广义积分的收敛判别法.docx
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广义积分的收敛判别法
第二节广义积分的收敛判别法
上一节我们讨论了广义积分的计算,在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．
定理9.1（Cauchy收敛原理）f（x）在［a,+^）上的广义积分f（x）dx收敛的充分
a
必要条件是：
0,存在A>0,使得b,b>A时，恒有
证明：
对limf（x）dx0使用柯西收敛原理立即得此结论．
bb
同样对瑕积分f（x）dx（b为瑕点）,我们有
a
定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f（x）在［a,b）上有定义，在其任何闭子区间［a,b-］上常义可积，则瑕积分af（x）dx收敛的充要条件是：
0,
0,只要0
定义9.5如果广义积分|f（x）|dx收敛，我们称广义积分f（x）dx绝对收敛（也
aa
称f（x）在［a,+）上绝对可积］;如f（x）dx收敛而非绝对收敛，则称f（x）dx条
aa
件收敛，也称f（x）在［a,+）上条件可积.
由于A,A/a，均有
因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理.
定理9.3如果广义积分f（x）dx绝对收敛，则广义积分f（x）dx必收敛.
aa它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质.下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法.
比较判别法：
定理9.4（无限区间上的广义积分）设在［a,+）上恒有0f（x）k（x）,（k为正常
数）
则当（x）dx收敛时，f（x）dx也收敛；
当f（x）dx发散时，（x）dx也发散.
aa
证明：
由Cauchy收敛原理马上得结论成立.
对瑕积分有类似的结论判别法
定理9.5设f（x）,g（x）均为［a,b）上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k,使
0f（x）kg（x）,x［a,b）,贝S
bb
1）如g（x）dx收敛，则f（a）dx也收敛。
aa
bb
2）女口f（x）dx发散，则g（x）dx也发散.
aa
比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式.
定理9.6如果f（x）,g（x）是［a,+）上的非负函数，且lim丄凶I,贝S
xg（x）
（1）如果0l,且g（x）dx收敛，则积分f（x）dx也收敛.
（2）如果0l,且g（x）dx发散，则积分f（x）dx也发散.
aa
证明：
如果liml0,贝肉于0（l0）,存在A,
xg（x）
当xA时，0|丄^l
g（x）
即（l）g（x）f（x）（l）g（x）成立.显然f（x）dx与g（x）dx同时收敛或同
aa
时发散，在l=0或l二时，可类似地讨论.
使用同样的方法，我们有
bb
定理9.7对以b为唯一瑕点的两个瑕积分f（x）dx与g（x）dx如果f（x）,g（x）
aa
是非负函数，且lim3l,贝S
xbg（x）
bb
（1）当0l，且g（x）dx收敛时，则f（x）dx也收敛.
aa
（2）当0I
kK
，且g（x）dx发散时，则f（x）dx也发散.
aa
1
对无限区间上的广义积分中，取丄dx作比较标准，则得到下列Cauchy判别法:
-xp
设f（x）是［a,+）的函数，在其任意闭区间上可积，那么:
cc
定理9.8若0f（x）-4,p>1,那么积分f（x）dx收敛，如f（x）二,p1,
xpaxp
则积分f（x）dx发散.
a'*
其极限形式为
p>1）,则积分f（x）dx收敛.
定理9.9如limxpf（x）l（0l
x
例9.8判断下列广义积分的收敛性。
（1）1
1
ln（1-）
x
m
x.ndx1x
定理9.10设x=a是f（x）在［a,b）上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么
瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为
例9.9判别下列瑕积分的敛散性。
1
由P知瑕积分收敛.
2
⑵0与2都是被积函数的瑕点.
dx
再讨论
散.
1
pq
sinxcosx
_dx
所以当q<1时，瑕积分—pdxq收敛，
4sinpxcosqx
_dx
当q1时，瑕积分2——p—发散.
4sinpxcosqx
dx
综上所述，当p<1且q<1时，瑕积分02—pdxq收敛；其他情况发散.
