概率论与数理统计学习指导.docx

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概率论与数理统计学习指导

概率论与数理统计学习指导（3,4）

《概率论与数理统计》

学习指导

·疑难分析

·例题解析

·自测试题

安徽工业大学应用数学系·内容提要编

第一章随机事件及其概率...................错误！

未定义书签。

第二章随机变量及其分布...................错误！

未定义书签。

第三章多维随机变量及其分布................................2

第四章

第五章

第六章

第七章

第八章

随机变量的数字特征.................................12大数定律和中心极限定理.............错误！

未定义书签。

数理统计的基本概念.................错误！

未定义书签。

参数估计...........................错误！

未定义书签。

假设检验...........................错误！

未定义书签。

第三章多维随机变量及其分布

内容提要

1、二维随机变量及其联合分布函数

设X，Y为随机变量，则称它们的有序数组（X,Y）为二维随机变量.设（X,Y）为二维随机变量，对于任意实数x、y，称二元函数F（x,y）?

P{X?

x,Y?

y}为（X,Y）的联合分布函数.

联合分布函数具有以下基本性质：

（1）F（x,y）是变量x或y的非减函数；

（2）0?

F（x,y）?

1且F（?

y）?

0，F（x,?

）?

0，　F（?

）?

0，　F（?

）?

1；

（3）F（x,y）关于x右连续，关于y也右连续；

（4）对任意点（x1,y1）,（x2,y2），若x1?

x2,y1?

y2，则

F（x2,y2）?

F（x2,y1）?

F（x1,y2）?

F（x1,y1）?

上式表示随机点（X,Y）落在区域[x1?

x2,y1?

y2]内的概率为：

P{x1?

x2,y1?

y2}.

2、二维离散型随机变量及其联合分布律

如果二维随机变量（X,Y）所有可能取值是有限对或可列对，则称（X,Y）为二维离散型随机变量.设（X,Y）为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为（xi,yj）,i,j?

1,2,?

将P{X?

xi,Y?

yj}?

pij　　（i,j?

1,2,?

）或表3.1称为（X,Y）的联合分布律.表3.1

1j?

1联合分布律具有下列性质：

（1）pij?

0；

（2）?

pij?

3、二维连续型随机变量及其概率密度函数

如果存在一个非负函数p（x,y）,使得二维随机变量（X,Y）的分布函数F（x,y）对任意实数x,y有

xyF（x,y）dy，则称（X,Y）是二维连续型随机变量，称p（x,y）为（X,Y）的联合密度函数p（x,y）dx

（或概率密度函数）.

联合密度函数具有下列性质：

（1）对一切实数x,y，有p（x,y）?

0；

（2）?

dy?

1；p（x,y）dx

（3）在任意平面域D上，（X,Y）取值的概率

P{（X,Y）?

D}p（x,y）dxdy；

2F（x,y）?

p（x,y）.（4）如果p（x,y）在（x,y）处连续，则?

4、二维随机变量的边缘分布

设（X,Y）为二维随机变量，则称

FX（x）?

P{X?

x,Y}，FY（y）?

P{X,Y?

y}分别为（X,Y）关于X和关于Y的边缘分布函数.

当（X,Y）为离散型随机变量，则称pi.?

pij　　（i?

1,2,?

）　　p.j?

pij　　（j?

1,2,?

）分别为

1i?

（X,Y）关于X和关于Y的边缘分布律.

当（X,Y）为连续型随机变量，则称

（X,Y）关于X和关于Y的边缘密度函数.pX（x）p（x,y）dy,　　pY（y）p（x,y）dx分别为

5、二维随机变量的条件分布

（1）离散型随机变量的条件分布

设（X,Y）为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布律分别为P{X?

xi,Y?

yj}?

pij,P{X?

xi}?

pi.　,P{Y?

yj}?

p.j　　（i,j?

1,2,?

），则当P{Y?

yj}?

p.j?

0时，称

P{X?

xi,Y?

yj}

P{Y?

yj}

pij

pi.j固定，且P{X?

xi|Y?

yj}?

pijp.j,i?

1,2,?

为Y?

yj条件下随机变量X的条件分布律.同理，有P{Y?

yj|X?

xi}?

1,2,?

（2）连续型随机变量的条件分布

设（X,Y）为二维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：

p（x,y）,pX（x）,pY（y）.则当pY（y）?

