第四版传热学第四章习题解答.docx
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第四版传热学第四章习题解答
第四章
复习题
1、试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。
2、试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。
3、推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似，为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。
4、第三类边界条件边界节点的离散那方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数用差分公式表示来建立。
试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方程的异同与优劣。
5．对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？
试分析比较之．
6．什么是非稳态导热问题的显示格式？
什么是显示格式计算中的稳定性问题？
7．用高斯－塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解？
不能得出收敛的解时是否因为初场的假设不合适而造成？
8．有人对一阶导数
你能否判断这一表达式是否正确，为什么？
一般性数值计算
4-1、采用计算机进行数值计算不仅是求解偏微分方程的有力工具，而且对一些复杂的经验公式及用无穷级数表示的分析解，也常用计算机来获得数值结果。
试用数值方法对Bi=,1,10的三种情况计算下列特征方程的根
并用计算机查明，当时用式（3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计算中用前六项之和来替代）可能引起的误差。
解：
，不同Bi下前六个根如下表所示：
Bi
μ1
μ2
μ3
μ4
μ5
μ6
10
Fo=及时计算结果的对比列于下表：
Fo=
Bi=
Bi=1
Bi=10
第一项的值
前六和的值
比值
Fo=
Bi=
Bi=1
Bi=10
第一项的值
前六项和的值
比值
Fo=
Bi=
Bi=1
Bi=10
第一项的值
前六项的值
比值
Fo=
Bi=
Bi=1
Bi=10
第一项的值
前六项和的值
比值
4-2、试用数值计算证实，对方程组
用高斯-赛德尔迭代法求解，其结果是发散的，并分析其原因。
解：
将上式写成下列迭代形式
假设初值为0，迭代结果如下：
迭代次数01234
0
0-1.
0-0.
显然，方程迭代过程发散
因为迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总大于或等于式中其他变量的系数绝对值代数和。
4-3、试对附图所示的常物性，无内热源的二维稳态导热问题用高斯-赛德尔迭代法计算之值。
解：
温度关系式为：
开始时假设取℃；℃
得迭代值汇总于表
迭代次数
020201515
1
2
323.22.15.
428.23.22.15.
528.23.22.15.
623.15..
其中第五次与第六次相对偏差已小于迭代终止。
4-4、试对附图所示的等截面直肋的稳态导热问题用数值方法求解节点2，3的温度。
图中.肋高H=4cm,纵剖面面积导热系数。
解：
对于2点可以列出：
节点2：
节点3：
。
由此得：
，，
，于是有：
，
，代入得：
，，
，，
，
。
离散方程的建立
4-5、试将直角坐标中的常物性无内热源的二维稳态导热微分方程化为显式差分格式，并指出其稳定性条件（。
解：
常物性无内热源二维非稳态方程微分方程为
扩散项取中心差分，非稳态项取向前差分：
所以有
稳定性条件
4-6、极坐标中常物性无内热源的非稳态导热微分方程为
