概率论与数理统计 学习指导.docx
《概率论与数理统计 学习指导.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计 学习指导.docx(31页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
概率论与数理统计学习指导
概率论与数理统计学习指导(3,4)
《概率论与数理统计》
学习指导
·疑难分析
·例题解析
·自测试题
安徽工业大学应用数学系·内容提要编
第一章随机事件及其概率...................错误!
未定义书签。
第二章随机变量及其分布...................错误!
未定义书签。
第三章多维随机变量及其分布................................2
第四章
第五章
第六章
第七章
第八章
随机变量的数字特征.................................12大数定律和中心极限定理.............错误!
未定义书签。
数理统计的基本概念.................错误!
未定义书签。
参数估计...........................错误!
未定义书签。
假设检验...........................错误!
未定义书签。
1
第三章多维随机变量及其分布
内容提要
1、二维随机变量及其联合分布函数
设X,Y为随机变量,则称它们的有序数组(X,Y)为二维随机变量.设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x、y,称二元函数F(x,y)?
P{X?
x,Y?
y}为(X,Y)的联合分布函数.
联合分布函数具有以下基本性质:
(1)F(x,y)是变量x或y的非减函数;
(2)0?
F(x,y)?
1且F(?
?
y)?
0,F(x,?
?
)?
0, F(?
?
?
?
)?
0, F(?
?
?
?
)?
1;
(3)F(x,y)关于x右连续,关于y也右连续;
(4)对任意点(x1,y1),(x2,y2),若x1?
x2,y1?
y2,则
F(x2,y2)?
F(x2,y1)?
F(x1,y2)?
F(x1,y1)?
0.
上式表示随机点(X,Y)落在区域[x1?
X?
x2,y1?
Y?
y2]内的概率为:
P{x1?
X?
x2,y1?
Y?
y2}.
2、二维离散型随机变量及其联合分布律
如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值是有限对或可列对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.设(X,Y)为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为(xi,yj),i,j?
1,2,?
将P{X?
xi,Y?
yj}?
pij (i,j?
1,2,?
)或表3.1称为(X,Y)的联合分布律.表3.1
2
?
?
i?
1j?
1联合分布律具有下列性质:
(1)pij?
0;
(2)?
?
pij?
1.
3、二维连续型随机变量及其概率密度函数
如果存在一个非负函数p(x,y),使得二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)对任意实数x,y有
xyF(x,y)dy,则称(X,Y)是二维连续型随机变量,称p(x,y)为(X,Y)的联合密度函数p(x,y)dx
(或概率密度函数).
联合密度函数具有下列性质:
(1)对一切实数x,y,有p(x,y)?
0;
(2)?
?
dy?
1;p(x,y)dx
(3)在任意平面域D上,(X,Y)取值的概率
P{(X,Y)?
D}p(x,y)dxdy;
D
?
2F(x,y)?
p(x,y).(4)如果p(x,y)在(x,y)处连续,则?
x?
y
4、二维随机变量的边缘分布
设(X,Y)为二维随机变量,则称
FX(x)?
P{X?
x,Y},FY(y)?
P{X,Y?
y}分别为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.
当(X,Y)为离散型随机变量,则称pi.?
?
pij (i?
1,2,?
) p.j?
?
pij (j?
1,2,?
)分别为
j?
1i?
1?
?
(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律.
当(X,Y)为连续型随机变量,则称
(X,Y)关于X和关于Y的边缘密度函数.pX(x)p(x,y)dy, pY(y)p(x,y)dx分别为
5、二维随机变量的条件分布
(1)离散型随机变量的条件分布
3
设(X,Y)为二维离散型随机变量,其联合分布律和边缘分布律分别为P{X?
xi,Y?
yj}?
pij,P{X?
xi}?
pi. ,P{Y?
yj}?
p.j (i,j?
1,2,?
),则当P{Y?
yj}?
p.j?
0时,称
P{X?
xi,Y?
yj}
P{Y?
yj}
pij
pi.j固定,且P{X?
xi|Y?
yj}?
?
pijp.j,i?