0时，在p（x,y）和pX（x）的连续点处，（X,Y）在条件Y?

y下，X的条件概率密度函数为：

pX|Y（x|y）?

p（x,y）p（x,y）.同理，有pY|X（x|y）?

.pY（y）pX（x）

6、随机变量的独立性

设F（x,y）及FX（x）、FY（y）分别是（X,Y）的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数x,y有F（x,y）?

FX（x）?

FY（y）则称随机变量X与Y相互独立.

设（X,Y）为二维离散型随机变量，X与Y相互独立的充要条件是pij?

pi.p.j（i,j?

1,2,?

）.设（X,Y）为二维连续型随机变量，X与Y相互独立的充要条件是对任何实数x,y，有p（x,y）?

pX（x）pY（y）.

7、两个随机变量函数的分布

设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为p（x,y），Z?

（X,Y）是X,Y的函数，则Z的分布函数为FZ（z）?

（x,y）?

p（x,y）dxdy.

（1）Z?

Y的分布

若（X,Y）为离散型随机变量，联合分布律为pij，则Z的概率函数为：

PZ（zk）?

p（xi,zk?

xi）或PZ（zk）?

p（yj,zk?

yj）.

若（X,Y）为连续型随机变量，概率密度函数为p（x,y），则Z的概率函数为：

pZ（z）p（x,z?

x）dxp（z?

y,y）dy.

（2）Z?

X的分布Y

若（X,Y）为连续型随机变量，概率密度函数为p（x,y），则Z的概率函数为：

.pZ（z）yp（yz,y）dy

疑难分析

1、事件{X?

x,Y?

y}表示事件{X?

x}与{Y?

y}的积事件，为什么P{X?

x,Y?

y}不一定等于P{X?

x}?

P{Y?

y}？

如同仅当事件A、B相互独立时，才有P（AB）?

P（A）?

P（B）一样，这里

P{X?

x,Y?

y}依乘法原理P{X?

x,Y?

y}?

P{X?

x}?

P{Y?

y|X?

x}.只有事件P{X?

x}与P{Y?

y}相互独立时，才有P{X?

x,Y?

y}?

P{X?

x}?

P{Y?

y}，因为P{Y?

y|X?

x}?

P{Y?

y}.

2、二维随机变量（X,Y）的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？

由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由p（x,y）?

pX（x）?

pY|X（y|x）知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.

但是，如果X、Y相互独立，则P{X?

x,Y?

y}?

P{X?

x}?

P{Y?

y}，即F（x,y）?

FX（x）?

FY（y）.说明当X、Y独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布.

3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？

为什么？

两个随机变量X、Y相互独立，是指组成二维随机变量（X,Y）的两个分量X、Y中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足P{X?

x,Y?

y}?

P{X?

x}?

P{Y?

y}.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有P（AB）?

P（A）?

P（B）.两者可以说不是一个问题.

但是，组成二维随机变量（X,Y）的两个分量X、Y是同一试验E的样本空间上的两个一维随机变量，而A、B也是一个试验E1的样本空间的两个事件.因此，若把“X?

x”、“Y?

y”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的.

例题解析

例1设某班车起点站上的乘客数X服从参数为?

（?

0）的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为p（0?

1），且中途下车与否相互独立，以Y表示中途下车的人数，求二维随机变量（X,Y）的分布律．

解

P（X?

n,Y?

m）?

P（Y?

m|X?

n）P（X?

n）

nn?

mep（1?

p）?

n,0?

n,n?

0,1,2,?

例2设随机变量（X,Y）的概率密度为

22222?

c（R?

y）,x?

f（x,y）?

222

试求

（1）系数c；

（2）（X,Y）落在圆x2?

y2?

r2（0?

R）内的概率．

解

（1）1f（x,y）dxdy?

x2?

y2?

c（R?

y）dxdy

cR?

R2?

x2?

y2?

ydxdy

R2?

cR3?

0d?

（令x?

cos?

sin?

）

R3c?

R3?

所以c?

（2）设D?

（x,y）:

x2?

y2?

r2,

（X,Y）?

Dc（R?

x2?

y2）dxdy

r3?

3r22r2

Rr?

22（1?