试利用本题附图中的符号，列出节点（i,j）的差分方程式。
解：
将控制方程中的各阶导数用相应的差分表示式代替，可得：
也可采用热平衡法。
对于图中打阴影线的控制容积写出热平衡式得：
对等式两边同除以并简化，可以得出与上式完全一样相同的结果。
4-7、一金属短圆柱在炉内受热厚被竖直地移植到空气中冷却，底面可以认为是绝热的。
为用数值法确定冷却过程中柱体温度的变化，取中心角为1rad的区域来研究（如本题附图所示）。
已知柱体表面发射率，自然对流表面传热系数，环境温度，金属的热扩散率，试列出图中节点（1，1），（M,1）（M,n）及（M,N）的离散方程式。
在r及z方向上网格是各自均分的。
解：
应用热平衡法来建立四个节点点离散方程。
节点（1，1）：
节点（m，1）：
节点（m，n）：
4-8、一个二维物体的竖直表面收液体自然对流冷却，为考虑局部表面传热系数的影响，表面传热系数采用来表示。
试列出附图所示的稳态无内热源物体边界节点（M,n）的温度方程，并对如何求解这一方程提出你的看法。
设网格均分。
解：
利用热平衡法：
，
将h写为，其中为上一次迭代值，则方程即可线性化。
4-9、在附图所示的有内热源的二维导热区域中，一个界面绝热，一个界面等温（包括节点4），其余两个界面与温度为的流体对流换热，h均匀，内热源强度为。
试列出节点1，2，5，6，9，10的离散方程式。
解：
节点1：
；
节点2：
；
节点5：
；
节点6：
；
节点9：
；
节点10：
。
当以上诸式可简化为：
节点1：
；
节点2：
；
节点5：
节点6：
；
节点9：
；
节点10：
。
一维稳态导热计算
4-10、一等截面直肋，高H,厚，肋根温度为，流体温度为，表面传热系数为h,肋片导热系数为。
将它均分成4个节点（见附图），并对肋端为绝热及为对流边界条件（h同侧面）的两种情况列出节点2，3，4的离散方程式。
设H=45cm,,=50W/,℃，℃，计算节点2，3，4的温度（对于肋端的两种边界条件）。
解：
采用热平衡法可列出节点2、3、4的离散方程为：
节点2：
；
节点3：
；
节点4：
肋端绝热，
肋端对流。
其中。
将已知条件代入可得下列两方程组：
肋端绝热
肋端对流
由此解得：
肋端绝热，，；
肋端对流，，。
肋端对流换热的条件使肋端温度更接近于流体温度。
4-11、复合材料在航空航天及化工等工业中日益得到广泛的应用。
附图所示为双层圆筒壁，假设层间接触紧密，无接触热阻存在。
已知W/，℃，℃，。
试用数值方法确定稳态时双层圆筒壁截面上的温度分布。
解：
采用计算机求解，答案从略。
采用热平衡法对两层管子的各离散区域写出能量方程，进行求解;如果采用Taylor展开法列出方程，则需对两层管子单独进行，并引入界面上温度连续及热流密度连续的条件，数值计算也需分两区进行，界面耦合。
截面的温度分布定性地示于上图中。
4-12、有一水平放置的等截面直杆，根部温度℃，其表面上有自然对流散热，，其中，d为杆直径，。
杆高H=10cm，直径d=1cm,＝50W/，℃。
不计辐射换热。
试用数值方法确定长杆的散热量（需得出与网格无关的解。
杆的两端可认为是绝热的。
解：
数值求解过程略，Q=。
4-13在上题中考虑长杆与周围环境的辐射换热，其表面发射率为，环境可作为温度为的大空间，试重新计算其导热量。
解：
数值求解过程略，Q=。
4-14、有如附图所示的一抛物线肋片，表面形线方程为：
肋根温度及内热源恒定，流体表面传热系数h,流体温度为常数。
定义：
。
试：
（1）建立无量纲温度的控制方程；
（2）在无量纲参数下对上述控制方程进行数量计算。
确定无量纲温度的分布。
解：
无量纲温度方程为：
。
数值计算结果示于下图中，无量纲温度从肋根的1变化到肋端的。
一维非稳态导热计算
4-15、一直径为1cm,长4cm的钢制圆柱形肋片，初始温度为25℃，其后，肋基温度突然升高到200℃，同时温度为25℃的气流横向掠过该肋片，肋端及两侧的表面传热系数均为100。
试将该肋片等分成两段（见附图），并用有限差分法显式格式计算从开始加热时刻起相邻4个时刻上的温度分布（以稳定性条件所允许的时间间隔计算依据）。
