七年级平行线的判定 最新版带答案.docx

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七年级平行线的判定最新版带答案

平行线的判定

三只钟的故事

一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。

一只旧钟对小钟说：

“来吧，你也该工作了。

可是我有点担心，你走完三千两百万次以后，恐怕会吃不消的。

”

“天哪！

三千两百万次。

”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？

办不到，办不到！

”另一支旧钟说：

“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。

”

“天下哪有这么简单的事情？

”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。

”小钟很轻松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。

成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。

1．如图，已知B，E分别是线段AC，DF上的点，AF交BD于G，交EC于H，∠1=∠2，∠D=∠C，求证：

DF∥AC．

2．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC．判断DE、BF是否平行，并说明理由．

3．如图，已知AD平分∠BAC，且AD⊥BC于D，点E、A、C在同一直线上，∠DAC=∠EFA，延长EF交BC于G，说明为什么EG⊥BC．

4．如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，∠B=∠1，2=∠E，根据这些条件你能判断AC∥ED吗？

请说明你的理由．

　1．如图，①、②、③的图形中能肯定∠1＞∠2的序号是　_________　．

2．如图所示，与∠C构成同旁内角的有　_________　个．

3．如图，在直线DE与∠O的两边相交，则∠O的同位角是　_________　，∠8的内错角是　_________　，∠1的同旁内角是　_________　．

4．观察图中角的位置关系，∠1和∠2是　_________　角，∠3和∠1是　_________　角，∠1和∠4是　_________　角，∠3和∠4是　_________　角，∠3和∠5是　_________　角．

5．如图填空．

（1）若ED，BC被AB所截，则∠1与　_________　是同位角．

（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与　_________　是内错角．

（3）∠1与∠3是AB和AF被　_________　所截构成的　_________　角．

（4）∠2与∠4是　_________　和　_________　被BC所截构成的　_________　角．

6．一个四边形的四个内角一共能形成　_________　对同旁内角．

7．如图所示，同位角一共有　_________　对，内错角一共有　_________　对，同

旁内角一共有有　_________　对．

8．8条直线两两相交，且任3条直线不交于同一点，则共可形成

　_________　对内错角．

9．下列说法：

①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②相等的角是对顶角；③同角的余角相等；④互补的两个角一定有一个为钝角，另一个角为锐角．⑤已知∠AOB=80°，∠BOC=20°，那么∠AOC=60°．其中正确的有　_________　（填序号）

10．下列说法正确的有（填序号）：

　_________　．

①同位角相等；

②一条直线有无数条平行线；

③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；

④在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c；

⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．

11．如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是　_________　．

12．已知a，b，c为平面内三条不同直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是　_________　．