）

3RR

注:

利用分布函数的基本性质可以确定待定系数，从而可以计算二维随机变量落在某一区域内

的概率，值得注意的是计算过程中，由于f（x,y）通常是分区域函数，故积分区域要特别小心，以免出错．

例3考虑一元二次方程x2?

Bx?

0，其中B,C分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q．

解方程x2?

Bx?

0有实根的充要条件是判别式?

B2?

4C?

0或C?

B2/4，由条件知，

0＋1＋2＋4＋6＋6＝19

所以p?

19/36，使方程有重根的充要条件是B2?

4C，满足此条件的基本事件个数为

0＋1＋0＋1＋0＋0＝2

因此q?

2/36?

1/18

例4设随机变量（X,Y）均匀分布于以（1,0）,（0,1）,（?

1,0）,（0,?

1）四项点所构成的正方形中，求X与Y的边缘密度函数．

解

1/2,|x|?

|y|?

f（x,y）?

0,其它?

111?

0时，fX（x）1o当－f（x,y）dyx?

1dy?

11当0?

1时，fX（x）dy?

f（x,y）dy?

所以

|x|,?

1;fX（x）?

0,其它?

2o类似1o可得

|y|,?

1fY（y）?

0,其它?

2/（1?

y）3,x?

0,y?

0例5随机变量（X,Y）的密度函数为p（x,y）?

，求X?

1条件下Y的条件分布?

　其它?

密度.

分析：

通过（X,Y）的联合密度和边缘密度函数，来求在X?

1条件下Y条件分布密度.

解：

当x?

0时，有pX（x）?

02/（1?

y）3dy?

1/（1?

x）2，故

8/（2?

y）3,y?

0pY|X（y|x?

1）?

p（1,y）/pX

（1）0,

例6在（0,a）线段上任意抛两个点（抛掷二点的位置在（0,a）上独立地服从均匀分布），试求两点间距离的分布函数．

（0,a）解设抛掷两点的坐标分别为X和Y，则X与Y相互独立，且都服从上的均匀分布，故

（X,Y）的联合概率密度为

1/a,0?

a,0?

a;f（x,y）0,其它?

记两点距离为Z，则Z?

|X?

Y|的分布函数为FZ（z）?

P（|X?

Y|?

z）

当z?

0时，显然FZ（z）?

0；

当0?

a时，

FZ（z）?

P（|X?

Y|?

z）?

aa?

z（a?

202a?

20?

zdy?

ay?

zdxy?

z）dy?

z（2a?

z）

当z?

a时，FZ（z）?

故两点距离Z的分布函数为

0,z?

z（2a?

z）FX（z）?

1,a?

a0?

例7假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障时间都服从参数为?

0的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T的概率分布．

解设Xi（i?

1,2,3）为第i个电子元件无故障工作的时间，则X1,X2,X3是独立同分布的随机变量，其分布函数为

x,x?

F（x）?

0,x?

记G（t）为了T的分布函数，则

当t?

0，G（t）?

0；当t?

0时，

G（t）?

P（T?

t）?

P（T?

t）?

P（X1?

t,X2?

t,X3?

t）?

[1?

F（t）]3?

t,t?

所以G（t）?

即电路正常工作时间T服从参数为3?

的指数分布．

例8设随机变量X与Y独立同分布，其概率密度为

e,0?

xf（x）0,其它?

求随机变量Z?

X2?

Y2的概率密度．

解由于X与Y独立同分布，故（X,Y）的联合概率密度为

（x2?

y2）

f（x,y）?

fX（x）fY（y）

0,其它?

当z?

0时，显然FZ（z）?

0当z?

0时，

FZ（z）?

f（x,y）dxdy?

（x?

y2）

dxdy

02d?

故Z?

X2?

Y2的概率密度为

0,z?

0;?

fZ（z）?

F（z）?

2ze,z?

例9.已知随机变量X~?

P{Y?

1/2}?

1，又n维向量a1,a2,a3线性无关。

求1/43/4?

a1?

a2,a2?

2a3,Xa3?

Ya1向量线性相关的概率。

解：

令?

1（a1?

a2）?

2（a2?

2a3）?

3（Xa3?

Ya1）?

0,即（?

3Y）a1?

（?

2）a2?

（2?

3X）a3?

要使该齐次方程组有非零解，充要条件是11

2Y?

