04183概率论与数理统计经管类第2章课后答案.docx

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04183概率论与数理统计经管类第2章课后答案

习题2.1

1.设随机变量X的分布律为P{X=k}=,k=1,2,N求常数a.

N

解:

由分布律的性质沫皿瑶=1得

P（X=1）申（X=2）+…P+X=N）=1

N*=1,即a=1

NI

2.设随机变量X只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为一，一一—,求常数C.

花亡4c5cl&c

解:

-:

2c4cSc1.6c

37

C~

3•将一枚骰子连掷两次，以X表示两次所得的点数之和,以丫表示两次出现的最小点数，分别求X,丫的分布律.

注：

可知X为从2到12的所有整数值.

可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为（1/6）*（1/6）=1/36，故

P（X=2）=（1/6）*（1/6）=1/36（第一次和第二次都是1）

P（X=3）=2*（1/36）=1/18（两种组合（1,2）（2,1））

P（X=4）=3*（1/36）=1/12（三种组合（1,3）（3,1）（2,2））

P（X=5）=4*（1/36）=1/9（四种组合（1,4）（4,1）（2,3）（3,2））

P（X=6）=5*（1/36=5/36（五种组合（1,5）（5,1）（2,4）（4,2）（3,3））

P（X=7）=6*（1/36）=1/6（这里就不写了，应该明白吧）

P（X=8）=5*（1/36）=5/36

P（X=9）=4*（1/36）=1/9

P（X=10）=3*（1/36）=1/12

P（X=11）=2*（1/36）=1/18

P（X=12）=1*（1/36）=1/36

以上是X的分布律投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数，即丫的取值了.

P（Y=1）=（1/6）*1=1/6一个要是1,另一个可以是任何值

P（Y=2）=（1/6）*（5/6）=5/36

P（Y=3）=（1/6）*（4/6）=1/9

P（Y=4）=（1/6）*（3/6）=1/12

P（Y=5）=（1/6）*（2/6）=1/18

P（Y=6）=（1/6）*（1/6）=1/36以上是Y的分布律了.

一个是2,另一个是大于等于2的5个值一个是3,另一个是大于等于3的4个值一个是4,另一个是大于等于4的3个值一个是5,另一个是大于等于5的2个值一个是6,另一个只能是6

4.设在15个同类型的零件中有2个是次品，从中任取3次，每次取一个，取后不放回.以X表示取出的次品的个数，求X的分布律.

解:

X=0,1,2

2

5.抛掷一枚质地不均匀的硬币，每次出现正面的概率为-,连续抛掷8次，以X表示出现正面的次数，求X3'

的分布律.

6.设离散型随机变量X的分布律为

X

-1

2

3

P

1

1

1

S

s

求F卜F|

3-4

=

1-4

1-2

=-1_z3}-

<-3

X<

门X

<

2pp

7.设事件A在每一次试验中发生的概率分别为0.3.当A发生不少于3次时，指示灯发出信号,求:

（1）进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；

（2）进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率.解:

设X为事件A发生的次数,

⑴----...-

=Cg（0.3）3（0.7）2+4（03「（0刀14FC|（03）5（0_7）°

=0.1323+0.02835+0.00243=0.163

（2）.:

.....-....-..

=1-C?

（0.3）C（OJ）7-C丸0・3）1（0.7）吕-C7（0.3）2（0.7）5

=1-0.0824-0.2471一0.3177=0.353

8.甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7.现各投3次,求两人投中次数相等的概率.解:

设X表示各自投中的次数

卩{X=0}=6^（0.6）°（0.4）3*CgC0-^°（0.3）3=0.064七0.027=0.002

P{X=1}=爲（0・6）1（0・4尸•爲〔0・刀】〔0・3严=0.288*0.189=0.054

卩{X=2}=CKO.e^fO.^1*心〔0•刀2®萄】=0.432电0.441=0.191

P{X=3}=CK0.6）3（0.4）°*（3（a7）3（P-3）fl=0.216*0.343=0.074

投中次数相等的概率=if£.」:

•气[匚■:

;'I

9.有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车经过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为

0.0001在某天的该段时间内有1000辆汽车经过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？

俐用泊松分布定理计算）

解:

设X表示该段时间出事故的次数，则X~B（1000,0.0001）用泊松定理近似计算-=1000*0.000仁0.1

P{x>2}=1-P{X=0]-P{X=1}

=^-C?

coo（0.0001）°（O.9999）1000一供负（0.0001）1（0.9999）叩

=1-旷皿一=1-0.9043-0.0905=0.0047

10.一电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分别，求:

（1）每分钟恰有8次呼唤的概率；

（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率.

解：

（1）....—...-.一…—…一一-

（2）....-「-

习题2.2

1.求0-1分布的分布函数.