0sinpxcosqx
1
例9.10求证：
若瑕积分0f（x）dx收敛，且当x0时函数f（x）单调趋向于+,则
limxf（x）=0.
x0
证明：
不妨设x（0,1],f（x）0,且f（x）在（0,1）上单调减少。
1
已知0f（x）dx收敛，由柯西收敛准则，有
0,0（<1）,0x有
x
xf（t）dt
2
从而
0或
0即limxf（x）=0.
x0
例9.11
1
求证瑕积分
0[x（1
1
dx（>0）,当
cosx）]
1
v-时收敛
3
当
1
-时发散.
3
3
3
证明：
T
limx
=lim
x0[x（1cosx）]x031cosx
=lim
x0
1
1cosx
2
2x
1
所以当3<1时，即<丄时，
瑕积分收敛.
当31,即卩
-时，瑕积分发散.
3
3
前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散
性进行讨论，我们先给出下面的重要结果.
定理9.12（积分第二中值定理）设g（x）在［a,b］上可积，f（x）在［a,b］上单调，则存
在E［a,b］使
b
af（x）g（x）dx=g（a）af（x）dxg（b）af（x）dx
为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况.
引理9.1设f（x）在［a,b］上单调下降并且非负，函数g（x）在［a,b］上可积，则存在
c［a,b］，使
bc
af（x）g（x）dx=f（a）ag（x）dx
x
证明：
作辅助函数（x）二f（a）g（t）dt,对［a,b］的任一分法
a
P:
a=xo我们有
Xi
xf（x）g（x）dx
xi1
bn
af（x）g（x）dx=
i1
由此得到
b"xi
|af（x）g（x）dx—f（人1）g（x）dx|
n
=|
i1
ai1xi1
x
xi[f（x）f（Xi1）]g（x）dx|
xi1
这里L
i（f）△Xi
是|g（x）|在［a,b］的上界，wi（f）是f（x）在xi1,xi上的振幅，从这个估计式
可知，当P|0时,应当有
我们来证明为此，引入记号
x
G（x）=ag（t）dt
a
并作如下变换
n
=心打心人）G（XjJ]
i1
（G（x°）G（a）0）
n
=f（Xii）G（Xi）
i1
n
=f（Xii）G（Xi）
i1
n
=f（Xii）G（Xi）
i1
n
f（Xi1）G（Xj1）
i1
n1
f（Xi）G（Xi）
i0
n1
f（Xi）G（Xi）
i1
n
=[f（Xi1）f（Xi）]G（Xi）f（Xn）G（Xn）
i1
因为f（Xi1）
f（Xi）0,
f（Xn）
0,
所以
=
n
[f（Xi1）
i1
f（Xi）]G（x）
f（Xn）G（Xn）
n
{[f（Xi1）
i1
f（Xi）]
=
f（a）minG（x）
X[a,b]
同样可证
我们证明了不等式
即
现令|p|0,取极限，就得到
因此，存在c[a,b]，使得
b
（c）=f（x）g（x）dx（因为（x）在]a,b]上是连续函数）a
bc
也就是f（x）g（x）dx=f（a）g（x）dx证毕
aa
F面我们证明定理9.12
b
f（b）cg（x）dx,
c
f（x）g（x）dx=f（a）ag（x）dx
对f（x）单调上升的情形，可作类似讨论
使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法定理9.13若下列两个条件之一满足，则f（x）g（x）dx收敛
a
（1）（Abel判别法）f（x）dx收敛，g（x）在［a,］上单调有界；
a
）上单调,
Cauchy收
A
（2）（Dirichlet判别法）设F（A）=f（x）dx在［a,］上有界,g（x）在［a,
a
且limg（x）=0.