0.X

所以，向量组线性相关的概率为

P{X+2Y=0}=P{X+2Y=0,Y=-1/2}=P{X=1,Y=-1/2}=P{X=1}-P{X?

1,Y?

1/2}?

P{X=1}=3/4.

例10设X1,X2,?

Xn为独立同分布的连续型随机变量，共同的分布函数为F（x），分布密度为

****

p（x）．将X1,X2,?

Xn按大小排成顺序统计量X1.求Xk的分布密度．?

X2Xn

解设Xk的分布密度为hk（x），那么Xk落在区间（x,x+dx）内的概率就是hk（x）dx，我们只要计

**算P（Xk?

（x,x?

dx））．Xk?

（x,x?

dx）表示X1,X2,?

Xn中有一个落在（x,x+dx）中，（k-1）个落在（?

x）中，（n-k）个落在（x?

dx,?

）中，落入（x,x+dx）的可以是X1,X2,?

Xn中的任意一个，有n种可能,然后在剩下（n-1）的个中挑选（k-1）个落在

（?

x）中，有?

种可能，这样?

（x,x?

dx））?

P（Xk?

[F（x）]k?

1p（x）dx[1?

F（x）]n?

这就是hk（x）dx，所以

hk（x）?

nn?

[F（x）]k?

1[1?

F（x）]n?

kp（x）?

例11设随机变量X,Y独立同分布，且X?

0,Y?

0.证明

P（XX?

cX）?

2P（Y?

）.cc

提示：

利用XY与同分布即可．YX

测试题

一、填空题：

csin（x?

y）,0?

x,y?

4,（X,Y）的联合密度f（x,y）?

１．已知二维随机变量则c?

，X的边?

其他,?

缘分布密度fX（x）?

（X,Y）的联合分布率由下表给出，则?

，?

时X与Y相互独立．

２．

３．设随机变量X1,X2相互独立，且分布函数均为F（x），则Y?

2（3?

min{X1,X2}?

4）的分布函数5为_______.

（X,Y）的联合分布率及关于X和关于Y的边４．随机变量X与Y相互独立，下表列出二维随机变量

缘分布律中部分数值，试将其余数值填入表中空白处．

５．随布，则P{max（X,Y）?

1}．

二、选择题：

6．下列函数可以作为二维分布函数的是（）.

yx?

1,x?

0.8,dsdt,x?

0,y?

0,?

0e（A）F（x,y）?

（B）F（x,y）?

0,其他.?

其他.?

0,y?

0,?

e（D）F（x,y）?

0,其他.?

（C）F（x,y）?

yx?

tdsdt；e

7．设事件A,B满足P（A）?

1,若A发生,?

1,若B发生,11，P（A|B）?

P（B|A）?

．令X?

则Y?

420,若A不发生.0,若B不发生.?

P（X?

0,Y?

0）?

1357（A）；（B）；（C）；（D）．8888

8．设随机变量X与Y相互独立且同分布：

P（X?

1）?

P（Y?

1）?

P（XY?

1）?

11，P（X?

1）?

P（Y?

1）?

，则22

（A）1112；（B）；（C）；（D）．2433

9．设X~N?

Y~N?

X,Y相互独立，令Z?

2X，则Z~（）

（A）N（?

2,5）；（B）N（1,5）；（C）N（1,6）；（D）N（2,9）．

2（X,Y）服从G上的均匀分布，G的区域由曲线y?

x与y?

x所围，则（X,Y）10．设二维随机变量

的联合概率密度函数为.

（A）f（x,y）6,（x,y）?

1/6,（x,y）?

G；（B）f（x,y）?

；0,其他0,其他?

2,（x,y）?

1/2,（x,y）?

G；（D）f（x,y）?

.其他其他?

0,?

0,（C）f（x,y）?

三、解答题：

11．班车起点站上客人数X服从参数为?

的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0?

1），且中途下车与否相互独立．以Y表示在中途下车人数，求：

（1）发车时有n个乘客的条件下，中途

（X,Y）的概率分布．有m人下车的概率；

（2）二维随机变量

ke?

（3x?

4y）,x?

0,y?

012．随机变量（X,Y）的概率密度为f（x,y）?

，

（1）确定常数k；

（2）求（X,Y）?

0,其他?

的分布函数；（3）求P（0?

1,0?