已知＝43W/，。
（提示：
节点4的离散方程可按端面的对流散热与从节点3到节点4的导热相平衡这一条件列出）。
解：
三个节点的离散方程为：
节点2：
节点3：
节点4：
。
以上三式可化简为：
稳定性要求，即。
，代入得：
，
如取此值为计算步长，则：
，。
于是以上三式化成为：
时间点
1
2
3
4
0
200
25
25
25
△
200
25
25
2△
200
3△
200
4△
200
在上述计算中，由于之值正好使，
因而对节点2出现了在及2时刻温度相等这一情况。
如取为上值之半，则，，，于是有：
对于相邻四个时层的计算结果如下表所示：
时间点
1
2
3
4
0
200
25
25
25
△
200
25
25
2△
200
3△
200
4△
200
4-16、一厚为2.54cm的钢板，初始温度为650℃，后置于水中淬火，其表面温度突然下降为93.5℃并保持不变。
试用数值方法计算中心温度下降到450℃所需的时间。
已知。
建议将平板8等分，取9个节点，并把数值计算的结果与按海斯勒计算的结果作比较。
解：
数值求解结果示于下图中。
随着时间步长的缩小，计算结果逐渐趋向于一个恒定值，当=时，得所需时间为。
如图所示，横轴表示时间步长从1秒，秒，秒，秒，秒，秒的变化；纵轴表示所需的冷却时间（用对数坐标表示）。
4-17、一火箭燃烧器，壳体内径为400mm,厚10mm,壳体内壁上涂了一层厚为2mm的包裹层。
火箭发动时，推进剂燃烧生成的温度为3000℃的烟气，经燃烧器端部的喷管喷住大气。
大气温度为30℃。
设包裹层内壁与燃气间的表面传热系数为2500W/，外壳表面与大气间的表面传热系数为350，外壳材料的最高允许温度为1500℃。
试用数值法确定：
为使外壳免受损坏，燃烧过程应在多长时间内完成。
包裹材料的＝W/，a=。
解：
采用数值方法解得。
4-18、锅炉汽包从冷态开始启动时，汽包壁温随时间变化。
为控制热应力，需要计算汽包内壁的温度场。
试用数值方法计算：
当汽包内的饱和水温度上升的速率为1℃/min,3℃/min时，启动后10min,20min,及30min时汽包内壁截面中的温度分布及截面中的最大温差。
启动前，汽包处于100℃的均匀温度。
汽包可视为一无限长的圆柱体，外表面绝热，内表面与水之间的对流换热十分强烈。
汽包的内径外半径热扩散率。
解：
数值方法解得部分结果如下表所示。
汽包壁中的最大温差，K
启动后时间，min
温升速率，K/min
1
3
10
20
30
4-19、有一砖墙厚为，＝，室内温度为℃，h=6。
起初该墙处于稳定状态，且内表面温度为15℃。
后寒潮入侵，室外温度下降为℃，外墙表面传热系数。
如果认为内墙温度下降0.1℃是可感到外界温度起变化的一个定量判据，问寒潮入侵后多少时间内墙才感知到？
解：
采用数值解法得t=7900s。
4-20、一冷柜，起初处于均匀的温度（20℃）。
后开启压缩机，冷冻室及冷柜门的内表面温度以均匀速度18℃/h下降。
柜门尺寸为。
保温材料厚8cm，＝。
冰箱外表面包裹层很薄，热阻可忽略而不计。
柜门外受空气自然对流及与环境之间辐射的加热。
自然对流可按下式计算：
其中H为门高。
表面发射率。
通过柜门的导热可看作为一维问题处理。
试计算压缩机起动后2h内的冷量损失。
解：
取保温材料的，用数值计算方法得冷量损失为。
4-21、一砖砌墙壁，厚度为240mm，＝,。
设冬天室外温度为24h内变化如下表所示。
室内空气温度℃且保持不变；外墙表面传热系数为10，内墙为6。
试用数值方法确定一天之内外墙，内墙及墙壁中心处温度随时间的变化。
取。
设上述温度工况以24h为周期进行变化。
时刻/h
0：
00
1：
00
2：
00
3：
00
4：
00
5：
00
6：
00
7：
00
8：
00
9：
00
10：
00
11：
00
温度/
时刻/h
12：
00
13：
00
14：
00
15：
00
16：
00
17：
00