13．如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为　_________　．

14．如图所示，当　_________　时，有CE∥AB成立．（只需要写出一个条件即可）

15．如图，∠1=∠2，要判断AB∥DF，需要增加条件　_________　．

16．两条平行直线被第三条直线所截，则：

①一对同位角的角平分线互相平行；

②一对内错角的角平分线互相平行；

③一对同旁内角的角平分线互相平行；

④一对同旁内角的角平分线互相垂直．

其中正确的结论是　_________　．（注：

请把你认为所有正确的结论的序号都填上）

17．如图是一条街道的两个拐角，∠ABC与∠BCD均为140°，则街道AB与CD的关系是　_________　，这是因为　_________　．

18．如图所示的方格纸中，每小方格的边长都为1cm．请在方格纸上画图并回答问题．

已知点A．

（1）在点A的正东方向取一点B，使A、B两点间的距离为4cm；

（2）过点A画直线AB的垂线；

（3）在点A的正北方向取一点C，使AC=AB；

（4）以点A为端点，画A点的北偏东45°方向的射线交BC于D点；

（5）过点D画直线AB的平行线交AC于点E；

（6）在线段AB上取一点F，使得AF=3FB，并画射线EF．

（7）写出图中∠ACD的一个同位角：

　_________　；点B到直线AC的距离　_________　；用数字1在图上标出∠CDE的对顶角．

19．如图所示，指出下列各组角是由哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？

∠1和∠2；∠2和∠6；∠6和∠A；∠3和∠5；∠3和∠4；∠4和∠7．

20．如图所示，①∠C与∠D是同位角；②∠A与∠D是内错角；③∠CFB与∠A，∠D都是同位角；④∠D与∠CAB是同位角．你认为哪些判断是对的，哪些是错误的．

21．如图所示，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，图中内错角有多少对？

22．如图所示，同位角一共有　_________　对，分别是　_________　　_________　；内错角一共有　_________　对，分别是　_________　；同旁内角一共有　_________　对，分别是　_________　．　_________　．

23．已知：

如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：

BD∥CE．

24．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．

（1）求证：

CF∥AB；

（2）求∠DFC的度数．

25．将一副三角尺按如图方式叠在一起，保持三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针．方向任意转动一个角度，当∠ACE（∠ACE＜180°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相平行，写出∠ACE角度所有可能的值，并画图．