1,2,?
为Y?
yj条件下随机变量X的条件分布律.同理,有P{Y?
yj|X?
xi}?
j?
1,2,?
(2)连续型随机变量的条件分布
设(X,Y)为二维连续型随机变量,其联合密度函数和边缘密度函数分别为:
p(x,y),pX(x),pY(y).则当pY(y)?
0时,在p(x,y)和pX(x)的连续点处,(X,Y)在条件Y?
y下,X的条件概率密度函数为:
pX|Y(x|y)?
p(x,y)p(x,y).同理,有pY|X(x|y)?
.pY(y)pX(x)
6、随机变量的独立性
设F(x,y)及FX(x)、FY(y)分别是(X,Y)的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数x,y有F(x,y)?
FX(x)?
FY(y)则称随机变量X与Y相互独立.
设(X,Y)为二维离散型随机变量,X与Y相互独立的充要条件是pij?
pi.p.j(i,j?
1,2,?
).设(X,Y)为二维连续型随机变量,X与Y相互独立的充要条件是对任何实数x,y,有p(x,y)?
pX(x)pY(y).
7、两个随机变量函数的分布
设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为p(x,y),Z?
?
(X,Y)是X,Y的函数,则Z的分布函数为FZ(z)?
?
(x,y)?
z?
?
p(x,y)dxdy.
(1)Z?
X?
Y的分布
若(X,Y)为离散型随机变量,联合分布律为pij,则Z的概率函数为:
PZ(zk)?
?
p(xi,zk?
xi)或PZ(zk)?
?
p(yj,zk?
yj).
ij
若(X,Y)为连续型随机变量,概率密度函数为p(x,y),则Z的概率函数为:
pZ(z)p(x,z?
x)dxp(z?
y,y)dy.
(2)Z?
X的分布Y
若(X,Y)为连续型随机变量,概率密度函数为p(x,y),则Z的概率函数为:
4
?
?
.pZ(z)yp(yz,y)dy
疑难分析
1、事件{X?
x,Y?
y}表示事件{X?
x}与{Y?
y}的积事件,为什么P{X?
x,Y?
y}不一定等于P{X?
x}?
P{Y?
y}?
如同仅当事件A、B相互独立时,才有P(AB)?
P(A)?
P(B)一样,这里
P{X?
x,Y?
y}依乘法原理P{X?
x,Y?
y}?
P{X?
x}?
P{Y?
y|X?
x}.只有事件P{X?
x}与P{Y?
y}相互独立时,才有P{X?
x,Y?
y}?
P{X?
x}?
P{Y?
y},因为P{Y?
y|X?
x}?
P{Y?
y}.
2、二维随机变量(X,Y)的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系?
由边缘分布与条件分布的定义与公式知,联合分布唯一确定边缘分布,因而也唯一确定条件分布.反之,边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由p(x,y)?
pX(x)?
pY|X(y|x)知,一个条件分布和它对应的边缘分布,能唯一确定联合分布.
但是,如果X、Y相互独立,则P{X?
x,Y?
y}?
P{X?
x}?
P{Y?
y},即F(x,y)?
FX(x)?
FY(y).说明当X、Y独立时,边缘分布也唯一确定联合分布,从而条件分布也唯一确定联合分布.
3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同?
为什么?
两个随机变量X、Y相互独立,是指组成二维随机变量(X,Y)的两个分量X、Y中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响,满足P{X?
x,Y?
y}?
P{X?
x}?
P{Y?
y}.而两个事件的独立性,是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响,故有P(AB)?
P(A)?
P(B).两者可以说不是一个问题.
但是,组成二维随机变量(X,Y)的两个分量X、Y是同一试验E的样本空间上的两个一维随机变量,而A、B也是一个试验E1的样本空间的两个事件.因此,若把“X?
x”、“Y?
y”看作两个事件,那么两者的意义近乎一致,从而独立性的定义几乎是相同的.
例题解析
例1设某班车起点站上的乘客数X服从参数为?
(?
?
0)的泊松分布,每位乘客中途下车的概率为p(0?
p?