18：
00
19：
00
20：
00
21：
00
22：
00
23：
00
温度/
解：
采用数值解法得出的结果如下表所示。
时刻/h
0
1
2
3
4
5
6
7
8
环境温度/
外墙温度/
墙壁中心温度/
内墙温度/
时刻/h
9
10
11
12
13
14
15
16
17
环境温度/
-7
-1
外墙温度/
墙壁中心温度/
内墙温度/
时刻/h
18
19
20
21
22
23
环境温度/
外墙温度/
墙壁中心温度/
内墙温度/
多维稳态导热问题
4-22、如附图所示，一矩形截面的空心电流母线的内外表面分别与温度为的流体发生对流换热，表面传热系数分别为，且各自沿周界是均匀的，电流通过壁内产生均匀热源。
今欲对母线中温度分布进行数值计算，试：
（1）划出计算区域
（2）对该区域内的温度分布列出微分方程式及边界条件；
（3）对于图中内角顶外角顶及任一内部节点列出离散方程式（），设母线的导热系数为常数。
4-23、一个长方形截面的冷空气通道的尺寸如附图所示。
假设在垂直于纸面的方向上冷空气及通道墙壁的温度变化很小，可以忽略。
试用数值方法计算下列两种情况下通道壁面的温度分布及每米长度上通过壁面的冷量损失：
（1）内外壁分别维持在10℃及30℃
（2）内外壁与流体发生对流换热，且有℃，，℃，
。
解：
此题应采用计算机求解。
如有墙角导热的热点模拟实验设备，则计算参数（如h，及网格等）可以取得与实验设备的参数相一致，以把计算结果与实测值作比较。
根据对称性，取1/4区域为计算区域。
数值计算解出，对于给定壁温的情形，每米长通道的冷损失为，对于第三类边界条件为（取壁面导热系数）。
内外表面为给定壁温时等温线分布如下图所示。
第三类边界条件的结果定性上类似。
4-24、为了提高现代燃气透平的进口燃气温度以提高热效率，在燃气透平的叶片内部开设有冷却通道以使叶片金属材料的温度不超过允许值，为对叶片中的温度分布情况作一估算，把附图a所示的截片形状简化成为附图b所示的情形。
已知，。
试计算：
（1）截面中最高温度及其位置；
（2）单位长度通道上的热量。
解：
根据对称性选择1/4区域为计算区域，采用网格，取壁面时得单位长度的传热量为，等温线分布如图所示。
截面中最高温度发生在左上角，该处温度为。
综合分析与分析、论述题
4-25、工业炉的炉墙以往常用红砖和耐火砖组成。
由于该两种材料的导热系数较大，散热损失较严重，为了节省能量，近年来国内广泛采用在耐火砖上贴一层硅酸纤维毡，如附图所示。
今用以下的非稳态导热简化模型来评价黏贴硅酸纤维毡的收益：
设炉墙原来处于与环境平衡的状态，s时内壁表面突然上升到550℃并保持不变。
这一非稳态导热过程一直进行到炉墙外表面的对流，辐射热损失与通过墙壁的导热量相等为止。
在炉墙升温过程中外表面的总表面传热系数由两部分组成，即自然对流引起的部分
及辐射部分
其中：
为外表面温度，为内表面温度，。
为简化计算，设三种材料的导热系数分别为W/，W/，W/。
试计算每平方炉墙每平方面积上由于粘贴了硅酸纤维毡而在炉子升温过程中节省的能量。
解：
采用数值计算方法，详细过程从略。
4-26、空气在附图所示的一长方形截面的送风管道中作充分发展的层流流动，其z方向的动量方程简化为
而且。
上式可看成是源项为的一常物性导热方程。
试用数值方法求解这一方程并计算f,Re之值。
f为阻力系数，Re为特征长度为当量直径。
计算时可任取一个值，并按a/b＝及1两种情形计算。
解：
假设壁温为常数，则不同a/b下换热充分发展时的fRe及Nu数的分析解为：
a/b
Nu
fRe
1
57
62
4-27、一家用烤箱处于稳定运行状态，箱内空气平均温度℃，气体与内壁间的表面传热系数。
外壁面与20℃的周围环境间的表面传热系数。
烤箱保温层厚30mm,W/,保温层两侧的护板用金属制成且很薄，分析中可不予考虑，然后，突然将烤箱调节器开大，风扇加速，内壁温度突然上升到185℃，设升温过程中烤箱外壁面与环境间的表面传热系数可用计算，环境温度仍保持为20℃，为烤箱外壁面温度，c之值与运行时一样。