26．已知：

E是AB、CD外一点，∠D=∠B+∠E，求证：

AB∥CD．

27．已知：

如图，AB∥CD，∠ABE=∠DCF，请说明∠E=∠F的理由．

28．如图，已知∠BED=∠B+∠D，求证：

AB∥CD．

29．四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线，

（1）分别在图1、图2、图3下面的横线上写出AE与CF的位置关系；

（2）选择其中一个图形，证明你得出的结论．

30．如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．

（1）在图中标出A，B，C，D的位置，并求道路CD与CB的夹角；

（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；

（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？

若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．

平行线的判定答案

典题探究

1.证明：

∵∠1=∠2，∠1=∠3（对顶角相等），

∴∠2=∠3，

∴BD∥EC，

∴∠DBC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）；

又∵∠D=∠C，

∵∠DBC+∠D=180°，

∴DF∥AC（同旁内角互补，两直线平行）．

2.解：

ED∥BF；证明如下：

∵四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，

∴∠ADC+∠ABC=180°，

∵BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC，

∴∠ADC+∠ABC=2∠ADE+2∠ABF=180°，

∴∠ADE+∠ABF=90°，

又∵∠A=90°，∠ADE+∠AED=90°，

∴∠AED=∠ABF，

∴ED∥BF（同位角相等，两直线平行）

3.解：

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵∠DAC=∠EFA，

∴∠BAD=∠DAC=∠EFA，

∴EG∥AD，

∵AD⊥BC，

∴EG⊥BC．

4.解：

∵∠B=∠1，2=∠E，

∴∠BCA=180°﹣∠B﹣∠2，

∠BDE=180°﹣∠E﹣∠1，

∴∠BCA=∠BDE，

∴AC∥ED．

演练方阵

1．解：

①中∠1与∠2为对顶角，∴∠1=∠2；

②中不知道直线的位置关系，无法判断∠1与∠2的大小；

③中根据三角形任意一个外角大于与之不相邻的任意一内角，∴∠1＞∠2．

故答案为③．

2．解：

AC与EB、DC相截，与∠C构成同旁内角的有∠EBC；

AC与BD、DC相截，与∠C构成同旁内角的有∠DBC；

DC与BD、BC相截，与∠C构成同旁内角的有∠BDC；共3个．故填3．

3．解：

∠O与∠2在被截线OB和ED的同一方，在截线OA的同侧，∠O与∠5在被截线OA和ED的同一方，在截线OB的同侧，故∠O的同位角是∠2和∠5；

∠8与∠2在被截线OA和OB之间，分别在截线DE的两侧，故∠8与∠2是内错角；

∠1与∠8在被截线OA和OB之间，在截线DE的同旁，故∠1与∠8是同旁内角，∠1与∠O在被截线DE和OB之间，在截线OA的同旁，故∠1与∠O是同旁内角．

故∠O的同位角是∠2和∠5；∠8的内错角是∠2；∠1的同旁内角是∠8和∠O．

4．解：

∵∠1+∠2=180°，

∴∠1和∠2是邻补角，

∠3和∠1是对顶角，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠3和∠5是同旁内角；

故答案为：

邻补，对顶，同位，内错，同旁内角互补．

5．解：

（1）如图：

若ED，BC被AB所截，则∠1与∠2是同位角，

（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与∠4是内错角，

（3）∠1与∠3是AB和AF被ED所截构成的内错角，

（4）∠2与∠4是AB和AF被BC所截构成的同位角．

故答案为∠2；∠4；ED，内错；AB，AF，同位．

6．解：

如图，

∴∠A和∠B是同旁内角，∠A和∠D是同旁内角，

∠B和∠C是同旁内角，∠C和∠D是同旁内角；

故答案为：

4．

7．解：

同位角一共有6对，分别是∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9；内错角一共有4对，分别是∠1和∠7，∠4和∠6，∠5和∠9，∠2和∠9；同旁内角一共有4对，分别是∠1和∠6，∠1和∠9，∠4和∠7，∠6和∠9．

故答案为：

6，4，4．

8．解：

∵任意三条直线两两相交可组成6对内错角，

8条直线可分成56组，

故共有56×6=336（对）

故答案为：

336．

9．解：

①两直线平行，内错角相等；故本选项错误；

②有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；故本选项错误；

③根据余角的性质：

等角的余角相等；故本选项正确；

④互补的两角和等于180°，两个角可能都等于90°；故本选项错误；

⑤如图：

∠AOB=80°，∠BOC=20°，那么，∠AOC=100°；故本选项错误；

故答案为：

③．

10．解：

①应是两直线平行，同位角相等，故本小题错误；

②一条直线有无数条平行线，正确；

③因为线段有端点，所以有长短，不相交也不一定平行，故在同一平面内，两条不相交的线段不一定是平行线，故本小题错误；

④在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c，符合平行公理，正确；

⑤应为过直线外一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行，故本小题错误，

故答案为：

②④．

11．解：

两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是内错角．

故答案为：

内错角．

12．解：

∵a⊥b，c⊥b，

∴a∥c，

故答案为：

平行．

13．解：

根据题意，∠1与∠2是三角尺的同一个角，

所以∠1=∠2，

所以，AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．

故答案为：

平行．

14．解：

假设CE∥AB，则∠1=∠2．

故答案为：

∠1=∠2．

15．解：

若∠ABD=∠FDB，则AB∥DF．

∵∠1=∠2，

∴当∠CBD=∠EDB时，有∠ABD=∠FDB；或当BC∥DE时可推出∠ABD=∠FDB．

故填∠CBD=∠EDB或BC∥DE．

16．解：

①两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等．根据同位角相等，两直线平行可判断角平分线平行；

②两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等．根据内错角相等，两直线平行可判断角平分线平行；

③显然不对；

④两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成90°角，即互相垂直．

故正确的结论是①②④．

17．解：

平行．

理由：

∵∠ABC=∠BCD=140°，

∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）

故答案为：

平行，内错角相等，两直线平行

18．解：

（1）

（2）（3）（4）（5）（6）如图：

（7）由图可知：

∠ACD的一个同位角是∠AEF，点B到直线AC的距离是4cm，∠CDE的对顶角如图．

19．解：

∠1和∠2是直线ED和直线BD被直线AB所截所产生的同位角；

∠2和∠6是直线AB和直线AC被直线BD所截所产生的内错角；

∠6和∠A是直线AB和直线BD被直线AC所截所产生的同位角；

∠3和∠5是直线ED和直线CD被直线EC所截所产生的同旁内角；

∠3和∠4是直线ED和直线BC黑直线EC所截产生的内错角；

∠4和∠7是直线BE和直线BC被直线EC所截产生的同旁内角．

20．解：

①∠C与∠D是内错角，故原说法错误；

②∠A与∠D不是内错角，故原说法错误；

③∠CFB与∠A，∠D都是同位角，故原说法正确；

④∠D与∠CAB不是同位角，故原说法错误．

21．解：

图中的内错角有：

∠ABC与∠BCD，∠EBC与∠BCF，∠ABC与∠BCF，∠EBC与∠BCD．共4对．

22．解：

同位角一共有6对，分别是∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9；内错角一共有4对，分别是∠1和∠7，∠4和∠6，∠5和∠9，∠2和∠9；同旁内角一共有4对，分别是∠1和∠6，∠1和∠9，∠4和∠7，∠6和∠9．