1),且中途下车与否相互独立,以Y表示中途下车的人数,求二维随机变量(X,Y)的分布律.
解
5
P(X?
n,Y?
m)?
P(Y?
m|X?
n)P(X?
n)
?
?
?
n?
nn?
mep(1?
p)?
?
n,0?
m?
n,n?
0,1,2,?
n!
?
m?
例2设随机变量(X,Y)的概率密度为
22222?
?
c(R?
x?
y),x?
y?
R;
f(x,y)?
?
222
?
x?
y?
R?
0,
试求
(1)系数c;
(2)(X,Y)落在圆x2?
y2?
r2(0?
r?
R)内的概率.
解
?
?
(1)1f(x,y)dxdy?
x2?
y2?
R2
22
?
?
c(R?
x?
y)dxdy
?
cR?
?
R2?
c
x2?
y2?
R2
22
?
?
x?
ydxdy
R2?
?
?
cR3?
c?
0?
0d?
d?
(令x?
?
cos?
y?
?
sin?
)
2?
R3c?
R3?
c?
R?
c?
33
3
所以c?
3
?
R
(2)设D?
(x,y):
x2?
y2?
r2,
3
?
?
P?
(X,Y)?
Dc(R?
x2?
y2)dxdy
D
?
r3?
3r22r2
?
c?
?
Rr?
22(1?
)
3?
3RR
注:
利用分布函数的基本性质可以确定待定系数,从而可以计算二维随机变量落在某一区域内
的概率,值得注意的是计算过程中,由于f(x,y)通常是分区域函数,故积分区域要特别小心,以免出错.
例3考虑一元二次方程x2?
Bx?
C?
0,其中B,C分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数,求该方程有实根的概率p和有重根的概率q.
解方程x2?
Bx?
C?
0有实根的充要条件是判别式?
?
B2?
4C?
0或C?
B2/4,由条件知,
0+1+2+4+6+6=19
所以p?
19/36,使方程有重根的充要条件是B2?
4C,满足此条件的基本事件个数为
0+1+0+1+0+0=2
因此q?
2/36?
1/18
例4设随机变量(X,Y)均匀分布于以(1,0),(0,1),(?
1,0),(0,?
1)四项点所构成的正方形中,求X与Y的边缘密度函数.
解
?
1/2,|x|?
|y|?
1
f(x,y)?
?
0,其它?
6
?
x?
111?
x?
0时,fX(x)1o当-f(x,y)dyx?
1dy?
x?
12
?
?
x?
11当0?
x?
1时,fX(x)dy?
?
x?
1?
f(x,y)dy?
?
x?
12
所以
?
1?
|x|,?
1?
x?
1;fX(x)?
?
0,其它?
2o类似1o可得
?
1?
|y|,?
1?
y?
1fY(y)?
?
0,其它?
?
?
2/(1?
x?
y)3,x?
0,y?
0例5随机变量(X,Y)的密度函数为p(x,y)?
?
,求X?
1条件下Y的条件分布?
0,
其它?
密度.
分析:
通过(X,Y)的联合密度和边缘密度函数,来求在X?
1条件下Y条件分布密度.
?
解:
当x?
0时,有pX(x)?
?
02/(1?
x?
y)3dy?
1/(1?
x)2,故
?
?
8/(2?
y)3,y?
0pY|X(y|x?
1)?
p(1,y)/pX
(1)0,
y?
0.
.
例6在(0,a)线段上任意抛两个点(抛掷二点的位置在(0,a)上独立地服从均匀分布),试求两点间距离的分布函数.
(0,a)解设抛掷两点的坐标分别为X和Y,则X与Y相互独立,且都服从上的均匀分布,故
(X,Y)的联合概率密度为
2?
?
1/a,0?
x?
a,0?
y?
a;f(x,y)0,其它?
记两点距离为Z,则Z?
|X?
Y|的分布函数为FZ(z)?
P(|X?
Y|?
z)
当z?
0时,显然FZ(z)?
0;
当0?
z?
a时,
FZ(z)?
P(|X?
