平行线分线段成比例经典例题与变式练习精选题目docx.docx
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平行线分线段成比例
知识梳理
平行线分线段成比例定理及其推论
1.平行线分线段成比例定理
贝寸BCEFABDEABAC
AC~DFJAC~DFJDE~DF
如下图，如果lt//12//13,
2-平行线分线段成比例定理的推论：
如图，在三角形中，如"〃BC,则碧济卷
3.平行的判定定理：
如上图，如果有——=—=—,那么DE〃BCoABACBC
专题讲解
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
【例1】如图，DE//BC,且应=犯，若AB=5,AC=10,求AE的长。
【例2】如图，已知AB//EF//CD,若AB=a,CD=b,EF=c,求证：
-=!
+-.
cab
A
E
【巩固】如图，AB±BD,CDLBD,垂足分别为B、D,AC和
BD相交于点E,EF±BD,垂足为F.证明：
—+—=—.
ABCDEF
【巩固】如图，找出Smd、S®ed、Sabcd之间的关系，并证明你的结论.
【例3】如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AB=U,CD=9,过对角线交点。
作
EF//CD^.AD,BC于'E,F,求时的长。
【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=a,BC=b,E,F分别
是AQ,BC的中点，AF交BE于P,CE交DF于Q,求PQ的长。
A
E
D
专题二、定理及推论与中点有关的问题
【例4】（2012年北师大附中期末试题）
（1）如图
（1）,在AABC中，肱是AC的中点，E是AB上一点，且AE=^AB,
连接EM并延长，交3。
的延长线于则卷=.
EFAF
（2）如图
（2）,已知AABC中，AE:
EB=1:
3,BD:
DC=2A,AD与CE相交于F,则—+—
FCFD
的值为（）
AA
A-2
B.1
【例5】（2011年河北省中考试题）如图,AC边上的任意一点，BE交AD于点、O.
当竺=J_时，求业的值；
AC2'「
当竺时，AC34
试猜想竺=_L
ACn+1
（1）
（2）
（3）
AD
求业的值；
AD
时业的值，并证明你的猜想.
AD
【例6】（2013年湖北恩施中考题）如图，是AABC的中线，点E在AZ）上，F是3E延长线与AC的交点.
（1）如果E是AD的中点，求证：
—
FC2
（2）由
（1）知，当E是应）中点时，竺=』.竺成立，若E是4£＞上任意一点（£与人、D
FC2ED
不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.
【巩固】（天津市竞赛题）如图，己知AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点,且3E=AC,延长BE交AC于F。
求证：
AF=EF。
【例7】（宁德市中考题）如图，AABC中，d为BC边的中点，延长AD至矿延长AB交％的延长线于F。
若AD=2DE,求证：
AP=3AB。
【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图，MBC中，BC=a,若0,片分
别是AB,AC的中点，则D£=：
a;
若£>2、3分别是03、qc的中点，则D2E2+=；
若£>3、％分别是QB、的中点，则侃％=[ja+a]=；a;
若分别是D,iB、E,[C的中点，则DnEn=.
专题三、利用平行线转化比例
【例8】如图，在四边形ABCD中，AC与网相交于点。
，直线/平行于网，且与储、DC、BC、AZ）及AC的延长线分别相交于点肱、N、R、S和F.
求证：
PMPN=PR-PS
【巩固】已知，如图，四边形ABCD,两组对边延长后交于E、F,对角线BD//EF,AC的延长线交EF于G.求证：
EG=GF.
A
【例9】已知：
P为膏BC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边AC、仙于D、E,求证：
器+卷=1
【例10】在AABC中，底边BC上的两点£、F把BC三等分，是AC上的中线，AE、AF分别交翊于G、H两点，求证：
BG:
GH:
HM=5:
3:
2
【例11】如图，M、N为宜BC边BC上的两点，且满足BM=MN=NC,一条平行于AC的直线分别交AB、W和AN的延长线于点£＞、E和F.
求证：
EF=3DE.
【例12】已知：
如图，在梯形ABCD中，AB//CD,M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC,且AC与肱D交于点E,DB与MC交于F.
（1）求证：
EF//CD
（2）若AB=a,CD=b,求EF的长.