「0,x<0

解:

F（X>=*qt0

!

【l,x>1

2.设离散型随机变量X的分布律为：

X

-1

2

3

P

0.25

0.5

0.25

求x的分布函数，以及概率匸丄二•「.

解V:

lA1「■一

ft—l25；

4

>

如下4个函数，哪个是随机变量的分布函数

ro,x<-2

⑴Fj（町=^,—2冬輩v0

i2,x>0

/0,JE

（2）F2（x）=sinx,QTT

（orY<0

⑶

x>

（2戶…1=•l…「i

x<0

0

解之a-,b-

VTT

（将x=1带入F（x）=a+iarctanx）注：

arctan为反正切函数，值域（），arctan仁

6.设随机变量X的分布函数为

「①x

F（xr）—lnxz1

lfx>e

求逼;:

:

--

解：

一—_一注：

1；〔壮=蚪：

—总

P{0

P{22^}=F（2.5）-F

（2）=ln23-ln2==lnl.25

习题2.3

1.设随机变量X的概率密度为:

求：

（1）常数a;

（2）科缶辽賈瓦；?

；⑶X的分布函数F（x）.

解：

（1）由概率密度的性质」'*[=：

：

二

1

Ah

2

⑵p{o

一些常用特殊角的三角函数值

正弦

余弦

正切

余切

0

0

1

0

不存在

n/6

1/2

V3/2

V3/3

V3

n/4

V2/2

V2/2

1

1

n/3

V3/2

1/2

V3

V3/3

n/2

1

0

不存在

0

0

不存在

（3）

X的概率分布为：

2.

"一00

（2）!

圾iV前v门;（3）X的分布函数.

设随机变量X的概率密度为f（x）=ae-1*1求:

（1）常数a;

解：

（1）

仁7f（x）dx=曲dx十ae_aEdx=

p{0

X的分布函数

（1

2o

一专产X>0

3.求下列分布函数所对应的概率密度：

（1）:

-■7匚芦二二—丁

x>°（指数分布）

x<0

⑶F3（x）二」

x<0

0<

*TT

X>-

-IC&SX,

解：

f3（x）二’

Ia

其他

（均匀分布）

4.设随机变量X的概率密度为

「耳0

—2—3tjIMkUN

0,其他.

求:

（併｛炬牛（2陀"<冷

解：

例2设X-f（工）=2—拟l

a

求殆）・

J—1*1

ibWx^-分段

袁达的，求艸软时

註意井段就.

X,（）

X'/（x）=<2—I

J—4

f曲+『（2-fkZr

x<（）

0

l

x>2

a

x<0

X-

0

F（x）=

12

2x-l-

l

2

［匚

x>2

⑴P{x>H=l-FG）=l-t=l-|=I

5.

⑵⑵「上卜弓；V

设K在（0,5）上服从均匀分布，求方程•^；\|1>."1（利用二次式的判别式）

解：

K~U（0,5）

0兰恳兰5

苴他

/If（K）=「

I氏

方程式有实数根，则.「「上「「一"II丨*1'.'!

_■■

2

故方程有实根的概率为：

P（K<-1}+P{K>2}=J|dz=

6.设X~U（2,5）现在对X进行3次独立观测，求至少有两次观测值大于3的概率.

解：

E:

F-I——--

5—22

至少有两次观测值大于3的概率为：

212120

禺馬卄碼）匂一刃

7.设修理某机器所用的时间X服从参数为入=0.5（小时）指数分布,求在机器出现故障时，在一小时内可以修好的概率•

解：

1'：

：

■I.I.I''

8.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从参数为入=的指数分布，某顾客在窗口等待

服务,若超过10分钟，他就离开•他一个月要到银行5次，以丫表示他未等到服务而离开窗口的次数写出丫的分布律,并求丄-少占

解：

未等到服务而离开的概率”为：

1〕-1-Fi1r-1-r.-;--

p{Y=fe}=一e-a）5-k（fc=04,2,3,4,5）

丫的分布律：

丫

0

1

2

3

4

5

P

0.484

0.378

0.118

0.018

0.001

0.00004

p{Y>l}=l_p{Y=O}=l_0.484=0.516

9.设X~N（3,j）,求:

⑴-一..一一.…一一一「.一一；

⑵i」.■丄.一

解：

⑴P{2吨蛊兰=护（亍）=0

（1）—[1-（7）]=0-0413-（1-0.6915）=05323

P（M>2}=l-P（-2^r^2}=1-e（字）—©（宁）=1-（0.30S5-0.0062）=0.6977

P{X>3}=P{X^3J=1-（宁）=1-^（0）=1-0.5=0,5

⑵■----■■■

P[XA<|=1—P{X>c}

P{X>tf}+P{X>c}=1

®（宁）"日F

经查表——，即C=3

10.设X~N（0,1）设x满足"区..-

解：

P{[X|>x}<0.1

2[l-^（x）]<0.1

19

20

19

20

4>（x）>0.95

经查表当：

：

工1.65时；；「一-

即■:

J.65时f|X|.二］一.g

11.X~N（10,「）,求：

⑴一，一

（2）iJ..■■.