试确定烤箱内壁温度跃升后到达新的稳定状态所需时间。
解：
需采用数值方法求解，过程从略。
小论文题目
4-28、一厚为2.54cm的钢管，初始温度为16℃。
其后，温度为572℃的液态金属突然流过管内，并经历了10s。
液态金属与内壁面间的表面传热系数h=。
钢管可以按平壁处理，其外表面的散热由对流及辐射两条路径，并分别可按及计算，，周围环境温度＝20℃。
试用有限差分法确定在液态金属开始流入后的18s时截面上的温度分布。
已知钢管的41W/，，c=536J/。
解：
在钢管壁厚方向上取27个点，以内壁为坐标原点，沿着壁厚方向为x正方向，数值计算结果如下。
位置/cm
0
温度/
位置/cm
1
温度/
位置/cm
2
温度/
用图形表示如下
4-29、为对两块平板的对接焊过程（见附图a）进行计算，对其物理过程作以下简化处理：
钢板中的温度场仅是x及时间的函数；焊枪的热源作用在钢板上时钢板吸收的热流密度，为电弧有效加热半径，为最大热流密度；平板上下表面的散热可用计算，侧面绝热；平板的物性为常数，熔池液态金属的物性与固体相同；固体熔化时吸收的潜热折算成当量的温升值，即如设熔化潜热为L，固体比热容为c,则当固体达到熔点后要继续吸收相当于使温度升高（L/c）的热量，但在这一吸热过程中该温度不变。
这样，附图a所示问题就简化为附图b所示的一维稳态导热问题。
试：
（1）列出该问题的数学描写；
（2）计算过程开始后内钢板中的温度场，设在开始的内有电弧的加热作用。
已知：
，h=,＝,,L=255kJ/kg,℃，H=12cm,
。
解：
取初始温度与环境温度均为。
该问题的数学描写为：
00;
;
>0;
>0。
为了更好分辨热源附近的温度场宜采用非均分网格。
计算得出开始加热后的内钢板中的温度分布如下图所示。
4-30、在壁厚为7cm的铸铁模型中铸造14cm厚的黄铜板。
设此问题可按一维问题处理，试确定达到铜版完全凝固所需的时间。
计算时作以下简化处理：
液体铜在瞬间内充满形腔；液体铜及铸型的初始温度各自均匀；液体铜内无自然对流，固液体铜内均为导热；液体铜与固体铜的物性相同且为常数；铸件与铸型之间接触良好，不存在空气隙；铸型外两表面与周围环境间的散热可用表示；液体铜在固定的凝固点下凝固，凝固过程中释放出的熔化潜热可折算成相当于使物体温度升高（L/c）的热量，但在潜热释放过程中该温度应一直保持为。
经过这样一番简化后所计算的问题变为如附图所示的双层平板的一维导热问题。
试：
（1）列出该问题的数学描写；
（2）在下列条件下计算使钢板完全凝固所需的时间。
已知：
铸型初温℃，液体铜初温为1100℃，℃,h＝4，W/，W/，，L=kg,℃。
解：
设铸型厚为，铸件半厚为，则有：
0，，
>0，，，
，
数值计算结果得出所需时间为。
4-31、建筑物采暖的一种方式是在房间地板下设置热空气通道，如附图所示。
设地板下的水泥混凝土层的一侧绝热，地面温度℃。
热空气通道截面尺寸为150mm,并在混凝土层中对称布置，通道壁温保持为80℃。
试计算单位长度热空气通道的传热量，并从计算结果中整理出此种情形下形状因子S之值。
解：
单位长度传热量为，形状因子为S=。
4-32、试用数值方法确定如附图所示圆管外正方形翅片的肋效率。
已知=40mm,翅片厚W/。
据文献〔10〕分析，此时肋效率可以画成的曲线形成，并以为参数。
这里是一假想半径，以为半径的圆的面积等于所研究翅片的面积。
在h=10~100的范围内进行计算，并把结果表示成的曲线。
解：
计算结果如下图所示。
4-33．有一块印制电路板如附图（a）所示．中间为0.8mm厚的铜板，导热系数为，其两侧为玻璃纤维环氧树脂板层，铜板底端被冷却到40℃，其他三个侧面可以认为绝热，金属板上安装的发热元件及其功耗如图所示．假定通过玻璃纤维环氧树脂板层的散热可以不计，试用数值计算确定铜板中的温度分布．根据元件确定的网格划分示于附图（b）中．
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