Y|?
z)?
1?
?
1?
2
aa?
z(a?
?
202a?
20?
?
zdy?
ay?
zdxy?
z)dy?
z(2a?
z)
a2
当z?
a时,FZ(z)?
1
故两点距离Z的分布函数为
?
0,z?
0?
?
z(2a?
z)FX(z)?
?
2?
a
?
?
1,a?
a0?
z?
a;
例7假设一电路装有三个同种电气元件,其工作状态相互独立,且无故障时间都服从参数为?
?
0的指数分布,当三个元件都无故障时,电路正常工作,否则整个电路不能正常工作,试求电路正常工作的时间T的概率分布.
解设Xi(i?
1,2,3)为第i个电子元件无故障工作的时间,则X1,X2,X3是独立同分布的随机变量,其分布函数为
7
?
?
1?
e?
?
x,x?
0
F(x)?
?
?
0,x?
0?
记G(t)为了T的分布函数,则
当t?
0,G(t)?
0;当t?
0时,
G(t)?
P(T?
t)?
1?
P(T?
t)?
1?
P(X1?
t,X2?
t,X3?
t)?
1?
[1?
F(t)]3?
1?
e?
3?
t
?
?
1?
e?
3?
t,t?
0
所以G(t)?
?
?
t?
0?
0,
即电路正常工作时间T服从参数为3?
的指数分布.
例8设随机变量X与Y独立同分布,其概率密度为
?
2?
x2
e,0?
xf(x)0,其它?
求随机变量Z?
X2?
Y2的概率密度.
解由于X与Y独立同分布,故(X,Y)的联合概率密度为
?
4?
(x2?
y2)
?
e
f(x,y)?
fX(x)fY(y)
?
0,其它?
0?
x?
?
0?
y?
?
当z?
0时,显然FZ(z)?
0当z?
0时,
FZ(z)?
2
?
?
x?
y?
z
2
f(x,y)dxdy?
z?
?
2
4
?
x?
y?
z
2
2
?
(x?
?
e
2
2
2
?
y2)
dxdy
?
4
?
?
02d?
?
0e
?
?
d?
?
1?
e?
z
故Z?
X2?
Y2的概率密度为
?
?
0,z?
0;?
fZ(z)?
F(z)?
?
?
z2
?
2ze,z?
0?
1?
?
0
例9.已知随机变量X~?
?
P{Y?
?
1/2}?
1,又n维向量a1,a2,a3线性无关。
求1/43/4?
?
a1?
a2,a2?
2a3,Xa3?
Ya1向量线性相关的概率。
解:
令?
1(a1?
a2)?
?
2(a2?
2a3)?
?
3(Xa3?
Ya1)?
0,即(?
1?
?
3Y)a1?
(?
1?
?
2)a2?
(2?
2?
?
3X)a3?
0.
10
要使该齐次方程组有非零解,充要条件是11
02
Y
0?
X?
2Y?
0.X
所以,向量组线性相关的概率为
P{X+2Y=0}=P{X+2Y=0,Y=-1/2}=P{X=1,Y=-1/2}=P{X=1}-P{X?
1,Y?
?
1/2}?
P{X=1}=3/4.
例10设X1,X2,?
Xn为独立同分布的连续型随机变量,共同的分布函数为F(x),分布密度为
****
p(x).将X1,X2,?
Xn按大小排成顺序统计量X1.求Xk的分布密度.?
X2Xn
**
解设Xk的分布密度为hk(x),那么Xk落在区间(x,x+dx)内的概率就是hk(x)dx,我们只要计
8
**算P(Xk?
(x,x?
dx)).Xk?
(x,x?
dx)表示X1,X2,?
Xn中有一个落在(x,x+dx)中,(k-1)个落在(?
?
x)中,(n-k)个落在(x?
dx,?
?
)中,落入(x,x+dx)的可以是X1,X2,?
Xn中的任意一个,有n种可能,然后在剩下(n-1)的个中挑选(k-1)个落在
?
n?
1?
(?
?
x)中,有?
?
k?
1?
?
种可能,这样?