解：

（1）「二1■■1:

■-—二：

二…--:

:

_

（2）■「一_.1

经查表-二,即d=3.3

2

12.某机器生产的螺栓长度X（单位:

cm）服从正态分布N（10.05,・…厂）,规定长度在范围10.05_0.12内为合格，求一螺栓不合格的概率.

解：

螺栓合格的概率为：

严®—10.05>\0^06j

P{10.05一0.12

_丰^10.17一10.05^

_中\0^6）

=*（3）-[1一*[3）J

=0.9772=^2-1=0.9544

螺栓不合格的概率为1-0.9544=0.0456

13.测量距离时产生的随机误差X（单位:

m）服从正态分布N（20,…J进行3次独立测量.求:

（1）至少有一次误差绝对值不超过30m的概率；

（2）只有一次误差绝对值不超过30m的概率.

解：

（1）绝对值不超过30m的概率为：

（

30—20\/—30—20\

一J-e（———J=4）（O.Z5>-[1-4>（125）]=0.4931至少有一次误差绝对值不超过30m的概率为：

1-..'.

（2）只有一次误差绝对值不超过30m的概率为：

（:

扛0.49引严（1一0・4931）2=0.3801

习题2.4

1.设X的分布律为

X|-2023

-P_0.20.2__0.30.3

求

（1）的分布律.

解：

（1八_的可能取值为5,1,-3,-5.

由于

P{Yi=5}二P{-2X+1=5}=P{X=-2]=0.2

P{Yt=1}=P{-2X+1=1}=P{X=-2]=0.2

P{Yt=-3}二P{-2X+1=-3}=P{X=2]=0.3

PfYi=-5}=P{-2X+1=-5}=P{X=3]=0.3从而i_的分布律为：

X-5-315

Yi|0.30.30.20.2

（2）.的可能取值为0,2,3.

由于

P{Y2=0}=P{|X|=0}=P{X=0]=0.2

P{Y2=2J=P{|X|=Q}=P{X=-2]+P{X=2}=0.2+03=0.5

P{Y2=3}=P{|X|=3]=P{X=3]=0.3从而：

.的分布律为：

X023

¥20.20.50.3

2.设X的分布律为

X-1012

P0.20.30.1__04

求寸-'

解:

Y的可能取值为0,1,4.

由于

P{Y=C}=P{（X一l）a=0}=P{X=1}=0.1

P{Y=1}=P[（X一l）a=1}=P{X=0}+P{X=2]=0.7

P{Y=4}=P[（X-l）a=4}=P{X=-1}=0.2

从而「的分布律为：

X|014

r0.1__0.70.2

3.X~U（0,1）求以下Y的概率密度：

⑴1-一一-…-一一-：

Y1丫

解：

（1）^一二匚:

-讥

fY（y）=f^（hty））l=e_2=|e_2.

即fY（y）」界Py>Qt

』y

（2）■=f.=■，三戸.-一=:

=:

「二.

11

卯@）=f/h（y））|hf（y）|=l*-=-

rl

1

即fy（y}=3

I0,其他

注:

由X~U（0,1）,l=汀—「当X=0时，丫=3*0+1=1;，当X=1时，丫=3*1+1=

（3）.-----

y

11fy（y）=fK（h（y））lh'（y）|=1-

y

-t.0

即fy（y）=?

0,其他

注：

，当X=0时，.-：

：

—.；，当X=1时,■.-：

■-

4.设随机变量X的概率密度为

I8苴他.

求以下丫的概率密度：

（1）Y=3X;

（2）丫=3-X;（3）a-.

解:

（1）丫=g（x）=3X,■:

=—=7二匚=-

⑶弋一飞、沁「罟,X=h（y）=「「

X的概率密度为：

⑶■■「.二

fy（y）=fx（h（y））lh;（y）|=e-^

其他

6.X~N（0,1）求以下Y的概率密度：

（1）1-:

.-.-…：

-

解：

（1）:

-;：

-....-../-「.…一一

当X=+Y时「：

•'■:

:

-'.'

当X二-Y时：

"■:

一[1.宀….HI—.」」

吐…、11_壬z_疋41

故

Vzir^2il

fy（y）=

Y—11

（2）Y=g（x）=2X2+1,X=h（y}=^-hC/）=J——

J停

-Izl

V-j2V^（y-l）e

「，孕;

R・（巧=4（h（y））|h\y）l=二巳3~

ym

即右滾

I0.y^l

自测题

1,选择题

1,设一批产品共有1000件,其中有50件次品，从中随机地，有放回地抽取500件产品,X表示抽到次品的件数，则P{X=3}=C.

