6.轴线角的集合
终边落在x轴的非负半轴上,角的集合为{x|x=k·360°,k∈Z};
1/11
终边落在x轴的非正半轴上,角的集合为{x|x=k·360°+180°,
k∈Z};
终边落在x轴上,角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z};
终边落在y轴的非负半轴上,角的集合为{x|x=k·360°+90°,k∈Z};
终边落在y轴的非正半轴上,角的集合为{x|x=k·360°+270°,
k∈Z}或{x|x=k·360°-90°,k∈Z};
终边落在y轴上,角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z}
轴线角的表示形式并不唯一
也可以有其他的表示形式
问题探究3:
锐角,第一象限角,小于
900的角,0o
90
0的角有区别吗?
________________________________________________________________
__________________________________________________________________
课堂互助探究
探究一:
终边相同的角及象限角
1、已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半
轴上,作出下列各角,并指出它们是第几象限角.
(1)-75°;
(2)855°;(3)-510°.
【思路启迪】
(1)作角时,如何确定旋转的方向及旋转量?
(2)怎样判断一个角是第几象限角?
2、在0°~360°之间,求出一个与下列各角终边相同的角,
并判断下列各角是哪个象限的角.
(1)908°28′;
(2)-734°.
变式训练:
(1)写出与α=-1610°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<270°的元素β写出来.
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.
探究二:
确定nα及α所在的象限
n
.
评价设计
1.作业:
习题1.1A组第1,2,3题.
2.多举出一些日常生活中的“大于360的角和负角”的例子,熟练掌握他们的表示,
进一步理解具有相同终边的角的特点.
1.1.2弧度制
一、教学目标:
1、知识与技能
(1)理解并掌握弧度制的定义;
(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;(4)熟练地进行角度制与弧度制的换算;(5)角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系.(6)使学生通过弧度制的学习,理解并认识到角度制与弧度制都是对
角度量的方法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割裂的关系.
2、过程与方法
创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理
2/11
性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制
的互化,能正确使用计算器.
3、情态与价值
通过本节的学习,使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制,理解并认识到角度制
与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:
即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这
个实数的角)与它对应,为下一节学习三角函数做好准备.
二、教学重、难点
重点:
理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用.
难点:
理解弧度制定义,弧度制的运用.
三、学法与教学用具
在我们所掌握的知识中,知道角的度量是用角度制,但是为了以后的学习,我们引入了弧度制的概念,我们一定要准确理解弧度制的定义,在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.
教学用具:
计算器、投影机、三角板
四、教学设想
课前自主预习
学法指导:
认真阅读必修一课本6-9页,认真完成预习案,独立完成课内探究,牢记基础知识,掌握基本题型。
如果有不会的问题再回去阅读课本。
研究课本例题。
【学习目标】
理解弧度制的意义,正确地进行弧度制与角度制的换算,了解角的集合与实数集R之间的一
一对应关系.掌握弧度制下的弧长公式,会解决某些简单的实际问题.
一.弧度制:
1.弧度制的定义:
(1)定义:
长度等于__________所对的圆心角叫做1弧度角,记作_____,或1弧度,或
1(单位可以省略不写).
注:
角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-π,-2π等等,一般地,正角的
弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方
向来决定.
问题探究1:
1弧度的角大小是否与它所在的圆的半径有关?
(2)如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是l,那么a的弧度数是多少?
角的弧度数的绝对值是:
______,其中,l是圆心角所对的弧长,r是半径.
问题探究2:
任意角的弧度数与实数之间有怎样的对应关系?
2.角度制与弧度制得互化:
(1)角度化弧度:
180
_____rad
;
360_____rad;
1___rad;
(2)弧度化角度:
rad
___度;
2
rad
___度;1rad
___度;
(3)某些特殊角的角度数与弧度数的互化:
角度
0o
45o
60o90o
150o180o
315o
制
弧度
2
5
3
2
制
6
3
4
2
4.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,其中
nπ
α=,则
度量单位
弧度制
角度制
类别
扇形的弧长
l=_____
l=________
扇形的面积
S=____=____
S=_______
课堂互动探究
3/11
探究一:
角度制和弧度制的互化
(1)①将92°30′化成弧度为________.
7π
②将-化成度为________.
18
(2)将下列各角化成0~2π范围内的角加上2kπ(k∈Z)的形
式.
①193π.②-315°.
【思路启迪】
(1)角度与弧度存在怎样的换算关系?
(2)把一个不在0~2π范围内的角化成0~2π范围内的角加上
2kπ(k∈Z)的形式,如何确定k的值?
【探究自测】将下列弧度与角度制进行互化:
(1)=
7
=
°
13
°;
°;
(2)-
′;(3)=
12
8
6
(4)36°=
rad;(5)-105°=
rad;(6)37°30′=
rad;
例2、若圆的半径是
6cm,则15
的圆心角所对的弧长是
;
所对扇形的面积是
.
探究二:
用弧度制表示角的集合
例2、如图,用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界)
.
探究三:
例3、
(1)若圆的半径是6cm,则15的圆心角所对的弧长是;
所对扇形的面积是.
(2)已知一扇形的周长为8cm,当它的半径和圆心角取什么值时,扇形的面积最大?
并求出最大面积.
【思路启迪】
(1)用哪些量表达扇形的周长?
(2)扇形的面积公式是什么?
能否用半径表示?
(3)如何求扇形面积的最大值?
1.2.1任意角三角函数
(1)
课前自主预习
一、教学目标:
1、知识与技能
(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象
限的符号);
(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法;(3)了解如何利用与单位圆有关的有
向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;(4)
掌握并能初步运用公式一;(5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
2、过程与方法
初中学过:
锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定
义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三
角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在
各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法,巩固练习.
