高中数学人教版必修2阶段质量检测一 Word版含答案.docx
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高中数学人教版必修2阶段质量检测一Word版含答案
阶段质量检测
（一）
（卷 学业水平达标）
（时间分钟，满分分）
一、选择题（共小题，每小题分，共分）
．下列命题中，正确的是（ ）
．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
答案：
．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
．（）是棱台 ．（）是圆台
．（）是棱锥．（）不是棱柱
答案：
.
用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形为（ ）
答案：
．下列说法正确的是（ ）
．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形
．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体
．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥
．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
答案：
．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）
．π．π
．π．π
答案：
．（北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
．
答案：
.
如图所示是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：
①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图所示；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图所示；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图所示．其中命题正确的个数是（ ）
．．
．．
答案：
．已知某几何体的三视图（单位：
）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
．．
．．
答案：
．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是（ ）
．∶．∶
．∶．∶
答案：
．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
．＋π．＋π
．＋π．＋π
答案：
二、填空题（共小题，每小题分，共分）
.圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是.
答案：
．（四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．
答案：
．圆台的母线长扩大到原来的倍，两底面半径都缩小为原来的，那么它的侧面积为原来的倍．
答案：
.
一块正方形薄铁片的边长为，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形（如图），用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于.
答案：
π
三、解答题（共小题，共分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
．（本小题满分分）如图，在底面半径为、母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
解：
设圆柱的底面半径为，高为′.
圆锥的高＝＝，又∵′＝，
∴′＝.∴＝，∴＝.
∴表面积＝底＋侧＝π＋π′
＝π＋π×＝（＋）π.
．（本小题满分分）有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一个圆台体，问容器中水的高度为多少．
解：
作出圆锥和球的轴截面（如右图所示），设圆锥底面半径为，母线长为，高为，则
＝＝，＝＝，
＝＝，
∴水＝－
＝··－＝.
球取出后，水形成一个圆台，设圆台上底面半径为′，高为′，则下底面半径＝，
′＝（′－′）°＝（－′），
∴＝′（＋′＋′），
∴＝（－′）（′＋′＋），
∴＝（－′），
解得′＝＝，
∴′＝（－）.
．（本小题满分分）将一个底面圆的直径为、高为的圆柱截成底面为长方形的棱柱，如图，设这个长方体底面的一条边长为，对角线长为，底面的面积为.
（）求面积以为自变量的函数式．
（）求出截得棱柱的体积的最大值．
解：
（）横截面如图，由题意得
＝·（＜＜）．
（）＝··
＝，
由（）知＜＜，
∴当＝，即＝时，＝.
．（本小题满分分）如图，在四边形中，∠＝°，∠＝°，＝，＝，＝，若四边形绕旋转一周成为几何体．
（）画出该几何体的三视图；
（）求出该几何体的表面积．
解：
（）
（）下底圆面积＝π，
台体侧面积＝π×（＋）×＝π，
锥体侧面积＝π××＝π，
故表面积＝＋＋＝（＋）π.
．（本小题满分分）如图（单位：
），求图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
解：
由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面．半球＝π，圆台侧＝π，圆台底＝π.故所求几何体的表面积为π.
由圆台＝×（π×＋＋π×）×＝π，
半球＝π××＝π，
所以，所求几何体的体积为
圆台－半球＝π－π＝π（）．
．（本小题满分分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为、高为的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为、高为的等腰三角形．
（）求该几何体的体积；
（）求该几何体的侧面积.
解：
由题设可知，几何体是一个高为的四棱锥，其底面是长、宽分别为和的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为，高为的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为，高为的等腰三角形，如图所示．
（）几何体的体积为：
＝·矩形·＝×××＝.
（）正侧面及其相对侧面底边上的高为：
＝＝.左、右侧面的底边上的高为：
＝＝.
故几何体的侧面面积为：
＝×××＋××＝＋.
（卷 能力素养提升）
（时间分钟，满分分）
一、选择题（共小题，每小题分，共分）
．给出下列命题：
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥；③有两个面互相平行，其余各个面都是梯形的多面体是棱台；④圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形．
其中正确命题的个数是（ ）
． ．
．．
解析：
选 ①错误．如将两个三棱锥叠放在一起就可以构成一个各面都是三角形的几何体，但不是三棱锥；②中的棱锥若为六棱锥，那么它的各条棱长均相等，底面是正六边形，是正六棱锥，而正六棱锥的侧棱长必定大于底面边长，矛盾，所以②不正确；棱台的各条侧棱延长后必交于一点，而③中的多面体未必具有此特征，所以③不正确；④正确．故选.