【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD//BC,
AD=3,BC=9,AB=6,CD=4,若EF//BC,且梯形AEFD与梯形E3C尸的周长相
等，求EF的长。
【例13】（山东省竞赛题）如图，A3CD的对角线相交于点。
，在AB的延
长线上任取一点E,连接。
E交BC于点F,若AB=a,AD=c,BE=b,求时的值。
【例14】已知等腰直角AABC中，E、D分别为直角边8C、AC上的点，且CE=CD过归、
D分别作*的垂线，交斜边AB于L,K.
求证：
BL=LK.
K
C
D
过手练习
【习题1】如已知DE//AB,O^=OCOE,求证：
AD//BC.
【习题2】
在AABC中，BD=CE,庞的延长线交BC的延长线于P,
求证：
AD・BP=AE・CP.
【习题3】如图，在AABC的边上取一点。
，在AC取一点E,使AD=犯,直线庞和BC的延长线相交于P,求证：
—=—
CPCE
专题讲解
1.选择题
（1）如图5-27,AABC中，。
在AB上，E在AC上，下列条件中，能判定DE//BC的是（）
图5-27
A.AD■AC=AE-ABB.AD-AE=EC-DB
C.AD■AB=AE-ACD.BD-AC=AE-AB
（2）如图5-28,/]///2///3,九与匕交于点F,PA=a,AB=b,BC=c,PD=d,DE=e,EF=/■，则bf=（）
ADAE1
（3）如图5-29,AABC中，——=——=一，则OE:
OB=（）
ABAC2
（4）如图5-30,已知剧V〃AM,ND//MC,那么有（）
PDPN
A—
.DANM
PAND
C=
PBMC
M
PAPC
B.—
PBPD
D.以上答案都不对
（5）如图5-31,H为UABCD中AD边上一点，且AH=-DH,AC和8H交于点K,则AK：
KC等于（
2
A.1：
2B.1：
1C.1：
3D.2：
3
2.填空题
ED
（1）如图5-32,梯形A8CZ）中，AD//BC,延长两腰交于点E,若AZ）=2,BC=6,AB=4,则——=
EC
DE
，=；
DC
（2）如图5-33,梯形ABCD中，DC//AB,DC=4,AB=LMN//PQ//AB,DM=MP=PA,则
MN=,PQ=；
图5-33
（3）如图5-34,梯形ABCZ）中，AB〃CZ）,MAB中点，分别连结AC、BD、MD、MC,且AC与MD交于E,BD与MC交于F,则EF与AB的位置关系是；
3.如图5-35,
AABC中，M^JAC的中点，E为AB上一点，且AE=-AB,连结并延长，交4
BC的延长线于D,
求证：
BC=2CD.
…〜AFAD
4.如图5-36,
在ZXABC中，EF//CD,DE//BC,求证：
——=——
FDDB
A
5.如图5-37,ZvlBC中，AF:
FD=1:
5,BD=DC,求：
AE:
EC.
6.如图5-38,M为UABCD的边BC的中点，F为DC边上的点，BF交AM于N,交AC于E,且AN=3MN,求FC：
AB的值.
7.如图5-39,已知。
是△ABC中AB边上一点，DE//BC交AC于E,连结CQ,过E作EF〃C。
交AB于求证：
AQ是AF和AB的比例中项.
A
8.如图5-40,已知AABC中，AB>AC,ADLBC^D,F为BC中点，过F作BC垂线交AB于E,BD=6cm,DC=4cm,AB=8cm,求AE、BE的长.
9.如图5-41,已知ZXABC中，ZACB=9O°,SABFC:
5^=1:
3,BC=12cm,FE_LBC于E,求
EB的长.
10.如图5-42,已知：
以BCQ对角线交于O,OE±BCE,交AB的延长线于F,若AB=a,BC=b,BF=c,求BE的长.
参考答案
1.
（1）A
（2）D（3）A（4）B（5）C
2.
（1）-
（2）5,6（3）平行
32
3.提示：
过点C作CN〃DE交AB于N.
2
20
——cm
3
9.3cm
4
4.略5.1*106.—7.略8.—cm，
33
10.
be
q+2c
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