3、情态与价值
任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角
的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三
角函数的推广,有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数,但它对准确把握三角
函数的本质有一定的不利影响,“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数
概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要通过运算才能得到,这与函数
值是一个确定的实数也有不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
4/11
本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正
弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系.
二、教学重、难点
重点:
任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象
限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).
难点:
任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);三角函数线的正确理解.
三、学法与教学用具
任意角的三角函数可以有不同的定义方法,本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦
函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个
函数之间的关系.
另外,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接,数形结合更加紧密,这
就为后续内容的学习带来方便,也使三角函数更加好用了.
教学用具:
投影机、三角板、圆规、计算器
四、教学设想
第一课时任意角的三角函数
(一)
学法指导:
认真阅读必修一课本11-15页,认真完成预习案,独立完成课内探究,牢记基础知识,掌握基本题型。
如果有不会的问题再回去阅读课本。
研究课本例题。
【学习目标】
掌握任意角的正弦,余弦,正切的定义及在各象限的符号。
1.任意角的三角函数的定义:
(1)设
是一个任意角,我们使角
的顶点与原点重合,始边与
x轴的非负半轴重合,设它的
终边上的任意一点
P(x,y),(除原点外),它与原点的距离是
r
x2
y2(r0),在的终边
上任取(异于原点的)一点(
x,y)
则P与原点的距离r
2
y
2
y2
0
x
x2
(2)比值y叫做
的正弦
记作:
r
比值x叫做
的余弦
记作:
r
比值y叫做
的正切
记作:
以上三种函数,统称为三角函数.
x
注:
突出探究的几个问题:
①sin是个整体符号,不能认为是“sin”与“”的积.其余几个符号也是这样.
②比值只与角的大小有关,与点P在终边上的位置无关。
③角是“任意角”,当=2k+(kZ)时,与的同名三角函数值应该是
相等的,即凡是终边相同的角的三角函数值
④实际上,如果终边在坐标轴上,上述定义适用
⑤三角函数是以“比值”为函数值的函数
⑥r0而x,y的正负是随象限的变化而不同,故三角函数的符号应由象限确定.
2.三角函数在各象限内的符号
3.终边相同的角的同名三角函数值间的关系(诱导公式一)
问题探究:
诱导公式一的作用是什么?
Sin(2kπ+)=________
cos(2kπ+)=________课堂互动探究
tan(2kπ+)=________(k∈Z)
5/11
例1、根据下列条件求sinα,cosα,tanα.
π
(1)α=-;
3
(2)角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0).
π
【思路启迪】
(1)-的终边与单位圆的交点坐标是什么?
3
(2)在求|OP|时,需要对a进行分类讨论吗?
探究二:
三角函数值符号的运用
确定下列各式的符号:
(1)sin111°·cos254°;
7π7π
(2)sin·tan;
88
(3)cos7·tan5.
【思路启迪】
(1)如何判定角所在的象限?
(2)sinα,cosα,tanα在各象限的符号如何?
探究三:
诱导公式一的应用
计算下列各式的值:
(1)sin(-1050°)·cos765°+cos(-1470°)sin1140°;
23
25
(2)sin6
+cos6·tan8π.
【思路启迪】
(1)将相关角表示为α+2kπ或α+k·360°(k∈Z)
的形式,其中α∈[0,2π)或α∈[0°,360°),则α应为多少?
(2)终边相同的角的同名三角函数值间有何关系?
1.2.1任意角三角函数
(2)
课前自主预习
学法指导:
认真阅读必修一课本15-17页,认真完成预习案,独立完成课内探究,牢记基础知识,掌握基本题型。
如果有不会的问题再回去阅读课本。
研究课本例题。
【学习目标】
理解三角函数线的概念,会画正弦、余弦、正切线,并会运用它解决应用问题。
三角函数线:
我们已学过任意角的三角函数,给出了任意角的正弦,余弦,正切的定义。
想一想能不能用几何元素表示三角函数值?
(例如,能不能用线段表示三角函数值?
)
问题1:
在初中,我们知道锐角三角函数可以看成线段的比,那么,任意角的三角函数是否也可以看成是线段的比呢?
问题2:
在三角函数定义中,是否可以在角
的终边上取一个特殊点使得三角函数值的表达式更
为简单?
问题3.有向线段,有向线段的数量,有向线段长度的概念如何。
问题4.如何作正弦线、余弦线、正切线。
当角的终边上一点
P(x,y)的坐标满足
x2
y2
1时,有三角函数正弦、余弦、正切值的
几何表示——三角函数线。
1.单位圆:
_______________________
的圆叫做单位圆。
2.有向线段:
坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定:
与坐标轴方向
_____时为正,与坐标方向
_____时为负。
3.三角函数线的定义:
设任意角
的顶点在原点O,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点
P(x,y),
过P作x轴的垂线,垂足为
M;过点A(1,0)
作单位圆的切线,它与角
的终边或其反向延
长线交与点T.
y
T
y
y
P
y
P
A
T
Ax
Mo
o
(Ⅰ)
由四个图看出:
OM
M
x
当角
的终边不在坐标轴上时,有向线段
x,MP
y,于是有
My
yAx
T
xxo
M
Ax
sin
o
y
_____,
cos
r
1
x
_____,
r
1
PT
P
6/11
y
MP
AT
tan
OM
_____.
x
OA
我们就分别称有向线段
_____,_____,______为正弦线、余弦线、正切