x
证明：
（1）0,设|g（x）|Mx［a,），因f（x）dx收敛，由
a
敛原理，代a,使A,AA时，有
由积分第二中值定理，我们得到
再由Cauchy收敛原理知f（x）g（x）dx收敛
a
A,A,a,显然有
（2）设M为F（A）在［a,+）上的一个上界，则
同时，因为limg（x）=0，所以存在Aa,当x>A）时，有x
g（x）|<
4M
于是，对A,AA有
—+—=
22
由Cauchy收敛原理知f（x）g（x）dx收敛
a
例9.12讨论广义积分C0SXdx的敛散性，
1x
1
解：
令f（x）=—,g（x）=cosx
x
则当x时，f（x）单调下降且趋于零，
A
F（A）=1cosxdx=sinAsin1在［a,）上有界.
由Dirichlet判别法知co空dx收敛，
1x
另一方面
因1—dx发散，1cos2xdx收敛
12x12x
从而非负函数的广义积分Co^dx发散
12x
由比较判别法知1叵凶dx发散，
1x
所以沁dx条件收敛
1x
）上单调有界,
解：
由上一题知，广义积分cosxdx收敛，而arctanx在［a,+
1x
cosx
所以由Abel判别法知arctanxdx收敛。
1x
另一方面，当x［3,）时，有
前面已证
Lc°sx|dx发散
由比较判别法知
1
|cosxarctanx|dx发散，所以cosxarctanxdx条件收敛.
1
x1x
对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet判别法
b
定理9.14若下列两个条件之一满足，则f（x）g（x）dx收敛：
（b为唯一瑕点）
a
b
（1）（Abel判别法）f（x）dx收敛，g（x）在［a,b）上单调有界
a
b
（2）（Dirichlet判别法）F（）=f（x）dx在［a,b）上有界，g（x）在
a
（0,ba］上单调，且limg（x）0.
xb
证明：
（1）只须用第二中值定理估计
2）的证明.
解：
对于011
由—dx收敛知
0xp
绝对收敛敛
对于0p<2,因为函数f（x）=x2p，当x0时单调趋于0,而函数
g（x）=
1sin—
x
满足
所以积分
•1sinpTdx收敛.x
但在这种情况下,
dx是发散的,
1sinxxp
事实上
因为
.1sin1当0时，上式无极限，所以积分0—dx发散.
x
区间上的广义积分.
习题9.2
1、
论下列积分的敛散性（包括绝对收敛,
条件收敛，发散）
（1）
InInx.,
sinxdx；
Inxsinx2dx；
-dx；
2.2匕入,
cosxsinx
⑷
（5）
iInx
°x21
dx;
1
0xp1（1x）q1Inxdx;
p1q1
1Xx,
dx
0Inx
dx;
（8）
（9）
p1x
xedx;
xp1
—dx;
x
（10）
（11）
（12）
sinx
esin2x
q
xsinx,厂dx
1x
sin（x丄）
dx;
（p0）；
（p0）•
0时，函数f（x）单调趋于+,则
1
2.证明：
若瑕积分°f（x）dx收敛，且当xlimxf（x）=0.
x0
3.若函数f（x）在［a,）有连续导数flx）,且无穷积分f（x）dx与f/（x）dx都收敛，则limf（x）=0.
ax
4.设f（x）在［a,）上可导，且单调减少，limf（x）=0,求证：
x
f（x）dx收敛xfz（x）dx收敛.
aa
5.证明：
若函数f（x）在［a,）上一致连续，且无穷积分f（x）dx收敛，则
limf（x）=0.
x
6.求证：
若无穷积分f（x）dx收敛，函数f（x）在［a,）内单调，则
a
7.计算下列广义二重积分的值.
（1）
半^,其中D=（x,y）|xy1,x11;dxpyq
dxdy
y2i1x2y2
2
exdx1.
/22\»1
e（xy）dxdy,并由此证明
（1）
;:
+dxdy,0mI（x,y）lM
x2y21（x
Fbdxdy
0mI（x,y）|M.
2
pq
sinxcosx
4
1f（x）=o（―）.
x
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