3命题逻辑31命题的有关概念1命题2原子命题简单命题3可编辑修改word版.docx
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3命题逻辑31命题的有关概念1命题2原子命题简单命题3可编辑修改word版
3.命题逻辑
3.1命题的有关概念
1.命题
2.原子命题（简单命题）
3.复合命题
4.逻辑常量
5.逻辑变量
3.2逻辑联结词
1.否定联结词
2.合取联结词
3.析取联结词
4.蕴涵联结词
5.等价联结词
6.异或联结词
7.与非联结词
8.或非联结词
9.条件否定联结词
主析取范式主合取范式
析取范式合取范式
3.3命题公式及其真值表
1.命题公式的定义
2.命题的符号化
3.命题公式的真值表
4.命题公式的类型
3.4逻辑等值的命题公式
1.逻辑等值的定义
2.基本等值式
3.等值演算法
4.对偶原理
3.5命题公式的范式
1.命题公式的析取范及合取范式
2.命题公式的主析取范及主合取范式
3.6联结词集合的功能完备性（自学）
3.7命题逻辑中的推理
1.推理形式有效性的定义
2.基本推理规则
3.命题逻辑的自然推理系统
真值表
教学内容
教学设计
【提出问题1】
有一逻辑学家误入某部落，被拘于牢狱，酋长意欲放行，他对逻辑学家说：
“今有两门，一为自由，一为死亡，你可任意开启一门。
为协助你逃脱，今加派两名战士负责解答你所提的问题。
惟可虑者，此两战士中一名天性诚实，一名说谎成性，今后生死由你自己选择。
”逻辑学家沉思片刻，即向一战士发问，然后开门从容离去。
该逻辑学家应如何发问？
逻辑学家手指一门问身旁的一名战士说：
“这扇门是死亡门，他（指另一名战士）将回答‘是’，对吗？
”
当被问战士回答“对”，则逻辑学家开启所指的门从容离去。
当被问的战士回答“否”，则逻辑学家开启另一扇门从容离去。
事实上，如果被问者是诚实战士，他回答“对”。
则另一名战士是说谎战士，他回答“是”，那么，这扇门不是死亡门。
如果被问战士是诚实战士，他回答“否”。
则另一名战士是说谎战士，他回答“不是”，那么，这扇门是死亡门。
如果被问者是说谎战士，可以类似分析。
设P：
被问战士是诚实人。
Q：
被问战士的回答是“对”。
R：
另一名战士的回答是“是”。
S：
这扇门是死亡门。
【提出问题2】
一家航空公司，为了保证安全，用计算机复核飞行计划。
每台计算机能给出飞行计划正确或者有误的回答。
由于计算机也有可能发生故障，因此采用三台计算机同时复核。
由所给答案，根据“少数服从多数”的原则作出判断。
试将结果用公式表示，并加以简化，画出电路图。
设C1，C2，C3分别表示三台计算机的答案，S表示判断结果，根据题意其的真值表如下。
S=（⌝C1∧C2∧C3）∨（C1∧⌝C2∧C3）∨（C1∧C2∧⌝C3）∨（C1∧C2∧C3）
=（C2∧C3）∨（C1∧C3）∨（C1∧C2）C1·
C2·
S
C3·
P
Q
R
S
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
C1
C2
C3
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
教学内容
教学设计
逻辑学是研究思维形式及思维规律尤其是推理的学科,早在两千多年前就受到人们的重视,古希腊著名逻辑学家亚里士多德（Aristotle,公元前384~公元前322）是形式逻辑的创始人。
德国数学家、哲学家莱布尼茨（G.Leibniz,1647~1716）首先提出用数学方法研究逻辑,就是建立一套表意符号体系,在符号之间进行形式推理.莱布尼茨是数理逻辑的创始人.也正因为这样,数理逻辑又称为符号逻辑。
◆逻辑推理无处不在,从日常生活中的实际问题的解决到数学定理的证明以及程序正确性验证.
◆除了传统的数理逻辑（内容包括逻辑演算、公理化集合论、模型论、递归论和证明论）外,还出现了各种各样的应用逻辑,如多值逻辑、模态逻辑、归纳逻辑、时序逻辑、动态逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑、缺省逻辑、算法逻辑及程序逻辑等,这些都与计算机科学密切相关.
◆命题逻辑与谓词逻辑是数理逻辑的基础部分.
◆计算机的计算过程就是推理过程,而每一步推理离不开判断,判断的对象就是命题.
