江苏省南师大附校学年高二上学期调研测试数学试题Word版含答案.docx

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江苏省南师大附校学年高二上学期调研测试数学试题Word版含答案

南师大附校高二调研测试

数学2015．08.31

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填涂在答题卡上指定的位置．

3．答题时，必须用黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上指定的位置，在其他位置作答一律无效．

4．本卷考试结束后，上交答题卡．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝▲．

2．函数f（x）＝sinxcosx的最小正周期是▲．

3．已知tanα＝－2，，且

＜α＜π，则cosα＋sinα＝▲．

4．已知向量a＝（2，1），b＝（1，x），且（a＋b）⊥a，则实数x的值为▲．

5．已知直线l：

x＋my＋6＝0，若点A（－5，1）到直线l的距离为

，则实数m的值为▲．

6．若A（1，2），B（－3，4），C（2，t）三点共线，则实数t的值为▲．

7．已知圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的体积为▲．

8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知C＝120︒，c＝2

，acosB＝bcosA，则△ABC的面积为▲．

9．对于不重合直线a，b，不重合平面α，β，γ，下列四个条件中，能推出α∥β的有▲．（填写所有正确的序号）．

①γ⊥α，γ⊥β；②α∥γ，β∥γ；

③a∥α，a∥β；④a∥b，a⊥α，b⊥β．

10．已知函数f（x）＝a＋

是奇函数，则实数a的值为▲．

11．设f（x）＝x2－3x＋a．若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为▲．

12．已知公差不为零的等差数列{an}的前8项的和为8，且a12＋a72＝a32＋a92，则{an}的通项公式为

an＝▲．

13．某地一天6时至20时的温度y（︒C）随时间x（小时）的变化近似满足函数y＝10sin（

x＋

）＋20，x∈[6，20]．在上述时间范围内，温度不低于20︒C的时间约有▲小时．

14．已知函数f（x）＝

若将集合A＝{x∣f（x）＝t，0＜t＜1}中元素由小到大排列，则前六个元素之和为▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（3,5），AB边所在直线的方程为x-3y+8=0，点N（0,6）在AD边所在直线上．

（1）求AD边所在直线的方程；

（2）求对角线AC所在直线的方程．

16．（本小题满分为14分）

在△ABC中，已知cosA＝

，tan（B－A）＝

，AC＝5．求：

（1）B；

（2）AB边的长．

17．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知点D为棱BC中点．

（1）如果AB＝AC，求证：

平面ADC1⊥平面BB1C1C；

（2）求证：

A1B∥平面AC1D．

18．（本小题满分16分）

设等差数列{an}的公差为d（d≠0），已知它的前10项和为110，且a1，a2，a4成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{

}的前

项和Tn．

19．（本小题满分16分）

如图，某小区进行绿化改造，计划围出一块三角形绿地ABC，其中一边利用现成的围墙BC，长度为a米，另外两边AB，AC使用某种新型材料，∠BAC＝120︒．设AB＝x米，AC＝y米．