．将右图所示的一个直角三角形（∠＝°）绕斜边旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的（ ）
解析：
选 由题目可知，旋转的图形为两个圆锥的组合体，且同底面，故其正视图为选项所对应的图形．
．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为的正方形，且它的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）
解析：
选 由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体为柱体，且其高为，设其底面积为，则由＝＝得＝，所以选.
．已知水平放置的△按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中′′＝′′＝，′′＝，那么原△的面积是（ ）
．
解析：
选 可知△中，＝，高＝.
∴＝××＝，故选.
．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为时，该三棱锥的全面积是（ ）
解析：
选 ∵侧面都是直角三角形，故侧棱长等于，
∴全＝＋××＝.
．圆锥的表面积是底面积的倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
．°．°
．°．°
解析：
选 设圆锥的底面半径为，母线长为，依题意，π＋π＝π，∴＝，∴侧面展开图扇形的弧度数为θ＝＝＝π.故选.
．作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱的半径之比是（ ）
．∶．∶
∶∶
解析：
选 实质是正三角形外接圆半径与其内切圆半径之比，如图，＝＝.
．已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相同，若圆柱的高与球直径相等，则它们的体积之比圆柱∶球＝（ ）
．
解析：
选 设圆柱的高为，底面圆半径为，球的半径为.由题意，＝，＝，所以圆柱＝π＝π，球＝π.则圆柱：
球＝.
.如图，矩形′′′′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中′′＝，′′＝，则原图形是（ ）
．正方形．矩形
．菱形．一般的平行四边形
解析：
选 将直观图还原得▱，
∵′′＝′′＝，
＝′′＝，
′′＝′′＝，
∴＝，
＝＝＝（），
＝′′＝＝，
故原图形为菱形．
．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的图象可能是（ ）
解析：
选 由三视图可知该几何体为下面是圆柱、上面为圆台的组合体，当向容器中匀速注水后，容器中水面的高度先随时间匀速上升，当充满圆柱后变速上升且越来越快．故选.
二、填空题（共小题，每小题分，共分）
．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π的半圆面，则该圆锥的体积为．
解析：
因为半圆的面积为π，所以半圆的半径为，圆锥的母线长为.底面圆的周长为π，所以底面圆的半径为，所以圆锥的高为，体积为π.
答案：
π
．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
解析：
由三视图可知，该几何体是一个侧放的圆柱，底面半径为，高为，则该几何体的体积＝＝π＝π.
答案：
π
．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是；表面积是．
解析：
由三视图可得其中一个四棱锥 的直观图如图所示，
则该几何体的体积为＝××××＝，由＝，＝得＝，则三角形的面积为，所以该几何体的表面积为.
答案：
．如图已知底面半径为的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为，最小值为，那么圆柱被截后剩下部分的体积是．
解析：
在该几何体的上面，再补一个倒立的同样几何体，则构成底面半径为，高为＋的圆柱．
∴其体积为π（＋）．
答案：
三、解答题（共小题，共分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
．（本小题满分分）已知正三棱锥 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．
（）画出该三棱锥的直观图；
（）求出侧视图的面积．
解：
（）直观图如图所示：
（）根据三视图间的关系可得＝，
∴侧视图中＝＝，
∴△＝××＝.
．（本小题满分分）一个圆台的母线长为，两底面面积分别为π和π，求：
（）圆台的体积；
（）截得此圆台的圆锥的母线长．
解：
（）圆台的轴截面是等腰梯形（如图）．由已知可得上底半径＝，下底半径＝.
又因为腰长为，
所以高为＝＝（）．
∴＝π.
（）设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由△∽△可得＝，
∴＝.即截得此圆台的圆锥的母线长为.
．（本小题满分分）据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比．
解：
设圆柱的底面半径为，高为，则圆柱＝π，
圆锥的底面半径为，高为，则圆锥＝π，
球的半径为，所以球＝π.又＝，
所以圆锥∶球∶圆锥
＝∶∶
＝∶∶（π）＝∶∶.
．（本小题满分分）如图是一个几何体的正视图和俯视图．
（）试判断该几何体是什么几何体；
（）画出其侧视图，并求该平面图形的面积；
（）求出该几何体的体积．
解：
（）由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．
（）该几何体的侧视图如图，其中＝，⊥，且的长是俯视图正六边形对边的距离，即＝，是正六棱锥的高，即＝，所以该平面图形的面积为＝··＝.
（）设这个正六棱锥的底面积是，体积为，
则＝×＝，
所以＝××＝.
．（本小题满分分）如图，梯形中，∥，∠＝°，＝，＝，∠＝°，在平面内过点作⊥，以为轴将梯形旋转一周，求旋转体的表面积和体积．
解：
在梯形中，∠＝°，∥，＝，＝，∠＝
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