我现在年纪大了，搞了这么多年的软件，错误不知犯了多少，现在觉悟了，我想，假如，我早年在数理逻辑上好好下点工夫的话，我就不会犯这么
警多的错误，不少东西逻辑学家早就说过了，可是我不知道，要是我年轻20
世岁的话，就回去学逻辑学。
名———Dijkstra
言
教学内容
教学设计
3.1命题的有关概念
1.命题
命题是能判断出真假的语句.如何理解命题?
⑴必须是一个完整的句子，包括用数学式子表达；
⑵语句必须具有真假意义（有对错之分）；
⑶语句具有真假意义，一般是陈述句.
【例】判断下列语句是否是命题
（1）2+3=5.
（2）大熊猫产在我国东北.（3）x>3.
（4）立正！
（5）这朵花真漂亮！
（6）你喜欢网络游戏吗?
（7）火星上有生物.
（8）我说的都是假话.（9）小王和小李是同学.
（10）你只有刻苦学习,才能取得好成绩.
2.命题的真值
命题的真值就是命题的逻辑取值.经典逻辑值只有两个:
1和0。
它们是表示事物状态的两个量.若一个命题是真命题,其真值为1;若一个命题是假命题,其真值为0.
在计算机专业课程中,将逻辑真用1表示,逻辑假用0表示.
在电路中通常规定,1表示开关处于接通状态,0表示开关处于断开状态；三极管饱和用1表示,三极管截止用0表示；
在电路分析和设计时规定,1表示高于逻辑高电平信号,0表示逻辑低电平信号等；在数理逻辑中,逻辑真是用T（True）,逻辑假用F（False）表示的。
3.原子命题与复合命题
【原子命题】也称简单命题。
是指一个命题不包含有更小的命题。
⑴命题逻辑研究的基本单位；
⑵原子命题不能再分解为更为简单的命题，即不能拆分；
⑶通常用小写英文字母p,q,r,s,…或带下标p1,p2,p3,…等来表示。
〖例〗上例中,
（1）
（2）（7）（9）是原子命题。
【复合命题】一个命题包含有更小的命题。
⑴复合命题是由原子命题构成，可以分解为更为简单的命题，即可以拆分；
⑵要想表达复合命题，需用逻辑联结词，即给定原子命题，使用逻辑联结词可以构成一个复合命题。
〖例〗上例（10）是复合命题,它包含有两个原子命题“你刻苦学习”和“你取得好成绩”.
祈使句、疑问句和感叹句不具有真假意义。
教学内容
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4.逻辑常量与逻辑变量
1和0称为逻辑常量；
逻辑表达式中出现的p,q,r,s,…或p1,p2,p3,…等称为命题变元或逻辑变量.
命题变元可以代表任意命题,从取值的角度看,命题变元既可以取1又可以取0.
3.2逻辑联结词
1.否定联结词（⌝p）
【定义】设p是一个命题，联结词⌝和命题p构成p的否定复合命题⌝p。
读作“非p”。
⑴否定联结词是一元逻辑运算；
⑵⌝p是数理逻辑中的标准符号,也可记为~p；
⑶C语言!
p,在计算机其他课程中用p表示,对应于门电路的“非门”。
其运算表：
p⌝p
10
01
〖例〗p:
2+3=5,而⌝p:
2+3≠5.
2.合取联结词（p∧q）
【定义】设p，q是一个命题，联结词∧和命题p和q构成p和q的合取复合命题p∧q。
读作“p合取q”。
⑴合取“∧”相当于“并且”,“和”,“与”,“以及”、“不但…且”、“虽然…但是”等。
⑵在数理逻辑中,合取联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
⑶并非所有的“和”都有合取之意。
如“小王和小李是同学”中的“和”并没有合取之意。
⑷合取“∧”逻辑联结词是二元逻辑运算。
⑸C语言&&，在计算机其他课程中用·表示，门电路为“与门”。
其运算表：
pqp∧q
000
010
100
111
〖例〗p:
小李能歌,q:
小李善舞.而p∧q:
小李能歌且善舞.
3.析取联结词（p∨q）
【定义】设p，q是一个命题，联结词∨和命题p和q构成p和q的合取复合命题p∨q。
读作“p析取q”。
⑴析取“∨”相当于“或者”。
⑵在数理逻辑中,析取联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
⑶自然语言中的“或”可能是“可兼或”，也可能是“不可兼或”（排斥或），而析取表达的是可兼或。
⑷析取“∨”逻辑联结词是二元逻辑运算。
原子命题通过逻辑联结词构成复合命题。
逻辑联结词就是逻辑运算。
有一元和二元。
教学内容
教学设计
⑸C语言||，在计算机其他课程中用+表示，门电路为“或门”。
其运算表：
pqp∨q
000
011
101
111
〖例〗
p:
这学期我选修人工智能课程,q:
这学期我选修模式识别课程.
p∨q:
这学期我选修人工智能课程或者模式识别课程.