故答案为：

6，∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9；4，∠1和∠7，∠4和∠6，∠5和∠9，∠2和∠9；4，∠1和∠6，∠1和∠9，∠4和∠7，∠6和∠9

23．证明：

∵∠A=∠F，

∴AC∥DF，

∴∠C=∠FEC，

∵∠C=∠D，

∴∠D=∠FEC，

∴BD∥CE．

24．

（1）证明：

∵CF平分∠DCE，

∴∠1=∠2=

∠DCE，

∵∠DCE=90°，

∴∠1=45°，

∵∠3=45°，

∴∠1=∠3，

∴AB∥CF（内错角相等，两直线平行）；

（2）∵∠D=30°，∠1=45°，

∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．

25．解：

①当∠ACE=45°时，EB∥AC，

∵∠E=45°，∠ACE=45°，

∴EB∥AC．

②同理，当∠ACE=30°时，AD∥BC．

26．证明：

∵∠D=∠B+∠E（已知），

∠BFD=∠B+∠E（三角形的一个外角等于与它不相留邻的两个内角的和），

∴∠D=∠BFD（等式的性质）．

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

27．解：

∵AB∥CD（已知），

∴∠ABC=∠BCD（两直线平行内错角相等），

∵∠ABE=∠DCF（已知），

∴∠EBC=∠FCB，

∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），

∴∠E=∠F（两直线平行内错角相等）．

28．证明：

延长BE交CD于F．

∵∠BED是△DEF的外角，

∴∠BED=∠D+∠EFD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），

又∠BED=∠B+∠D，

∴∠B=∠EFD（等量代换），

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

29．解：

（1）图1中AE∥FC；

图2中AE∥FC；

图3中AE⊥FC．

（2）选择图1证明．如图：

∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠D）=360°﹣180°=180°，

又∵AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线，

∴∠1+∠3=

∠BAD+

∠BCD=

（∠BAD+∠BCD）=

×180°=90°．

又∵∠B=90°，

∴∠1+∠5=90°，

∴∠3=∠5，

∴AE∥FC；

选择图2证明，如图，

∵∠B=∠D=90°，

∴∠BAD+∠BCD=360°﹣2×90°=180°，

∴

∠BAD+

∠BCD=90°，

∴∠GAD=∠BCD，

∵AE是∠GAD的角平分线，

∴∠1=

∠GAD=

∠BCD，

同理可得：

∠2=

∠BAD，

∴∠1+

∠BAD=90°，

延长CD交AE于点P，∠ADC=90°，

∴∠1+∠P=90°，

∴∠P=

∠BAD，

即∠P=∠2，

∴AE∥FC（同位角相等，两直线平行）；

选择图3证明．如图：

∵∠B+∠BAD+∠D+∠DCB=360°，

又∵∠B=∠D=90°，

∴∠BAD+∠DCB=180°，

∵∠DCB+∠BCE=180°，

∴∠BAD=∠BCE，

∵AE、AF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线，

∴∠1=

∠BAD，∠2=

∠BCE，

∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，∠1+∠B+∠4=180°，∠2+∠CMA+∠3=180°，

∵∠B=90°∠1+∠4=∠2+∠3，

∴∠CMA=∠B=90°，

∴AE⊥CF．

30．解：

（1）如图所示，过C作CM⊥CD交AB与M，则∠DCM=90°，∠MCB=30°，

∴CD与CB的夹角为90°+30°=120°；

（2）环湖路的长=AB+BC﹣CD=3km；

（3）不能判定DC∥AB．

加上的条件可以是：

CA平分∠DCB．

证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵CA平分∠DCB，

∴∠DCA=∠ACB，

∴∠DCA=∠CAB，

∴DC∥AB．