2）；（4）求fX（x），fY（y）；（5）X与Y是否相互独立？

（X,Y）在G上服从二维13．区域G是由直线y=x，y=3，x=1所围成的三角形区域，二维随机变量

（X,Y）的联合概率密度；均匀分布．求：

（1）

（2）P{Y?

1}；（3）X的边缘概率密度．

14．假设随机变量U在区间[?

2,2]上服从均匀分布，随机变量

X1若U?

1若U?

1Y?

1若U?

11若U?

试求X和Y的联合概率密度．

15．有4个同样的球，依次写上1，2，2，3，从袋中任意取出一球，不放回袋中，再任取一球，

（X,Y）的分布率，并证明X与Y不相互独立；以X,Y表示第1、2次取到球上的数字：

（1）求

（2）

求Z?

Y的分布率；（3）求V?

max（X,Y）的分布率；（4）求U?

min（X,Y）的分布率；（5）求W?

V的分布率．

2e?

（x?

2y）,x?

0,y?

0（X,Y）的概率密度为f（x,y）?

16．随机变量，求随机变量Z?

2Y的分布?

0,其他

函数和分布密度函数．

17．设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为：

f（x,y）?

（1?

xy）,

证明X与Y不独立，而X2与Y2相互独立．

1,y?

1其他11

第四章随机变量的数字特征

内容提要

1、随机变量的数学期望

设离散型随机变量X的分布律为P{X?

xk}?

pk,k?

1,2,?

，如果级数?

xkpk绝对收敛，则称级

数的和为随机变量X的数学期望.

设连续型随机变量X的密度函数为p（x），如果广义积分xp（x）dx绝对收敛，则称此积分值

X的数学期望.E（X）xp（x）dx为随机变量

数学期望有如下性质：

（1）设C是常数，则E（C）?

C；

（2）设C是常数，则E（CX）?

CE（X）；

（3）若X1、X2是随机变量，则E（X1?

X2）?

E（X1）?

E（X2）；对任意n个随机变量X1,X2,?

Xn，有

E（X1?

X2Xn）?

E（X1）?

E（X2）E（Xn）；

（4）若X1、X2相互独立，则E（X1X2）?

E（X1）E（X2）；对任意n个相互独立的随机变量X1,X2,?

Xn，有

E（X1X2?

Xn）?

E（X1）E（X2）?

E（Xn）.

2、随机变量函数的数学期望

设离散型随机变量X的分布律为P{X?

xk}?

pk,k?

1,2,?

，则X的函数Y?

g（X）的数学期望为E[g（x）]?

g（xk）pk,k?

1,2?

，式中级数绝对收敛.

设连续型随机变量X的密度函数为p（x），则X的函数Y?

g（X）的数学期望为

E[g（x）]g（x）p（x）dx，式中积分绝对收敛.

3、随机变量的方差

设X是一个随机变量，则D（X）?

Var（X）?

E{[X?

E（X）]2}称为X的方差.D（X）?

（X）称为X的标准差或均方差.

计算方差也常用公式D（X）?

E（X2）?

[E（X）]2.方差具有如下性质：

（1）设C是常数，则D（C）?

0；

（2）设C是常数，则D（CX）?

C2D（X）；

（3）若X1、X2相互独立，则D（X1?

X2）?

D（X1）?

D（X2）；12

对任意n个相互独立的随机变量X1,X2,?

Xn，有

D（X1?

X2Xn）?

D（X1）?

D（X2）D（Xn）；

（4）D（X）?

0的充要条件是：

存在常数C，使P{X?

C}?

1（C?

E（X））.

4、几种常见分布的数学期望与方差

（1）X~（0?

1）.E（X）?

p,D（X）?

p（1?

p）；

（2）X~B（n,p）.E（X）?

np,D（X）?

np（1?

p）；

（3）X~H（n,M,N）.E（X）?

nMnM（N?

M）（

N,D（X）?

n）

N2（N?

1）；

（4）X~?

（?

）.E（X）?

D（X）?

；

（5）X~G（p）.E（X）?

1/p,D（X）?

（1?

p）/p2；

（6）X~U（a,b）.E（X）?

（a?

b）/2,D（X）?

（b?

a）2/12；

（7）X~e（?

）.E（X）?

1/?

D（X）?

1/?

2；

（8）X~N（?

2）.E（X）?

D（X）?

5、矩

设X

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概率论与数理统计 学习指导.docx

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