4.异或联结词p⊕q
【定义】设p，q是一个命题，联结词⊕和命题p和q构成p和q的异或复合命题p⊕q。
读作“p异或q”。
⑴异或“⊕”相当于“或者”。
⑵在数理逻辑中,异或联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
⑶自然语言中的“或”可能是“可兼或”，也可能是“不可兼或”（排斥或），而析取表达的是不可兼或。
⑷异或“⊕”逻辑联结词是二元逻辑运算。
其运算表：
pqp⊕q
000
011
101
110
〖例〗
p:
明天去深圳的飞机是上午八点起飞,q:
明天去深圳的飞机是上午八点半起飞.
p⊕q:
明天去深圳的飞机是上午八点半起飞.
5.蕴涵联结词p→q
【定义】设p，q是一个命题，联结词→和命题p和q构成p和q的蕴涵复合命题p→q。
读作“p蕴涵q”。
⑴“→”相当于“如果…那么…”,“若…则…”等.
⑵→是二元逻辑运算。
⑶在数理逻辑中,蕴涵联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
⑷在p→q中，p为前件，q为后件，只有当前假为真，后件为假时，命题为假。
其运算表：
pqp→q
001
011
100
111
“可兼或”,它表示两者可同时为真,用析取表示即可；“不可兼或”,它表示两者不能同时为真,换句话说,两者同时为真是假命题.这就需要异或联结词.
p→q中前件为假，无论后件真假，命题均为真。
与自然语言表达有出入。
教学内容
教学设计
6.等价联结词p↔q
【定义】设p，q是一个命题，联结词↔和命题p和q构成p和q的蕴涵复合命题p↔q。
读作“p等价q”。
⑴“↔”相当于“当且仅当”,“充分必要条件”等.
⑵↔是二元逻辑运算。
⑶在数理逻辑中,等价联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
⑷在p↔q中，只有当p、q同真、同假时复合命合命题才为真。
⑸在数字逻辑等课程中,等价联结词称为“同”,并用“⊙”符号表示.
其运算表：
pqp↔q
001
010
100
111
〖例〗p:
四边形是平行四边形,q:
四边形的对边平行.
p↔q:
四边形是平行四边形当且仅当四边形的对边平行.
7.与非联结词p↑q
【定义】设p，q是一个命题，联结词↑和命题p和q构成p和q的与非复合命题p↑q。
读作“p与非q”。
⑴↑是二元逻辑运算。
⑵在数理逻辑中,与非联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
其运算表：
pqp↑q
001
011
101
110
8.或非联结词p↓q
【定义】设p，q是一个命题，联结词↓和命题p和q构成p和q的或非复合命题p↓q。
读作“p或非q”。
⑴↑是二元逻辑运算。
⑵在数理逻辑中,或非联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
其运算表：
pqp↓q
001
010
100
110
p→q中前件为假，无论后件真假，命题均为真。
与自然语言表达有出入。
“p当且仅当q”有两层含义：
（1）“p当q”是指q→p.
（2）“p仅当q”是指p→q.等价联结词也称为双蕴涵联结词或双条件联结词。
9.条件否定联结词pnq
教学内容
教学设计
⑴pn
q是二元逻辑运算。
⑵在数理逻辑中,条件否定联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
其运算表：
3.3命题公式及其真值表
1.命题公式的定义
命题公式是由命题常量、命题变元、逻辑联结词、左圆括号（及由圆括号）构成的有意义）的符号串,其严格定义可借助于递归定义方式给出。
【定义】命题公式按下列方法生成：
⑴命题常量1和0以及命题变元是命题公式。
⑵若A是命题公式，则（⌝A）是命题公式。
⑶若A和B是命题公式，则（A∧B）、（A∨B）、（A⊕B）、（A→B）、（A↔B）
n
命题逻辑的符号体系。
命题公式就是逻辑函数或逻辑表达式,其中的常量是逻辑常量1和0,其中
（A↑B）、（A↓B）AB
）是命题公式。
的变元是命题变元
⑷有限次应用
（1）
（2）（3）所得到的符号串是仅有的命题公式.关于括号约定：
严格按照命题公式的定义,就会出现很多的括号.一方面,这些括号使命题公式的结构清晰、含义清楚；而另一方面,括号太多给命题公式的阅读和书写带来不便.因此,特作如下一些可以省略括号的约定:
（1）最外层的括号可以省略.
