届一轮复习理通用版 七解析几何 单元测试.docx

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届一轮复习理通用版七解析几何单元测试

单元质量测试（七）

时间：

120分钟　

满分：

150分

第Ⅰ卷　（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．直线3x＋y－1＝0的倾斜角大小为（　　）

A．30°B．60°C．120°D．150°

答案　C

解析　∵k＝－＝－，∴α＝120°．故选C．

2．“a＝2”是“直线y＝－ax＋2与y＝x－1垂直”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由a＝2得两直线斜率满足（－2）×＝－1，即两直线垂直；由两直线垂直得（－a）×＝－1，解得a＝±2．故选A．

3．已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（　　）

A．y＝±xB．y＝±x

C．y＝±2xD．y＝±x

答案　A

解析　由题意得，双曲线的离心率e＝＝，故＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x．

4．（2018·邯郸摸底）已知F1，F2分别是双曲线C：

－＝1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF1|＝8，则＝（　　）

A．4B．3C．2D．2

答案　A

解析　由－＝1知c2＝a2＋b2＝16，所以|F1F2|＝2c＝8，由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝6，所以|PF2|＝2或|PF2|＝14（P在右支上，舍去），所以＝4．

5．（2018·福州模拟）已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为．若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为（　　）

A．－＝1B．－＝1

C．x2－＝1D．y2－＝1

答案　C

解析　显然OM为Rt△MF1F2的中线，则|OM|＝

|F1F2|＝c＝．又e＝＝＝，得a＝1．进而b2＝c2－a2＝2．故C的方程为x2－＝1，故选C．

6．设F1，F2是椭圆E：

＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）

A．B．C．D．

答案　C

解析　令c＝．如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F1F2P＝120°，

∴∠PF2x＝60°，∴|F2P|＝2＝3a－2c．

∵|F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c，

∴3a＝4c，∴＝，即椭圆的离心率为．故选C．

7．（2018·大庆质检一）已知等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝－12x的准线交于A，B两点，|AB|＝2，则C的实轴长为（　　）

A．B．2C．2D．4

答案　D

解析　因为抛物线y2＝－12x的准线为x＝3，而等轴双曲线C的焦点在x轴上，所以A，B两点关于x轴对称，且|AB|＝2，所以点（3，±）在双曲线上，代入双曲线的方程x2－y2＝a2中得9－5＝a2＝4，所以a＝2，即2a＝4，故双曲线C的实轴长为4．故选D．

8．（2018·乌鲁木齐一诊）已知抛物线y2＝4x与圆F：

x2＋y2－2x＝0，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中，正确的是（　　）

A．等于1B．等于16

C．最小值为4D．最大值为4

答案　A

解析　圆F的方程为（x－1）2＋y2＝1．设直线l的方程为x＝my＋1．代入y2＝4x得y2－4my－4＝0，y1y2＝－4．设点A（x1，y1），D（x2，y2）．则|AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1，所以|AB|＝|AF|－|BF|＝x1，|CD|＝|DF|－|CF|＝x2，所以|AB|·|CD|＝x1x2＝（y1y2）2＝1．故选A．

9．（2018·沈阳质检一）已知双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A，若∠AFO＝，则双曲线C的离心率为（　　）

A．2B．C．D．

答案　A

解析　如图所示，在△AOF中，∠OAF＝90°，又∠AFO＝30°，所以∠AOF＝60°，故＝tan60°＝，所以e＝＝2，故选A．

10．（2019·唐山模拟）已知F1，F2为双曲线Γ：

－＝1（a＞0）的左、右焦点，P为双曲线Γ左支上一点，直线PF1与双曲线Γ的一条渐近线平行，PF1⊥PF2，则a＝（　　）

A．B．C．4D．5

答案　A

解析　如图，记PF2与双曲线的渐近线l的交点为M．与PF1平行的双曲线的渐近线为y＝x，由PF1⊥PF2，得PF2⊥l，则F2（c，0）到直线l：

x－y＝0的距离为d＝＝＝2．而△OMF2为直角三角形，所以|OM|＝＝＝a．又OM∥F1P，O是F1F2的中点，所以|F1P|＝2|OM|＝2a，|PF2|＝2|MF2|＝4．而由双曲线的定义，有|PF2|－|PF1|＝2a，即4－2a＝2a，所以a＝．故选A．

11．（2018·衡阳三模）已知椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆以外，且线段PF1与椭圆E交于点M．若|OM|＝|MF1|＝|OP|，则椭圆E的离心率为（　　）

A．B．C．－1D．

答案　C

解析　过M作MH⊥x轴于点H，由|OM|＝|MF1|，知H为OF1的中点，进而MH为△PF1O的中位线，则M为F1P的中点．从而依题意，有|F1P|＝|OP|，即＝＝sin∠OF1P，则∠OF1P＝．则△MF1O是边长为c的等边三角形．连接MF2（F2为椭圆E的右焦点），则由OM＝OF1＝OF2可知∠F1MF2＝．故e＝＝＝＝＝－1．故选C．