（1）求x，y满足的关系式；

（2）若无论如何设计上述三角形绿地确保此材料都够用，则至少需准备长度为多少的此种新型材料？

20．（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝ax2－|x－a|．

（1）当a＝3时，求不等式f（x）＞7的解集；

（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[3，＋∞）上的值域．

高二数学参考答案及评分标准2015.08

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．{1，2，3，4}．2．π．3．

．4．－7．5．1．

6．

．7．

π．8．

．9．②④．10．

．

11．（0，

]12．－2n＋10．13．8．14．52．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．解

（1）解法一：

因为AB边所在直线的方程为x－3y＋8＝0，所以kAB＝

．……………………2分

又因为矩形ABCD中，AD⊥AB，所以kAD＝－

＝－3．…………………………4分

所以由点斜式可得AD边所在直线的方程为：

y－6＝－3（x－0），

即3x＋y－6＝0．…………………………6分

解法二：

因为矩形ABCD中，AD⊥AB，

所以设AD边所在直线的方程为：

3x＋y＋m＝0．…………………………4分

又因为直线AD过点N（0，6），

所以将点N（0，6）代入上式得3×0＋6＋m＝0，解得m＝－6．

所以AD边所在直线的方程为：

3x＋y－6＝0．…………………………6分

（2）由

解得

即A（1，3），…………………………10分

所以对角线AC所在直线的方程：

＝

，

即x－y＋2＝0．…………………………14分

16．解

（1）解法一：

在△ABC中，因为cosA＝

，所以tanA＝

，…………………………2分

所以tanB＝tan[（B－A）＋A]＝

＝

＝1．…………………………4分

因为B∈（0，π），所以B＝

．…………………………6分

解法二：

在△ABC中，因为cosA＝

，所以tanA＝

，…………………………2分

所以tan（B－A）＝

＝

＝

，解得tanB＝1．…………………………4分

因为B∈（0，π），所以B＝

．…………………………6分

（2）在△ABC中，由cosA＝

，B＝

，

可得sinA＝

，sinB＝cosB＝

，…………………………9分

从而sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝

．…………………………11分

由正弦定理

＝

，代入得

＝

，从而AB＝7．…………………………14分

解法二：

作CD⊥AB，垂足为D，由AC＝5，cosA＝

，

所以CD＝3，AD＝4，…………………………9分

又B＝

，所以BD＝CD＝3，…………………………12分

所以AB＝3＋4＝7．…………………………14分

17．证明

（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．

因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD．………………………2分

因为AB＝AC，D为BC中点，所以AD⊥BC．…………………4分

因为BC⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，BC∩CC1＝C，

所以AD⊥平面BB1C1C．…………………………6分

因为AD⊂平面AC1D，

所以平面AC1D⊥平面BB1C1C．……………………………8分

（2）连结A1C，设A1C∩AC1＝E，连结DE．

因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1C1C为平行四边形，

所以E为A1C中点．…………………………10分

因为D为BC中点，所以DE∥A1B．…………………………12分

因为DE⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，

所以A1B∥平面AC1D．…………………………14分

18．解

（1）设{an}的前n项和为Sn，则由S10＝110，得2a1＋9d＝22．①…………………………4分

由a1，a2，a4成等比数列，得a22＝a1a4．②…………………………6分

由①②解得

所以an＝2n；…………………………8分

（2）

＝

＝

（

－

），…………………………12分

所以Tn＝

[（1－

）＋（

－

）＋…＋（

－

）]＝

．…………………………16分

19．解

（1）在△ABC中，由余弦定理得a2＝x2＋y2－2xycos120︒，

即x2＋y2＋xy＝a2；…………………………5分

（2）由x2＋y2＋xy＝a2，得（x＋y）2＝a2＋xy，即（x＋y）2－a2＝xy．…………………………8分

由xy≤（

）2，得（x＋y）2－a2≤（

）2，…………………………12分

解得（x＋y）2≤

a2，即x＋y≤

a，…………………………14分

当且仅当x＝y＝

a时取等号．

答：

至少需要准备

a米材料，才能确保能够围成上述三角形绿地．…………………………16分

20．解

（1）当a＝3时，不等式f（x）＞7，即3x2－|x－3|＞7，

①当x≥3时，原不等式化为3x2－x－4＞0，

解得x＜－1或x＞

，此时取x≥3；…………………………2分

②当x＜3时，原不等式化为3x2＋x－10＞0，

解得x＜－2或x＞

，此时取x＜－2或

＜x＜3．…………………………4分

综上，所求不等式解集为{x∣x＜－2或x＞

}．…………………………6分

（2）（Ⅰ）当0＜a≤3时，f（x）＝ax2－x＋a＝a（x－

）2＋a－

．

①若

＜3，即

＜a≤3时，f（x）在[3，＋∞）上单调增，值域为[f（3），＋∞），

即[10a－3，＋∞）；…………………………8分

②若

≥3，即0＜a≤

时，值域为[f（

），＋∞），

即[a－

，＋∞）．…………………………10分

（Ⅱ）当a＞3时，f（x）＝

①当x≥a时，f（x）＝ax2－x＋a＝a（x－

）2＋a－

，图象开口向上，

对称轴x＝

在[a，＋∞）的左边，则f（x）在[a，＋∞）上为增函数，

所以f（x）∈[f（a），＋∞），即[a3，＋∞）．…………………………12分

②当3≤x＜a时，f（x）＝ax2＋x－a＝a（x＋

）2－a－

，图象开口向上，

对称轴x＝－

在区间[3，a）的左边，f（x）在[3，a）上为增函数，

所以f（x）∈[f（3），f（a）），即f（x）∈[8a＋3，a3）．…………………………14分

所以当a＞3时，f（x）∈[a3，＋∞）∪[8a＋3，a3），

即f（x）∈[8a＋3，＋∞）．

综上所述，当0＜a≤

时，f（x）值域为[a－

，＋∞）；

当

当a＞3时，f（x）值域为[8a＋3，＋∞）．…………………………16分