（2）9个联结词运算的优先顺序依次为:
⌝、∧、∨、⊕、→、↔、↑、↓、AnB
（3）同级运算从左至右依次进行。
或逻辑变量.
命题公式可称为合式公式或简称为公式,其全称为命题合式公式.该处公式实际上是书写正确、含义清楚的表达式或者说符号串,与以前所说公式不尽相同。
2.命题的符号化
命题的符号化就是使用符号—命题变元、逻辑联结词和括号将所给出的命题表示出来.一方面说明,符号体系来源于实际问题,另一方面也是给出进一步学习逻辑演算系统的语义解释时的一种标准模型。
用一组基本的指令来编制一个计算机程序，类似于从一组公理来构造一个数学证明。
D.E.Knuth
7
教学内容
教学设计
〖命题的符号化的步骤〗
Step1找出所给命题的所有原子命题，并用小写英文字母或带下标表示；
Step2确定应使用的联结词，进而将原命题用符号表示出来。
例将下列命题符号化.
（1）天气很好或很热.
（2）如果张三和李四都不去,那么我就去.（3）仅当你走,我留下.
（4）我今天进城,除非天下雨.
（5）你只有刻苦学习,才能取得好成绩
3.命题公式的真值表
对于命题公式，若对中出现的每个命题变元都指定一个真值1或者0，就对命题公式A进行了一种真值指派或一个解释，而在该指派下会求出公式A的一个真值，将A的所有可能的真值指派以及在每一个真值指派下的取值列成一个表，就得到命题公式A的真值表。
〖例〗写出命题公式（⌝p∨q）→r的真值表.
.
【结论】一般来说，含n个命题变元的命题公式的不同的真值指派有2n种。
4.命题公式的类型
【定义】
（1）在任何指派下均取真的命题公式称为永真式或重言式；
（2）在任何指派下均取假的命题公式称为永假式或矛盾式；（3）至少有一种指派使其为真的命题公式称为可满足式；
（4）至少有一种指派使其为真同时至少有一种指派使其为假的命题公式称为中性式。
【命题公式的分类】永真式
可满足式
中性式
命题公式
永假式
自然语言的形式过程：
1确定给定句子是否是命题；2句子中连词是否为命题联结词；3要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。
要求大家能准确写出一个命题公式的真值表,这是本节的重点内容。
联结词的运算表是此部分内容的基础。
如何判断一个命题公式的类型？
真值表，取值法，逻辑等值演算
教学内容
教学设计
〖例〗证明：
命题公式（p→q）↔（⌝p∨q）是永真式。
〖解〗
由真值表可知，命题公式是永真式。
〖例〗证明：
命题公式（p∧（p→q））→q是永真式。
〖证明〗假设p∧（p→q）取真，则p和p→q均取真，而p为真，则q为真，因此原命题为永真式。
【定理】（永真式代入定理）
设命题公式A（p1，p2，…，pn）为永真式，则分别用命题公式B1，B2，…，Bn
替换A中的命题变元p1，p2，…，pn所得到的命题公式是永真式。
3.4逻辑等值的命题公式
1.逻辑等值的定义
【定义】给定两个命题公式A和B，若在任何真值指派下A和B的真值都相同，则称命题公式A和B逻辑等价或逻辑等值或简称为等值或相等，记为A=B。
【定理】设A和B是命题公式，则A=B的充要条件是A↔B永真。
【定理】若A1（p1，p2，…，pn）=A2（p1，p2，…，pn），在A1和A2中分别用命题公式B1，B2，…，Bn代替p1，p2，…，pn所得到的两个命题公式等值。
【定理】命题公式间的等值关系是等价关系：
对于任意命题公式A，B，C有：
（1）自反性：
A=A。
（2）对称性：
若A=B则B=A。
（3）传递性：
若A=B，B=C，则A=C。
〖例〗证明：
对于任意命题公式A和B，有A↔B=（A∧B）∨（⌝A∧⌝B）。
【思考？
】用真值表法可以判断任何两个命题公式是否等值，但当命题变项较多时，工作量是很大的。
我们先用真值表验证一组基本的又是重要的等值式，以它们为基础进行公式之间的演算，来判断公式之间是否等值。
取值法证明A→B永真。
由A真推出B真或由B假推出A假，则A→B永真。
同时也意味着A真B假的情况不可能出现。
=可用⇔代替。