12．（2018·合肥质检一）如图，已知椭圆＋＝1（a>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H．若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为（　　）

A．20B．10C．2D．4

答案　D

解析　解法一：

设点H（0，t），0

解法二：

由F1，H是线段MN的三等分点，知H是线段F1N的中点，又O是F1F2的中点，则OH∥F2N，从而F2N⊥F1F2，故Nc，，H0，．又F1是线段MH的中点，则M－2c，－．由点M在椭圆上，可得＋＝1．又b2＝4＝a2－c2，从而有＋＝1，解得a2＝5，从而由椭圆的定义可知△F2MN的周长为4a＝4，故选D．

第Ⅱ卷　（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若k∈R，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交点，则实数a的取值范围是________．

答案　[－1，3]

解析　因为直线y＝kx＋1恒过定点（0，1），题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，则02＋12－2a·0＋a2－2a－4≤0且2a＋4>0，解得－1≤a≤3．

14．（2018·浙江宁波质检）与圆（x－2）2＋y2＝1外切，且与直线x＋1＝0相切的动圆圆心的轨迹方程是________．

答案　y2＝8x

解析　设动圆圆心为P（x，y），则＝|x＋1|＋1，依据抛物线的定义结合题意可知动圆圆心P（x，y）的轨迹是以（2，0）为焦点，x＝－2为准线的抛物线，故方程为y2＝8x．

15．（2018·贵阳模拟）已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|＝2，则p＝________．

答案　1

解析　过点A作AM⊥x轴交x轴于点M，由∠AFM＝60°，|AF|＝2得|FM|＝1，且点A到抛物线的准线l：

x＝－的距离为2，而|FM|＝1，所以抛物线的焦点F到准线的距离为1，即p＝1．

16．已知椭圆C：

＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________．

答案　12

解析　解法一：

由椭圆方程知椭圆C的左焦点为

F1（－，0），右焦点为F2（，0）．则M（m，n）关于F1的对称点为A（－2－m，－n），关于F2的对称点为B（2－m，－n），设MN中点为（x，y），所以N（2x－m，2y－n）．

所以|AN|＋|BN|＝＋

＝2，

故由椭圆定义可知|AN|＋|BN|＝2×6＝12．

解法二：

根据已知条件画出图形，如图．设MN的中点为P，F1，F2为椭圆C的焦点，连接PF1，PF2．显然PF1是△MAN的中位线，PF2是△MBN的中位线，∴|AN|＋|BN|＝2|PF1|＋2|PF2|＝2（|PF1|＋|PF2|）＝2×6＝12．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2018·河南郑州检测）（本小题满分10分）已知坐标平面上动点M（x，y）与两个定点P（26，1），Q（2，1），且|MP|＝5|MQ|．

（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）记

（1）中轨迹为C，过点N（－2，3）的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程．

解　

（1）由题意，得＝5，

即＝5，

化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，

所以点M的轨迹方程是（x－1）2＋（y－1）2＝25．

轨迹是以（1，1）为圆心，5为半径的圆．

（2）当直线l的斜率不存在时，l：

x＝－2，

此时所截得的线段长度为2＝8，

所以l：

x＝－2符合题意．

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k（x＋2），

即kx－y＋2k＋3＝0，

圆心（1，1）到直线l的距离d＝．

由题意，得2＋42＝52，解得k＝．

所以直线l的方程为x－y＋＝0，

即5x－12y＋46＝0．

综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0．

18．（2018·佛山质检一）（本小题满分12分）已知椭圆C1：

＋＝1（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：

y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线C2截得的弦长为4．

（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；

（2）过点A（－2，0）的直线l与C2交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M′，证明：

直线M′N恒过一定点．

解　

（1）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a＝，

则C2：

y2＝4ax．

代入x＝c，得y2＝4ac，即y＝±2，

则有解得a＝2，b＝，c＝1．

所以椭圆C1的方程为＋＝1，

抛物线C2的方程为y2＝8x．

（2）证明：

依题意，可知直线l的斜率不为0，

可设l：

x＝my－2．

联立消去x，整理得y2－8my＋16＝0．

设点M（x1，y1），N（x2，y2），则点M′（x1，－y1），

由Δ＝（－8m）2－4×16＞0，解得m＜－1或m＞1．

且有y1＋y2＝8m，y1y2＝16，m＝，

所以直线M′N的斜率kM′N＝＝

＝．

可得直线M′N的方程为y－y2＝（x－x2），

即y＝x＋y2－＝x＋＝x－＝·（x－2）．

所以当m＜－1或m＞1时，直线M′N恒过定点（2，0）．

19．（2019·深圳调研）（本小题满分12分）已知直线l经过抛物线C：

x2＝4y的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线分别与x轴交于点M，N．

（1）求证：

AM⊥MF；

（2）记△AFM和△BFN的面积分别为S1和S2，求S1·S2的最小值．

解　

（1）证明：

不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），