?
*?
(x,x?
dx))?
n?
P(Xk?
?
n?
1?
?
[F(x)]k?
1p(x)dx[1?
F(x)]n?
k?
?
k?
1?
这就是hk(x)dx,所以
hk(x)?
nn?
1?
?
[F(x)]k?
1[1?
F(x)]n?
kp(x)?
?
k?
1?
例11设随机变量X,Y独立同分布,且X?
0,Y?
0.证明
P(XX?
Y?
cX)?
1?
2P(Y?
).cc
提示:
利用XY与同分布即可.YX
测试题
一、填空题:
csin(x?
y),0?
x,y?
4,(X,Y)的联合密度f(x,y)?
?
1.已知二维随机变量则c?
,X的边?
其他,?
0,
缘分布密度fX(x)?
(X,Y)的联合分布率由下表给出,则?
?
,?
?
时X与Y相互独立.
2.
3.设随机变量X1,X2相互独立,且分布函数均为F(x),则Y?
2(3?
min{X1,X2}?
4)的分布函数5为_______.
(X,Y)的联合分布率及关于X和关于Y的边4.随机变量X与Y相互独立,下表列出二维随机变量
缘分布律中部分数值,试将其余数值填入表中空白处.
5.随布,则P{max(X,Y)?
1}.
二、选择题:
6.下列函数可以作为二维分布函数的是().
9
yx?
s?
t?
?
1,x?
y?
0.8,dsdt,x?
0,y?
0,?
?
0?
0e(A)F(x,y)?
?
(B)F(x,y)?
?
0,其他.?
其他.?
?
0,
?
x?
y?
x?
0,y?
0,?
e(D)F(x,y)?
?
?
0,其他.?
(C)F(x,y)?
yx?
s?
tdsdt;e
7.设事件A,B满足P(A)?
?
1,若A发生,?
1,若B发生,11,P(A|B)?
P(B|A)?
.令X?
?
则Y?
?
420,若A不发生.0,若B不发生.?
?
P(X?
0,Y?
0)?
1357(A);(B);(C);(D).8888
8.设随机变量X与Y相互独立且同分布:
P(X?
1)?
P(Y?
1)?
P(XY?
1)?
11,P(X?
?
1)?
P(Y?
?
1)?
,则22
(A)1112;(B);(C);(D).2433
9.设X~N?
0?
1?
Y~N?
1?
2?
X,Y相互独立,令Z?
Y?
2X,则Z~()
(A)N(?
2,5);(B)N(1,5);(C)N(1,6);(D)N(2,9).
2(X,Y)服从G上的均匀分布,G的区域由曲线y?
x与y?
x所围,则(X,Y)10.设二维随机变量
的联合概率密度函数为.
(A)f(x,y)6,(x,y)?
G?
1/6,(x,y)?
G;(B)f(x,y)?
?
;0,其他0,其他?
?
?
2,(x,y)?
G?
1/2,(x,y)?
G;(D)f(x,y)?
?
.其他其他?
0,?
0,(C)f(x,y)?
?
三、解答题:
11.班车起点站上客人数X服从参数为?
的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0?
p?
1),且中途下车与否相互独立.以Y表示在中途下车人数,求:
(1)发车时有n个乘客的条件下,中途
(X,Y)的概率分布.有m人下车的概率;
(2)二维随机变量
?
?
ke?
(3x?
4y),x?
0,y?
012.随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?
?
,
(1)确定常数k;
(2)求(X,Y)?
0,其他?
的分布函数;(3)求P(0?
X?
1,0?
Y?
2);(4)求fX(x),fY(y);(5)X与Y是否相互独立?
(X,Y)在G上服从二维13.区域G是由直线y=x,y=3,x=1所围成的三角形区域,二维随机变量
(X,Y)的联合概率密度;均匀分布.求:
(1)
(2)P{Y?
X?
1};(3)X的边缘概率密度.
14.假设随机变量U在区间[?
2,2]上服从均匀分布,随机变量
X1若U?
?
1?
?
1若U?
1Y?
?
1若U?
?