2•设随机变量X~B（4,0.2）则P{X>3}=A.

A.0.0016B.0.0272C.0.4096D.0.8192解:

P{X>3}=P{X=4}=?

页滋护工…陰謬于（二项分布）

3.设随机变量X的分布函数为F（x）,下列结论中不一定成立的是D.

A..---B.一--一C.①匹阀我匹：

一D.F（x）为连续函数

4.

下列各函数中是随机变量分布函数的为B.

5.设随机变量X的概率密度为尬磁;-；.『：

'

不晓得为何课后

答案为D

■3[

D.-:

--

v、ifi则常数a=A.

x<10

{

sc,a

r是某连续型随机变量X的概率密度，则区间[a,b]可以是C

A.[0,1]B.[0,2]C.|—D.[1,2]

7.

设随机变量X的取值范围是[-1,1],以下函数可以作为X的概率密度的是

A.0B.0.25C.0.5D.1解:

P{-1

9.设随机变量X~U（2,4）则朋③临mi}=A.（需在区间2,4内）

A.P[2.25

C.■-L■.■..D.

A.N（-1,2）B.N（-1,4）C.N（-1,8）D.N（-1,16）

.-自己算的结果是

11.已知随机变量X的概率密度为fx（x），令Y=-2X则丫的概率密度fv（v）为D

A._：

B.&L：

；C._：

D.-i一

2,填空题

1.已知随机变量X的分布律为

X12345

P2a0.10.3a0.3

则常数a=0.1.

解:

2a+0.1+0.3+a+0.3=1

2.设随机变量X的分布律为

X

123

P

123

666

记X的分布函数为F（x）则F

（2）=-.解：

-―-

rt&

3.抛硬币5次，记其中正面向上的次数为X则魯施兰尅•二_—_.

解:

一’•'"-'

4.设X服从参数为入（入>0）的泊松分布，且=二.=:

，则入=2

解:

分别将-:

--.

5.设随机变量X的分布函数为

I尸0,x

F（x）=-0.4,a

.1「x>b

其中0

一

解:

^-:

:

:

:

—=门=1-=■-

6.设X为连续型随机变量,c是一个常数,则下2二<：

■=0.

7.设连续型随机变量X的分布函数为

（1

-e3rjt<0

3

F（x）=\1

-（KH-1）,□

3

则X的概率密度为f（x）,则当x<0是f（x）=-》.

8.设连续型随机变量X的分布函数为F（x）=P_e巴其中概率密度为f（x）,

lOfT<=0

则f

（1）=__：

:

_.

a=

一一（—j—日VJCVCLi

9.设连续型随机变量X的概率密度为其中a>0.要使:

=，则常数

I①其他3

3.

10•设随机变量X~N（0,1）,褪筋为其分布函数，则g；W：

=1.

11.设X~N一一厂，其分布函数为一二一二为标准正态分布函数，则F（x）^l■:

之间的关系是

诫癖=_丁「一

12.设X~N（2,4）则用¥.吃洲二0.5.

13.设X~N（5,9）,已知标准正态分布函数值一二-一一「，为使匕二亠〔m,则

常数a<6.5.解J:

-—,——--

14.设X~N（0,1）则Y=2X+1的概率密度:

數阴=_一

解：

Y—11

V==ZX+ljX=h（y）=——止工卩）=-

#I1誓「11

&（y）=Et（h（y））lh‘（y）|=^〒旦2*2=2V2iEe3

3.

2个球,以X表示取到红球的数，求X的分布律.

袋中有2个白球3个红球,现从袋中随机地抽取解:

X=0,1,2

21

当x=0时,r.\门

当X=1时,厅：

U乎：

2

当X=2时，I「二=；：

='/'：

=“

X的分布律为：

X012

163

ioioio

、fkL

四.设X的概率密度为f（x）=“

-1

疔甘出求：

⑴X的分布函数F（x）;

（2）P{X

Of具他

解：

⑴二'I-■I'■■i

当X>1时-F（x）=1

⑵卜一「二「-二—=:

.-■「二.二——」二：

-二一

五.已知某种类型电子组件的寿命X单位:

小时）服从指数分布，它的概率密度为

心五宀r>0

（0,x

一台仪器装有4个此种类型的电子组件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设4个电子组件损坏与否相互独立.试求：

⑴一个此种类型电子组件能工作2000小时以上的概率二;

（2）一台仪器能正常工作2000小时以上的概率：

:

.

解：

（1）.'一-

f+OS1矍

=Iedx

Aooo^OOO

*—2000*emcp

2000

4-oo

2000

当+帖带入一島时变咸员无穷大,

+0C

2000