第五章机械能2.docx
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第五章机械能2
第五章
机械能
第1节功和功率
（1）只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。
（）
（2）一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。
（）
（3）作用力做正功时，反作用力一定做负功。
（）
（4）力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。
（）
（5）由P＝Fv可知，发动机功率一定时，机车的牵引力与运行速度的大小成反比。
（）
（6）汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力。
（）
要点一 功的正负判断与恒力、合力做功的计算
1．功的正负的判断方法
（1）恒力做功的判断：
依据力与位移的夹角来判断。
（2）曲线运动中做功的判断：
依据F与v的方向夹角α来判断，当0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。
（3）依据能量变化来判断：
功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。
此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。
2．恒力做功的计算方法
3．合力做功的计算方法
方法一：
先求合力F合，再用W合＝F合lcosα求功。
方法二：
先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
[多角练通]
1．（多选）如图5 1 1所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面体以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止。
则关于斜面对m的支持力和摩擦力的下列说法中正确的是（ ）
图5 1 1
A．支持力一定做正功 B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功D．摩擦力可能做负功
2.如图5 1 2所示，木板可绕固定水平轴O转动。
木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止。
在这一过程中，物块的重力势能增加了2J。
用FN表示物块受到的支持力，用Ff表示物块受到的摩擦力。
在此过程中，以下判断正确的是（ ）
图5 1 2
A．FN和Ff对物块都不做功
B．FN对物块做功为2J，Ff对物块不做功
C．FN对物块不做功，Ff对物块做功为2J
D．FN和Ff对物块所做功的代数和为0
3．（2014·全国卷Ⅱ）一物体静止在粗糙水平地面上。
现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v。
若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v。
对于上述两个过程，用WF1、WF2分别表示拉力F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则（ ）
A．WF2>4WF1，Wf2>2Wf1
B．WF2>4WF1，Wf2＝2Wf1
C．WF2<4WF1，Wf2＝2Wf1
D．WF2<4WF1，Wf2<2Wf1
要点二 变力做功的计算
（一）利用动能定理求变力做功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功。
因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
[典例1] （2018·海南高考）
如图5 1 3，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。
质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为（ ）
图5 1 3
A.
mgR B.
mgR
C.
mgRD.
mgR
（二）利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。
此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
[典例2]
如图5 1 4所示，在水平面上，有一弯曲的槽道
，槽道由半径分别为
和R的两个半圆构成。
现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为（ ）
图5 1 4
A．0B．FR
C．2πFRD.
πFR
（三）化变力为恒力求变力做功
变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Flcosα求解。
此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
[典例3] 如图5 1 5所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。
若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，滑块经B、C两点的动能分别为EkB和EkC，图中AB＝BC，则（ ）
图5 1 5
A．W1＞W2 B．W1＜W2
C．W1＝W2D．无法确定W1和W2的大小关系
（四）利用平均力求变力做功
在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为
＝
的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝
lcosα求此力所做的功。
[典例4] 把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。
问此钉子全部进入木板需要打击几次？
（五）利用Fx图像求变力做功
在Fx图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况（如三角形、矩形、圆等规则的几何图形）。
[典例5]
某物体在变力F作用下沿水平方向做直线运动，物体的质量m＝10kg，F随物体的坐标x的变化情况如图5 1 6所示。
若物体从坐标原点由静止出发，不计一切摩擦。
借鉴教科书中学习直线运动时由vt图像求位移的方法，结合其他所学知识，根据图示的Fx图像可求出物体运动到x＝16m处时的速度大小为（ ）
图5 1 6
A．3m/sB．4m/s
C．2
m/sD.
m/s
要点三 功率的分析与计算
1．平均功率的计算
（1）利用
＝
。
（2）利用P＝F
cosα，其中
为物体运动的平均速度。
2．瞬时功率的计算
（1）利用公式P＝Fvcosα，其中v为t时刻的瞬时速度。
（2）利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
（3）利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。
[多角练通]
1．（2018·昆明模拟）将一个小球斜向上抛出，小球在空中依次飞过三个完全相同的窗户1、2、3。
图5 1 7中曲线为小球在空中运动的轨迹。
若不计空气阻力的影响，以下说法正确的是（ ）
图5 1 7
A．小球通过第1个窗户所用的时间最长
B．小球通过第1个窗户重力做的功最大
C．小球通过第3个窗户重力的平均功率最小
D．小球通过第3个窗户的平均速度最大
2．（2018·福州二模）如图5 1 8所示，一个纵截面是等腰三角形的斜面体M置于水平地面上，它的底面粗糙，两斜面光滑。
将质量不相等的A、B两个小滑块（mA＞mB）同时从斜面上同一高度处静止释放，在两滑块滑至斜面底端的过程中，M始终保持静止，则（ ）
图5 1 8
A．B滑块先滑至斜面底端
B．地面对斜面体的摩擦力方向水平向左
C．两滑块滑至斜面底端时重力的瞬时功率相同
D．地面对斜面体的支持力等于三个物体的总重力
要点四 机车启动问题
1．两种启动方式的比较
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
Pt图
和
vt图
OA
段
过程
分析
v↑⇒F＝
↓
⇒a＝
↓
a＝
不变⇒F不变
P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB
段
过程
分析
F＝F阻⇒a＝0
⇒vm＝
v↑⇒F＝
↓
⇒a＝
↓
运动
性质
以vm匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F＝F阻⇒a＝0⇒
以vm＝
匀速运动
2．三个重要关系式
（1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝
。
（2）机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v＝
。
（3）机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度。
[典例] （2018·呼伦贝尔一模）某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究。
他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为vt图像，如图5 1 9所示（除2～10s时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线）。
已知在小车运动的过程中，2s后小车的功率P＝9W保持不变，小车的质量为1.0kg，可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变。
求：
图5 1 9
（1）小车所受到的阻力大小；
（2）小车在0～10s内位移的大小。
[审题指导]
（1）0～2s内小车的vt图像为直线，小车做匀加速直线运动。
（2）2～10s内小车的功率保持不变，小车处于恒定功率启动状态。
（3）v＝6m/s为小车启动过程的最大速度。
[易错提醒]
（1）机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不相同，分析图像时应注意坐标轴的意义及图像变化所描述的规律。
（2）在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，P＝Ffvm时，即牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度。
（3）恒定功率下的启动过程一定不是匀加速，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算（因为F为变力）。
（4）以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算（因为功率P是变化的）。
[针对训练]
1．（2018·海南高考）假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率。
如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的（ ）
A．4倍 B．2倍
C.
倍D.
倍
2.（多选）（2018·苏州高三调研）质量为2×103kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程中牵引力F和车速倒数
的关系图像如图5 1 10所示。
已知行驶过程中最大车速为30m/s，设阻力恒定，则（ ）
图5 1 10
A．汽车所受阻力为6×103N
B．汽车在车速为5m/s时，加速度为3m/s2
C．汽车在车速为15m/s时，加速度为1m/s2
D．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104W
功和功率计算中的两类易错题
（一）滑轮两侧细绳平行
1．如图5 1 11所示，质量为M、长度为L的木板放在光滑的水平地面上，在木板的右端放置质量为m的小木块，用一根不可伸长的轻绳通过光滑的定滑轮分别与木块、木板连接，木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块和木板静止，现用水平向右的拉力F作用在木板上，将木块拉向木板左端的过程中，拉力至少做功为（ ）
图5 1 11
A．2μmgL B.
μmgL
C．μ（M＋m）gLD．μmgL
2．（2018·南安高三
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