11若U?
1?
?
试求X和Y的联合概率密度.
10
15.有4个同样的球,依次写上1,2,2,3,从袋中任意取出一球,不放回袋中,再任取一球,
(X,Y)的分布率,并证明X与Y不相互独立;以X,Y表示第1、2次取到球上的数字:
(1)求
(2)
求Z?
X?
Y的分布率;(3)求V?
max(X,Y)的分布率;(4)求U?
min(X,Y)的分布率;(5)求W?
U?
V的分布率.
?
?
2e?
(x?
2y),x?
0,y?
0(X,Y)的概率密度为f(x,y)?
?
16.随机变量,求随机变量Z?
X?
2Y的分布?
?
0,其他
函数和分布密度函数.
?
17.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为:
f(x,y)?
?
1
?
(1?
xy),
?
4
?
0,
证明X与Y不独立,而X2与Y2相互独立.
x?
1,y?
1其他11
第四章随机变量的数字特征
内容提要
1、随机变量的数学期望
设离散型随机变量X的分布律为P{X?
xk}?
pk,k?
1,2,?
,如果级数?
xkpk绝对收敛,则称级
k?
1?
数的和为随机变量X的数学期望.
?
?
设连续型随机变量X的密度函数为p(x),如果广义积分xp(x)dx绝对收敛,则称此积分值
?
?
X的数学期望.E(X)xp(x)dx为随机变量
数学期望有如下性质:
(1)设C是常数,则E(C)?
C;
(2)设C是常数,则E(CX)?
CE(X);
(3)若X1、X2是随机变量,则E(X1?
X2)?
E(X1)?
E(X2);对任意n个随机变量X1,X2,?
Xn,有
E(X1?
X2Xn)?
E(X1)?
E(X2)E(Xn);
(4)若X1、X2相互独立,则E(X1X2)?
E(X1)E(X2);对任意n个相互独立的随机变量X1,X2,?
Xn,有
E(X1X2?
Xn)?
E(X1)E(X2)?
E(Xn).
2、随机变量函数的数学期望
设离散型随机变量X的分布律为P{X?
xk}?
pk,k?
1,2,?
,则X的函数Y?
g(X)的数学期望为E[g(x)]?
?
g(xk)pk,k?
1,2?
,式中级数绝对收敛.
k?
1?
设连续型随机变量X的密度函数为p(x),则X的函数Y?
g(X)的数学期望为
?
?
E[g(x)]g(x)p(x)dx,式中积分绝对收敛.
3、随机变量的方差
设X是一个随机变量,则D(X)?
Var(X)?
E{[X?
E(X)]2}称为X的方差.D(X)?
?
(X)称为X的标准差或均方差.
计算方差也常用公式D(X)?
E(X2)?
[E(X)]2.方差具有如下性质:
(1)设C是常数,则D(C)?
0;
(2)设C是常数,则D(CX)?
C2D(X);
(3)若X1、X2相互独立,则D(X1?
X2)?
D(X1)?
D(X2);12
对任意n个相互独立的随机变量X1,X2,?
Xn,有
D(X1?
X2Xn)?
D(X1)?
D(X2)D(Xn);
(4)D(X)?
0的充要条件是:
存在常数C,使P{X?
C}?
1(C?
E(X)).
4、几种常见分布的数学期望与方差
(1)X~(0?
1).E(X)?
p,D(X)?
p(1?
p);
(2)X~B(n,p).E(X)?
np,D(X)?
np(1?
p);
(3)X~H(n,M,N).E(X)?
nMnM(N?
M)(
N,D(X)?
N?
n)
N2(N?
1);
(4)X~?
(?
).E(X)?
?
D(X)?
?
;
(5)X~G(p).E(X)?
1/p,D(X)?
(1?
p)/p2;
(6)X~U(a,b).E(X)?
(a?
b)/2,D(X)?
(b?
a)2/12;
(7)X~e(?
).E(X)?
1/?
D(X)?
1/?
2;
(8)X~N(?
?
2).E(X)?
?
D(X)?
?
2.
5、矩
设X