=或⇔与↔的区别：
前是关系符号，后者是运算符号。
p
q
p→q
⌝p∨q
（p→q）↔（⌝p∨q）
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
教学内容
教学设计
2．基本等值式
1）双重否定律
A=A
2）结合律
（A∨B）∨C=A∨（B∨C）（A∧B）∧C=A∧（B∧C）
3）交换律
A∨B=B∨AA∧B=B∧A
4）分配律
A∨（B∧C）=（A∨B）∧（A∨C）A∧（B∨C）=（A∧B）∨（A∧C）
5）幂等律（恒等律、重叠律）A∨A=AA∧A=A
6）吸收律
A∨（A∧B）=AA∧（A∨B）=A
（A↔B）↔C=
A↔（B↔C）
（A→B）→C≠
A→（B→C）
A↔B=B↔A
A→B≠B→A
A→（B→C）=
（A→B）→（A→C）
A↔（B↔C）≠（A↔B）↔（A↔C）
A→A=TA↔A=T
⌝（A→B）=A∧⌝B
7）德摩根律⌝（A↔B）=⌝A↔B
⌝（A∨B）=⌝A∧⌝A⌝（A∧B）=⌝A∨⌝B=A↔⌝B=（⌝A∧B）∨（A∧⌝B）
A→0=A
8）同一律0↔A=⌝A
A∨0=AA∧1=A1→A=A0→A=A
A→1=1
9）零律0→A=1
A∨1=1A∧0=0
A→⌝A=⌝A
⌝A→A=A
10）补余律A↔⌝A=0
A∨⌝A=1A∧⌝A=0
运算时用A∨B来表示A→B方便。
问题是这种表示丢失了A、B间的因果关系。
11）A→B=⌝A∨B
12）A→B=⌝B→⌝A
如将A→B视为正定理,那么B→A就是相应的逆否定理,它们必然同时为真,同时为假。
13）A→（B→C）=（A∧B）→C
各等值式都是用元语言符号书写的称这样的等值式为等值式模式，每个等值式模式都给出了无穷多个同类型的具体的等值式。
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A是（B→C）的前提,B是C的前提,于是可将两个前提的合取A∧B作为总的前提。
即如果A则如果B则C,等价于如果A与B则C。
14）A↔B=（A∧B）∨（⌝A∧⌝B）
这可解释为A↔B为真,有两种可能的情形,即（A∧B）为真或（⌝A∧⌝B）为真而。
A∧B为真,必是在A=B=1的情况下出现,A∧⌝B为真,必是在A=B=0的情况下出现。
从而可说,A↔B为真,是在A、B同时为真或同时为假时成立。
这就是从取真来描述这等式。
15）A↔B=（A∨⌝B）∧（⌝A∨B）
这可解释为A↔B为假,有两种可能的情形,即（A∨⌝B）为假或（⌝A∨B）为假,而A
∨⌝B为假,必是在A=0，B=1的情况下出现,⌝A∨B为假,必是在A=1,B=0的情况下出现。
从而可说A↔B为假,是在A真B假或A假B真时成立。
这就是从取假来描述这等式。
16）A↔B=（A→B）∧（B→A）
这表明A↔B成立,等价于正定理A→B和逆定理B→A都成立。
17）A→（B→C）=B→（A→C）
前提条件A、B可交换次序。
18）（A→C）∧（B→C）=（A∨B）→C
左端说明的是由A而且由B都有C成立。
从而可以说由A或B就有C成立,这就是等式右端。
3．等值演算法
【定理】（等值置换定理）
设C是命题公式A的子公式，若C=D，则将A中的C部分或全部替换为D所得到的命题公式与A等值。
【等值演算法】利用基本等值式以及等值置换定理求解问题的方法。
【例】——利用等值演算，化简命题公式
设A,B,C是任意的命题公式,化简命题公式并将最后结果用只含⌝和∨表示。
⑴（A→（B∨⌝C））∧⌝A→∧B
⑵⌝A∧⌝B∧（⌝C→A）
基本等值式在化简命题公式、判断命题公式的类型、证明等值式、计算命题公式的范式、命题逻辑中的推理等中均有体现。
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【例】——利用等值演算法,判断一个命题公式的类型
设A,B,C是任意的命题公式，判断下列命题公式的类型。
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