N（O,t,s（2）.增量是独立的。
即与B（%）独立，KMu（3）
•路径的连续性。
0是r的连续函数。
注：
如果没有假定B（0）=0,即B（0）=x,称之为始于兀的布朗运动,记为歹⑴，显然Bx（t）-x=B\t）o
定义7.1.2设{X（f）,f>0}是随机过程，如果它的有限维分布时
1
空间平移不变的，即
F{X（GS],X©）“2,…，X&）5®IX（0）=0}
=P{X（tJ则称此过程为空间齐次的。
注：
布朗运动过程具有空间齐次性。
例7.1.1设0是标准布朗运动，计算P{B
（2）<0},F{B⑴50#=0,1,2}。
7.2高斯过程
定义721
有限维分布均为多元正态分布的随机过程称为高斯过程。
<_2_2、
22,2
&0+b?
丿
引理7.2.1设X〜N（“],b]2）,Y〜叫心）相互独立，则
X+Y〜N（角工）。
其中“=（“1，“1+“2），为二
定理721布朗运动过程是均值为m（Z）=0,协方差函数为厂（$,t）=min（r,$）的高斯过程o
例721B⑴是布朗运动，求：
（1）5
（1）+5
（2）+5（3）+5（4）的
113
分布；⑵B（-）+B（-）+B（-）+B（l）的分布；⑶
424
ri2
P{JoB⑴dt>不}。
定理7.3.1设B（t）是布朗运动，贝U
（1）B（f）是鞅；
（2）是鞅;；
⑶对任何实数％,exp{w5（0“是鞅。
定义741
设X（0，/>0是一个连续随机过程，如果对任何f,s>0,有P{X（t+s）则称为Markov过程。
这里耳=cr{X（%）,0定理741布朗运动过程是马尔科夫过程。
x>0时P{TXx}=
从而P{Tr/•co2fCO
八细J
XJe~y^dydt
-7/z2x2
dt=—=
0
2xe
>——=
4^71
2Q/2<1
—dy=（x）0/
则7；为几乎必然有限的，但是有无穷的期望。
直观地看，布朗运动以概率1击中兀，但它的平均时间是无穷的。
同样兀<0时P{TX<0=亠r/re~y2,2dy
故有
3工
-^=u111.u>0
0,u<0
记M⑴为布朗运动在［0“中达到的最大值，即M⑴二maxB（s）,我
0<5们可以计算出当X>O,有
记加⑴为布朗运动在［Of中达到的最小值，即m（f）=minB（5）,我们
0可以计算出当X>0,有
P{m（t）<-x}=P{T5t}二3—fe~yl^dy
Q2兀s
如果时间厂使得B（r）=0,则称£为布朗运动的零点。
J0
_3
u2e111duo
定理7.5.1设为始于兀的布朗运动，则在（0,0
x
中至少有一个零点的概率为-r=
勺2兀
定理753设｛By（t\t»0｝是布朗运动,贝I」
在（Q,b）中没有零点｝=-arcsinE
7TVb
7.6布朗运动的几种变化
一、布朗桥
定义7.6.1设B（Z）,Z>0是一个布朗运动，令
⑴二盹）_出
（1）,0<^<1
则称随机过程B*二0注：
布朗桥是咼斯过程。
且对任何OWsGWl,有
£5*（0二0二5（1-0
由定乂可知，B（0）=B
（1）=0
1、有吸收值的布朗运动
设｛3（0,40｝是一个布朗运动，7；为B⑴首次击中x的时刻，令
Z⑴二
X（t）,t兀，t>Tx
则｛z（o/no｝是击中％后，永远停留在那里的布朗运动，即带有吸收值％的布朗运动。
二在原点反射的布朗运动
设｛B⑴八0｝是一个布朗运动，令y（o=|b（o|^>o则称｛Y（t\t>0｝是在原点反射的布朗运动。
注：
Y（t\t>0的分布
四、几何布朗运动
设｛B（t\t>0｝是一个布朗运动，令X（t）=严）,宀0则称｛X（t）,^>0｝为几何布朗运动。
注：
X（f）M>0的均值函数和方差函数分别为EX（t）^et/2U"（X^=e2t-el
例7.6.1（股票期权的价值）
设某人拥有某种股票的交割时刻为T,交割价格为K的欧式看涨期权，即他具有在时刻厂固定的价格K购买一股这种股票的权利。
假定这种股票目前的价格为y,并按几何布朗运动变化，计算拥有这个期权的平均价值。
五、有漂移的布朗运动
设>0｝是一个标准布朗运动，X（/）=B⑴+何，我们称｛X（t）,冷0｝为有漂移的布朗运动。
常数“称为漂移系数。
注：
利用有漂移的布朗运动X（t\t>0可以算出
P｛布朗运动在下降方之前上升砒=亠a+b
作业：
1.P1421,2,4
2.写本章小结
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