矩形的判定和性质.docx

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矩形的判定和性质

矩形的性质和判定

一、基础知识

（一）矩形的定义

　　有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。

（二）矩形的性质：

1.矩形具有平行四边形的一切性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是９０0;

4.矩形是轴对称图形；

边

角

对角线

对称性

矩形

对边平行且相等

四个角都是直角

互相平分且相等

轴对称,中心对称

（三）矩形的判定：

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形;

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形；

4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

（四）直角三角形的性质

　　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（如图：

OB=OC=OA＝

AＣ）

二、例题讲解

考点一：

矩形的基本性质

例1：

如图,在矩形ABＣD中，AE⊥BD,垂足为E,∠DＡE=2∠BAE,那么，∠ＢＡE=＿＿______，

∠ＥAO=______＿_，若EＯ＝1，则ＯD=__＿___，AB=________，AD＝__＿_____.

练习１:

矩形ABCD中,　,对角线ＡＣ与ＢD相交于点Ｏ,ＢＣ的长为6,△OBC的周长是１5,求矩形的对角线的长度.

练习2：

如图,在矩形ABCD中，ＣＥ⊥ＢD,E为垂足,∠ＤCＥ∶∠EＣB＝３∶1,求∠ACD.

例2:

如图，矩形ＡBCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是８6cｍ，对角线长是13ｃm，那么矩形的周长是多少?

练习1:

矩形ＡBCD中,,对角线AＣ与ＢＤ相交于点Ｏ,已知矩形ＡBCD的面积是12cm2,AB=4cm，求矩形的对角线长。

例3：

如图，在矩形ＡBCD中,相邻两边AB、ＢＣ分别长１5cm和25cm，内角∠ＢAD的角平分线与边ＢC交于点E．试求BE与CE的长度.

练习1：

如图，在矩形ABＣD中，E是边AＤ上的一点.试说明△BＣE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系.

例4：

（2009年广西钦州）已知:

如图1，在矩形AＢCD中,AF=BE．求证:

DＥ=ＣF；

练习１:

如图,矩形ABCＤ中,E为AＤ中点,∠BＥC为直角,矩形ＡＢCD的周长是2０,求AD、AB的长。

练习2:

（20０9年衢州）如图，四边形AＢCD是矩形，△PBC和△QCＤ都是等边三角形,且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证：

（１）∠ＰＢA=∠PCＱ＝30°;

（2）PA＝PQ．

考点二:

面积法

例1：

如图，在矩形AＢCＤ中，AB=3，ＢC=4，BE⊥AＣ于Ｅ．试求出BＥ的长.

练习１：

如图，矩形ABＣＤ中，Ｅ点在BC上，且AE平分∠BＡC。

若BE＝4，AC=１5,则△AＥC面积为（　　　）

　Ａ.1５B．　３0Ｃ.　45　　　D.　6０。

练习2：

如图:

在矩形ABＣD中，两条对角线AC、BＤ相交于点Ｏ,AＢ=４cｍ,AD＝

ｃm.

（1）判定△AＯB的形状.

　　（２）计算△BOC的面积．

练习3：

如图，将矩形ABＣD沿着直线BD折叠使点C落在点C＇处，BC'交AD于E，AD＝8,AB＝４,BE=５,求△ＢED的面积。

考点三:

矩形对角线平分且相等

例1：

矩形的两条对角线相交成60°角,较短边与一条对角线之和为１5ｃm，则矩形的对角线长为　　

　cm。

练习1：

矩形的对角线所成的角之一是6５°，则对角线与各边所成的角度是（　　　）.

　　　Ａ．5７.5°　　　　　　　B.32.5°

C．57.5°、3３.5°　　　Ｄ.５7.5°、32.5°

练习2：

矩形两条对角线的夹角是1２０°，短边长４cｍ;则矩形的对角线长　　　　　　　　　　　；

练习3：

如图，矩形ABＣD的对角线相交于点O,∠AＯB＝1２0°,ＡD＝5cm,则ＡC=　　　　　　　。

考点四：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

例1：

如图,△ABC中，∠A=2∠B,CD是△ABC的高，E是AB的中点,求证：

DE=

AC．

练习1:

如图，矩形ABＣＤ的对角线AC交BD于D,E为CB延长线上一点,连接AＥ,M为AE中点且BＭ⊥DＭ于点M,

（1）连接OM,若AＤ=8，CD=6,求OM的长。

（2）求证:

ＡＤ+ＢE＝2AO

考点四:

角平分线

例1:

已知,四边形AＢCD是矩形，CＨ⊥BD，H为垂足,AE是∠BAD的平分线,交HC的延长线于E。

　求证:

ＣE=BD。

例2:

矩形ＡBCD,AC、BD相交于点Ｏ,AE平分∠BAD交BC于E,若∠CAE=15°,求∠BOＥ的度数；

例3：

（200９年佳木斯中考卷第２5题）如图，将矩形纸片AＢCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置,AB′与ＣD交于点E．

（１）试找出一个与△AＥD全等的三角形，并加以证明.

（2）若AB＝8，DE=３,P为线段AＣ上的任意一点，PG⊥ＡE于G,PH⊥EＣ于H，试求PＧ+ＰH的值，并说明理由.

练习1：

如图，E为矩形ＡBCD边ＡＤ上一点,BE=DE,P为BD上一点,PF⊥BE于F，ＰG⊥ＡD于G。

求证：

ＰF+PG=AＢ。

课后练习：

1、矩形的两条对角线的夹角为6０°，一条对角线与短边的和为１5，对角线长是___＿___＿，两边长分别等于_＿＿_____

2、矩形周长为36ｃm,一边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角,则矩形各边长是_＿____.

３、如图,矩形AＢCD中,E是ＢC中点,∠BAE＝３０°,AＥ=4，则AC=＿＿__＿_．

4、如图，矩形ＡBCD中，AB=2BC，在CＤ上取上一点Ｍ，使ＡM＝AB,则∠MＢC＝＿______．

5、已知:

如图，矩形ABCD中,EF⊥CＥ，ＥF＝CE，DE＝2,矩形的周长为1６，求AE的长．

６、将矩形纸片ＡBCＤ按如图所示的方式折叠,得到菱形AECＦ.若AB=3,则BＣ的长为（　）

A．１　　　　　B．2　　ﻩ

C．

　　　　　　　Ｄ.

7、如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CＤ,DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ＡBＰ的面积为ｙ，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（　　）

Ａ．10　

Ｂ．1６　

C．１8　

D．2０

８、（2009年遂宁）如图,已知矩形ABＣD中,ＡＢ＝4ｃm，AD＝１0cm，点Ｐ在边BC上移动，点Ｅ、F、Ｇ、Ｈ分别是AＢ、AP、ＤP、DC的中点．

⑴求证：

EＦ+GH=5cm;

⑵求当∠APD=9０o时,

的值．